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解答题规范专练(四) 立体几何


解答题规范专练(四) 立体几何

1.(2015· 海淀模拟)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA=PB,且侧面 PAB⊥平面 ABCD,点 E 是棱 AB 的中点. (1)求证:CD∥平面 PAB; (2)求证:PE⊥ AD; (3)若 CA=CB,求证:平面 PEC⊥平面 PAB.

2.(2014· 四川高考)

在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形. (1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)设 D,E 分别是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥ 平面 A1MC?请证明你的结论.

3.(2015· 西城模拟)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,四 边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点. (1)求证:AC⊥平面 BDEF; (2)求证:平面 BDGH∥平面 AEF; (3)求多面体 ABCDEF 的体积.





1.证明:(1)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 CD∥AB. 又因为 CD?平面 PAB,AB?平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB. (2)因为 PA=PB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 PE⊥AB. 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PE?平面 PAB, 所以 PE⊥平面 ABCD, 因为 AD?平面 ABCD, 所以 PE⊥AD. (3)因为 CA=CB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 CE⊥AB. 由(2)可得 PE⊥AB, 因为 PE∩CE=E, 所以 AB⊥平面 PEC, 又因为 AB?平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PEC. 2.解:(1)证明:因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥ AB,AA1⊥ AC. 因为 AB,AC 为平面 ABC 内两条相交直线, 所以 AA1⊥ 平面 ABC. 因为直线 BC? 平面 ABC,所以 AA1⊥ BC. 又由已知,AC⊥ BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内两条相交直线, 所以 BC⊥ 平面 ACC1A1. (2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点.

由已知,O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ ABC,△ ACC1 的中位线, 1 所以,MD 綊 AC, 2 1 OE 綊 AC, 2 因此 MD 綊 OE. 连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四边形,则 DE∥ MO. 因为直线 DE?平面 A1MC, MO?平面 A1MC, 所以直线 DE∥ 平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥ 平面 A1MC. 3.解:(1)证明:因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥BD. 又因为平面 BDEF⊥平面 ABCD, 平面 BDEF∩平面 ABCD=BD, 且 AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥平面 BDEF. (2)证明:在△CEF 中,因为 G,H 分别是 CE,CF 的中点, 所以 GH∥EF, 又因为 GH?平面 AEF,EF?平面 AEF, 所以 GH∥平面 AEF. 设 AC∩BD=O,连接 OH, 在△ACF 中,因为 OA=OC,CH=HF, 所以 OH∥AF, 又因为 OH?平面 AEF,AF?平面 AEF, 所以 OH∥平面 AEF. 又因为 OH∩GH=H, OH,GH?平面 BDGH, 所以平面 BDGH∥平面 AEF. (3)由(1),得 AC⊥平面 BDEF, 又因为 AO= 2,S?BDEF=3×2 2=6 2, 所以四棱锥 ABDEF 的体积 1 V1= ×AO×S?BDEF=4. 3 同理,四棱锥 CBDEF 的体积 V2=4.

所以多面体 ABCDEF 的体积 V=V1+V2=8.


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