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广东省广州市实验中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版


广东实验中学 2015—2016 学年高一级模块考试

数学
本试卷共 4 页.满分为 150 分,考试用时 120 分钟.考试不允许使用计算器. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上,并用 2B 铅笔 填涂学号. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,

用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答 的答案无效.

第一部分 基础检测(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设 A ? ?x | x ?1 ? 0? , B ? ?x | log2 x ? 0? ,则 A ? B 等于( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 1} ) D. ?

C. {x | x ? 0} )

2.三个数 a ? 0.62 , b ? log2 0.6, c ? 20.6 之间的大小关系是( A. a ? c ? b . C. b ? a ? c B. a ? b ? c D. b ? c ? a

3.设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? { y | 1 ? y ? 4} ,则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是 ( ) A. f : x ? y ? x 2 C. f : x ? y ? ? x ? 4 B. f : x ? y ? 3 x ? 2 D. f : x ? y ? 4 ? x 2

2 4.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?

1 ,则 f (?1) 等于( x
D.2 ) D. ?3,4? )个



A. ? 2

B.0

C.1

5.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间可能是( A. ?0,1? B. ?1,2? C. ?2,3?

6.若全集 U ? ?0,1,2,3,4?且CU A ? ?2,4? ,则集合 A 的真子集共有( A.8 个 B.7 个 C.4 个 D.3 个

7.函数 y ? y 1

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是( x y
1

) y 1 y 1 -1 O C. ) D. y ? x
? 1 4

-1 O
A.

x

-1 O B.

x

x

-1 O D.

x

8.下列函数中既是偶函数又是 ( ??,0) 上是增函数的是 ( A. y ? x 9. f ( x) ? ?
4 3

B. y ? x

3 2

C. y ? x

?2

?(3a ? 1) x ? 4a ?a
x

( x ? 1) ( x ? 1)
? 1? ? 3?

是定义在 (??,??) 上是减函数,则 a 的取值范围是(



A. ? , ?

?1 1 ? ?6 3 ?

B. ? 0, ?

C. ? 0, ? 6

? ?

1? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

10 .若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图象经过点 A ( 0 , 4 )和点 B ( 3 ,- 2 ) ,则当不等式

| f ( x ? t ) ? 1 |? 3 的解集为(-1,2)时, t 的值为(
A.0 B .1 C.-1

) D.2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 2 ,则 f ( x ) = 12.函数 f ( x) ? a
x ?1

. . .

? 3 (其中 a ? 0, a ? 1 )的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是

13.若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为(1,2],则函数 y ? f (log2 x) 的定义域为 14.函数 f ( x) =

2x ?1 的值域为 2x ?1



三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 8 分)
? 2 ? 8 ?3 化简或求值: (1) ? ? ? (0.008) 3 ? 25 ? 27 ? 2 2

(2)

?5 32 log3 5 ? log3 ?3 log2 3 9

16. (本题满分 10 分)

2 已知 A ? x a ? x ? 2a ? 4 , B ? x x ? 5x ? 6 ? 0 ,若 A ? B ? A ,求 a 的取值范围.

?

?

?

?

17. (本小题满分 12 分) (1)判断函数 f ( x) ? x ? (2)猜想函数 f ( x ) ? x ? (3)若不等式 x ?

4 在 x ? (0,??) 上的单调性并证明 你的结论; .. x a , (a ? 0) 在定义域内的单调性(只需写出结论,不用证明) ; x

9 ? 2m 2 ? m ? 0 在 x ? ?1, 5? 上恒成立,利用题(2)的结论,求实数 m 的取值范围. x

第二部分 能力检测(共 50 分)
四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 18.函数 f ( x) ? log1 (3 ? 2 x ? x ) 的值域为________________.
2 2

19.设偶函数 ... f ( x) ? a

x ?b

在(0,+∞)上单调递增,则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关系为____________.

五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 对任意实数 x、y 都有 f ( xy) = f ( x) ·f ( y ) ,且 f (?1) ? 1 , f (27) ? 9 ,当 0 ? x ? 1 时, 0≤ f ( x) <1. (1)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (2)判断 f ( x) 在[0,+∞ ) 上的单调性,并给出证明; (3)若 a ? 0 且 f (a ? 1) ≤ 3 9 ,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 13 分) 已知二次函数 f ( x) ? x2 ?16 x ? q ? 3 (1)若函数在区间 ??1,1? 上存在零点,求实数 q 的取值范围; (说明:对于区间 [ a, b] ,称 b ? a 为区间长度)

(2)问:是否存在常数 t (t ? 0) ,当 x ??t,10? 时, f ( x ) 的值域为区间 D ,且 D 的长度为 12 ? t .

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? lg

1 2x , f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,恒有 f ( x ) ? f ( ) ? lg x . x ax ? b

(1)求 f ( x) 的表达式及定义域; (2)若方程 f ( x) ? lg t 有解,求实数 t 的取值范围; (3)若方程 f ( x) ? lg(8 x ? m) 的解集为 ? ,求实数 m 的取值范围.

广东实验中学 2015—2016 学年高一级模块考试

数学
第一部分

参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.A 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5( x ? ?1) 12. (?1,?2) 13. x 1 ? x ? 2

?

?

14. y y ? ?1或y ? 1

?

?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 8 分)

2 22 ? 2 3 ? 3 ? 1000? 3 2 4 ? 解: (1)原式= ? ( ) ? ? ? = ? 25 ? ……4 分 ? ? 25 9 25 9 ? 3 ? ? 8 ?
(2)原式 ? ?5 log3 2 ? log3 25 ? log3 32 ? 5 ? ?5 log3 2 ? 5 log3 2 ? 2 log3 3 ? 5 ? ?7 ……4 分 16. (本题满分 10 分)

2

2

?

?

解:解得 B ? x ? 1 ? x ? 6

?

?

……2 分

? A ? B ? A ,? A ? B ……3 分 (1)若 A= ? 则 A ? B 成立,此时 2a ? 4 ? a , 即 a ? 4 ……5 分 ?2 a ? 4 ? a ?a ? 4 ? ? (2)若 A ? ? 要 A ? B ,则需 ?a ? ?1 ……7 分 即 ?a ? ?1 解得 4 ? a ? 5 ?2 a ? 4 ? 6 ?a ? 5 ? ? 综上所述 a ? ?? ?,5? . ……10 分
17. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) 在 ?0,2? 上是减函数,在 ?2,??? 上是增函数.…………………1 分 证明:设任意 x1 ? x2 ? ?0,??? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? = ( x1 ? x 2 )

……9 分

4 4 ? ………2 分 x1 x2

x1 x2 ? 4 x1 x2

…………………3 分 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………………………4 分 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………………5 分

又设 x1 ? x2 ? ?0,2? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x) 在 ?0,2? 上是减函数 又设 x1 ? x2 ? ?2,??? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x) 在 ?2,??? 上是增函数

(2)由上及 f(x)是奇函数,可猜想:f(x)在 ? ?,? a 和

?

? ? a ,???上是增函数,

f(x)在 ? a ,0 和 0, a 上是减函数 (3)∵ x ? ∴x?

?

? ?

?

…………………7 分

9 ? 2m 2 ? m ? 0 在 x ? ?1, 5? 上恒成立 x

9 ? 2m 2 ? m 在 x ? ?1, 5?上恒成立 …………………………8 分 x 9 由(2)中结论,可知函数 t ? x ? 在 x ? ?1, 5? 上的最大值为 10,此时 x=1 ……………10 分 x
要使原命题成立,当且仅当 2m ? m ? 10
2

∴ 2m ? m ? 10 ? 0
2

解得 m ? ?2或x ?

5 2

∴实数 m 的取值范围是 ?m m ? ?2或m ?

? ?

5? ? 2?

…………………………12 分

第二部分
四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 18. ?? 2,??? 19.f(b-2) ? f(a+1)

五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20. (本小题满分 13 分) 解: (1)令 y =-1,则 f (? x) = f ( x) ·f (?1) , ∵ f (?1) =1,∴ f (? x) = f ( x) 且 x ? R ,所以 f ( x) 为偶函数.……………4 分 (2)若 x≥0,则 f ( x ) = f ( x ? x ) = f ( x ) ·f ( x ) =[ f ( x ) ] ≥0.……………5 分
2

若存在 x0 ? 0, 使得f ( x0 ) ? 0 ,则 f (27) ? f ( x0 ? 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ……………6 分

27 27 ) ? f ( x0 ) f ( ) ? 0 ,矛盾,所以 x0 x0

设 0≤x 1 <x 2 ,则 0≤

x x x1 <1,∴ f ( x1 ) = f ( 1 ? x 2 ) = f ( 1 ) ·f ( x2 ) ,……………8 分 x2 x2 x2

∵当 x≥0 时 f ( x ) ≥0,且当 0≤x<1 时,0≤ f ( x) <1. ∴0≤ f (

x1 ) <1,∴ f ( x1 ) < f ( x2 ) ,故函数 f ( x) 在[0,+∞ ) 上是增函数.……9 分 x2
3

(3)∵ f (27) =9,又 f (3 ? 9) = f (3) ·f (9) = f (3) ·f (3) ·f (3) = [ f (3) ] , ∴9 = [ f (3) ] ,∴ f (3) = 3 9 ,……………10 分
3

∵ f (a ? 1) ≤ 3 9 ,∴ f (a ? 1) ≤ f (3) ,……………11 分 ∵a≥0,(a+1) ? [0,+∞ ) ,函数在[0,+∞ ) 上是增函数. ∴a+1≤3,即 a≤2 ……………12 分 又 a≥0,故 0≤a≤2.……………13 分 21. (本小题满分 13 分) 解: (1) ∵二次函数 f ( x) ? x2 ?16 x ? q ? 3 的对称轴是 x ? 8 ∴函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上单调递减 ∴要函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在零点须满足 f (?1) ? f (1) ? 0 即 (1 ? 16 ? q ? 3) ? (1 ? 16 ? q ? 3) ? 0 (2)当 t ? 8 时, ……2 分

解得 ?20 ? q ? 12 ……4 分

2 f ( x) 的值域为 ? f (t ), f (10)? ,即 ? ?t ? 16t ? q ? 3, q ? 57 ? ?

∴ q ? 57 ? (t 2 ?16t ? q ? 3) ? ?t 2 ? 16t ? 60 ? 12 ? t ∴ t ? 17t ? 72 ? 0
2

∴t ? 8 或t ? 9

……7 分

?t ? 8 ? 当 ?8 ? t ? 10 ? 8 时,即 0 ? t ? 6 时, ?t ? 0 ? 2 f ( x) 的值域为 ? f (8), f (t )? ,即 ? ? q ? 61, t ? 16t ? q ? 3? ?
∴ t 2 ?16t ? q ? 3 ? (q ? 61) ? t 2 ?16t ? 64 ? 12 ? t ∴ t ? 15t ? 52 ? 0
2

∴t ?

15 ? 17 15 ? 17 ,经检验 t ? .……10 分 2 2

?t ? 8 ? 当 ?8 ? t ? 10 ? 8 时,即 6 ? t ? 8 时, ?t ? 0 ? f ( x) 的值域为 ? f (8), f (10)? ,即 ?q ? 61, q ? 57? ∴ q ? 57 ? (q ? 61) ? 4 ? 12 ? t ∴ t ? 8 经检验 t ? 8 不合题意,舍去. ……12 分
综上所述,存在常数 t ? 8 , t ? 9 , t ?

15 ? 17 满足题意.……13 分 2

22. (本小题满分 14 分) 解: (1)? 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( ) ? lg x 恒成立

1 x

? lg

2x 2 ? lg ? lg x ,即 (a ? b) x2 ? (a ? b) x ? 0 恒成立,? a ? b ……2 分 ax ? b bx ? a 2x 又 f (1) ? 0 ,即 a ? b ? 2 , 从而 a ? b ? 1,? f ( x) ? lg ……3 分 1? x 2x ? 0 ,得 x( x ? 1) ? 0 , x ? ?1或x ? 0 ,? f ( x) 的定义域为 ?x x ? ?1或x ? 0?.……4 分 由 1? x

(2)方程 f ( x) ? lg t 即 lg

2x 2x ? lg t ,即 t ? ( x ? ?1或x ? 0 )有解……5 分 1? x 1? x 2x 2 ? 2? 记 h( x ) ? , h( x) 在 (??,?1) 和 (0,??) 上单调递增……6 分 1? x x ?1

x ? (??,?1) 时, h( x) ? (2,??) ; x ? (0,??) 时, h( x) ? (0,2) ……7 分

?t ? (0,2) ? (2,??) ……8 分
(3)解法一:

? 2x ? 8x ? m ? ?8 x 2 ? (6 ? m) x ? m ? 0 2x ?1 ? x ? lg(8 x ? m) ? ? ?? 由 lg ……9 分 1? x ? x ? ?1或x ? 0 ? 2x ? 0 ? ?1 ? x
方程的解集为 ? ,故有两种情况: ①方程 8x ? (6 ? m) x ? m ? 0 无解,即 ? ? 0 ,得 2 ? m ? 18
2 2

……10 分

②方程 8x ? (6 ? m) x ? m ? 0 有解,两根均在 [ ?1, 0] 内, g ( x) ? 8x2 ? (6 ? m) x ? m

?? ? 0 ? g (?1) ? 0 ? ?m ? 2或m ? 1 8 ? 则 ? g (0) ? 0 ……12 分 ? ? ?0?m?2 ??6 ? m ? 10 ? ??1 ? ?6 ? m ? 0 ? 16 ?
综合①②得实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 18 (3)解法二: ……14 分

……13 分

? 2x 2x ? 8x ? m ? ? ? 8x 2x ?1 ? x ?m ? ? lg(8 x ? m) ? ? ?? 若方程有解,则由 lg ……9 分 1? x 1? x 2 x ? ? x ? ?1或x ? 0 ?0 ? ? ?1 ? x
由 g ( x) ?

2x 2 ? 8 x ? 10 ? [ ? 8( x ? 1)] 1? x 1? x

当 x ? ?1, 则 g ( x) ? 10 ? 2

2 3 ? 8( x ? 1) ? 18 ,当且仅当 x ? ? 时取到 18 ……11 分 1? x 2
……12 分 ……13 分 ……14 分

当 x ? 0 ,则 g ( x) 是减函数,所以 g ( x) ? g (0) ? 0

即 g ( x) 在 (??, ?1) ? (0, ??) 上的值域为 (??, 0) ? [18, ??) 故当方程无解时, m 的取值范围是 [0,18)


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