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高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 浅谈卡西欧图形计算器在常用函数图象上的应用


浅谈卡西欧图形计算器在常用函数图象上的应用

摘要:指出形象思维的重要性,给出了高考高频函数题图象定量具体分析的方法,应用图形

计算器在集中复杂函数题中灵活运用,使复杂抽象函数简单化具体化,方便加深印象,使函

数的学习方法更加灵活便捷,学习效率大大提高。本文从函数定义及出发,将具体常用常见

函数的图象性质进行总结,归纳类比,得出普遍结论。在已知函数基础上进行扩展,体会极

坐标中图象的魅力,以及图像绘制的,简便性、优越性,由以推广至其他学科领域中的广泛

应用。

关键词:形象思维、指数函数、幂函数、复合函数、高斯函数、极坐标系下的曲线、图像特 点 对于数学学科来说, 我们在学习上主要运用的是左脑的抽象思维, 但从数学思维模式呈 现出的事实来看, 我们图形理解能力的形象思维是最早出现的, 而它也是数学不断发展至今 的前提,并在数学的研究学习中骑着举足轻重的作用。可见如果人们不具备形象思维能力, 很难会有较高的抽象思维能力, 其发展也将会受到限制。 正像数学家柯尔莫戈洛夫所言: “只 要有可能,数学学者都应该尽力把他们正尽力研究的问题从几何图形上视觉化。 ”因此在有 技术设备支持下的今天, 图形的精准绘制给我们带来了一场深刻的变革——应用图形计算器 解决图象问题,在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图,但手工绘图有不精确、速度慢 的弊端; 应用图形计算器速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端, 大大提学习效率 、 拓宽我们的认知范围、开拓我们的解题思路,培养我们的想象力和形象思维的理解能力。直 观、准确、全面地针对考试中的问题给予完备解答。 那么, 在高中数学的学习中图形计算器有哪些应用呢?作为一名高中生笔者在此予以介 绍: 一、图形计算器在指幂对函数及其简单复合函数中的应用 1.指数函数的一般形式是 y=a^x(a>0且≠1) (x∈R) ,值域为(0, )。a=1时也可以,此时 值域恒为1。是在定义域上的单调下凸,连续函数。当 a>1时,指数函数对于 x 的负数值平 坦,对于 x 的正数值迅速攀升。当0<a<1时,指数函数对于 x 的负数值迅速攀升,对于 x 的 正数值平坦, , 恒过 (0,1) 。 在 x 处的切线的斜率等于此处 y 的值乘上 lna。 即: 。

函数图象总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴。由指数函数 y=a^x 与直线 x=1相交于点(1,

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a)可知:在 y 轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大,相反同理,当 a>1时,曲线由左 向右逐渐上升,即 a>1时,函数在 R 上是增函数;当0<a<1时,曲线逐渐下降即0<a<1时, 函数在 R 上是减函数。 2.对数函数是指数函数的反函数可表示为 x=a^y,函数 y=log(a)x, (其中 a 是常数,a>0且 a 不等于1) 。恒过点(1,0) ,其中负数和零没有对数。 3.反函数的性质:定义域和值域与原函数互换,图像关于直线 y=x 对称即原函数过(m,n) 反函数过(n,m) ,原函数与反函数具有相同单调性,具有相同的奇函数性质(只有单调函数 才有反函数偶函数一般无反函数,若要求则分段求解) 。 例:解决 y=a^x 与 y=x 交点问题:一般方法如下,设 A(x,y)在曲线上求导切线斜率为 k=a^xlna,解出切线方程令其过原点解得 x=1/lna,k=elna,讨论当 k=1即 a≈1.4时相切, 当 a>1.4时相离0<a<1.4时相割。可以用图形计算器根据函数的解析式快速作出函数的图 象, 并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象直观比较各图象的形状和位置, 对偶记忆。 应用图形计算器的 “动态图”功能, 更能方便看出图象随变量 a 的变化而反映出其变化趋势, 对此提出有关猜想并继续得到证实, 用以全面了解函数加深对底数 a 的几何意义认了解, 更 实在地把握函数。 3.指、对数的复合函数:设 y=f(u)的定义域为 Du 函数 u=g(x)的定义域为 Dx,值域为 Mx, 那么对于 Dx 内的任意一个 x 经过 u;有唯一确定的 y 值与之对应,因此变量 x 与 y 之间通 过变量 u 形成的一种函数关系,记为:y=f[g(x)]。当指、对数函数与二次函数复合时:有 以 f(x)为 x 底的对数、以 x 为底 f(x)的对数、以 a 为底 f(x)的指数等。需要看定义 域以及参考复合函数增减性关系(同增异减)或奇偶性原则(内奇则奇,内偶同外)配合求 解或证明,应用图形计算器推理得到普遍规律,概念理解易如反掌,做题事半功倍。而当求 解复合函数根的分布时图形计算器体现了极大优势,变量取值、直观分析全图,简练明快, 精准详细。 4.幂函数是形如 y=x^a(a 常为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常 量的函数。幂函数具有以下通性:所有的幂函数在(0,+∞)上都有各自的定义,并且图像 都过点(1,1)和(0,0) 。在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大;a>1时,图像开口向上; 0<a<1时,图像开口向右。图像不过第四象限。在第一象限内,当 x 从右趋于(0,0)时,图 象在 y 轴上方趋向于(0,0)时,图像以 y 轴为渐近线,当 x 趋于+∞时,图象图像以 x 轴为 渐近线。幂函数的特殊性:当 a≤-1且 a 为奇数时,函数在第一、第三象限为减函数;当 a ≤-1且 a 为偶数时,函数在第二象限为增函数;当 a=0且 x 不为0时,函数图象平行于 x 轴 且 y=1、但不过(0,1);当0<a<1时,函数是增函数;当 a≥1且 a 为奇数时,函数是奇函数当 a≥1且 a 为偶数时,函数是偶函数。 二、利用图形计算器来分析高斯函数的性质 1.高斯函数(y=Intg x):设 x ? R ,用[x]表示不超过 x 的最大整数。则 y ? ? x ? 称为高斯
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函数,也叫取整函数。显然, y ? ? x ? 的定义域是 R,值域是离散的 Z。任一实数都能写成整 数部分与非负纯小数之和,即 x ? ? x ? ? a ? 0 ? a ? 1? ,因此, ? x ? ? x ? ? x ? ? 1 ,这里,? x ? 为 x 的整数部分, 2.高斯函数图象性质:每段函数定义域左闭右开, “阶梯”向上不减的无界函数,当 x1 ? x2 时,有 ? x1 ? ? ? x2 ? 。 x ? 1 ? ? x ? ? x ? ? x ? ? 1 。类似还有锯齿状的而 ? x? ? x ? ? x ?(x-Intg x) 用{χ }表示 x 的非负纯小,数其定义为 x 的小数部分。定义域为实数集值域为[0,1)。周期 为1,在每一段图像(指[n,n+1)n 为整数)上为单调递增。并且[{x}]值恒为0。类似 y=Intg x 还有 y=Int x

其图象关于原点对称,在正实数上的图像与 y=Intg x 重合,即在 x 轴负半轴上两图像关于 y=x 对称。y=Frac x,其图象关于原点对称在 x 轴正半轴上与 y=x-Intg x 图像重合,在 x 轴负半轴将 y=x-Intg x 图像向上平移1个单位得到的。关于高斯函数的复合函数:[f(x)], f([x])其图象在 f(x)附近波动。 三、极坐标系中的曲线 极坐标系为高考中的选考题目, 与平面几何联系非常密切, 据此应用图形计算器做出图象更 加深印象对此进行直观深刻的理解。其在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。可根据 x=ρ cosθ 、y=ρ sinθ 由笛卡尔系转化而来,以下介绍几种较为经典的函数图象。 1.阿基米德螺线,ρ =aθ (a>0)改变参数 a 将改变螺线形状,b 控制螺线间距离,阿基米 德螺线有两条螺线,一条θ > 0,另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接,互为镜像。 可以想象一只小虫在匀速旋转盘上由中心沿半径匀速向外爬行则其运动轨迹为该螺线。 2.圆锥曲线:椭圆,展示了半正焦弦圆锥曲线方程如下:r=l/(1-e cosθ )其中 l 表示半正 焦弦,e 表示离心率。 如果 e < 1,曲线为椭圆,如果 e = 1,曲线为抛物线,如果 e > 1, 则表示双曲线。其中 e 表示离心率,p 表示焦点到准线的距离。 3.心形线:ρ =a(1-cosθ ) (a>0,0≤θ ≤2π )图形和心脏的截面轮廓相似,关于极轴对 称(3)双纽线(二叶玫瑰线、伯努利双纽线):指动点到两相聚为定长的定距离之积为定值 的 动 点 轨 迹 , 点 笛 卡 尔 坐 标 方 程 为 (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2) 。 极 坐 标 方 程 为 ρ ^2=a^2(cos2θ )(a>0) 。 以上介绍了比较典型的图象应用,总地来说,图形计算器在高中学习中有很大用途:在几何 中根据函数的解析式快速作出各种函数的图象, 并可以在同一个坐标系中作出多个多种函数 的图象,比较各图象的相对形状和位置,归纳各种复杂函数的性质;还可以作出含有若干参 数的函数图象,非函数图象,着实提供了很大的便利,给了自己很大的提升想象空间。

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