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向量---三角形五心试题


向量
三角形的四心: (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的 距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 1.O 是 ?ABC 所在平面上一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O

是 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

满足 OP ? OA ? ? ( (

AB AB

?

AC AC

) ,? ? ?0,?? ? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的

) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 7. O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? (

AB AB c o sB

?

AC AC c o s C

) , ? ? ?0,?? ? ,则点 P 的轨迹一定通过

) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 8. 已知 O 是平面上的一定点, A

?ABC 的(

2.O 是 ?ABC 所在平面上一点, 若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 则 O 为 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? OB ? OC AB AC ? ? , ? ? (0, OP ? ? ? ? ??? ? ???? ? ?) ,则动点 P 的轨迹 ? ? AB cos B AC cosC ? 2 ? ?
一定通过 △ABC 的( A.外心 ) B.内心 C.重心 D.垂心

9. P 是 △ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是 △ABC 的( ) A.外心

3.O 是 ?ABC 所 在 平 面 上 一 点 , 且 a , b , c 是 三 角 形 的 三 条 边 长 ,

B.内心

C.重心
2 2 2

D.垂心
2 2 2

aOA ? bOB ? cOC ? 0 ,则 0 为 ?ABC 的( )
A.外心 B.内心 C.重心 , D.垂心 则 O 是 ?ABC 的( ) 4.O 是 ?ABC 所在平面上一点, OA ? OB ? OC

10.若 H 为△ABC 所在平面内一点,且 HA ? BC ? HB ? CA ? HC ? AB

则点 H 是△ABC 的(
A.外心

) B.内心 C.重心 D.垂心

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5. O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

11.O 是 ?ABC 所在平面上一点,
OA ? ( AB | AB | ? AC AC ) ? OB ? ( BA | BA | ? BC | BC | ) ? OC ? ( CA | CA | ? CB | CB | )?0

OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) ,? ? ?0,?? ? , 则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 (
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心



则点 O 的是 ?ABC 的( A.外心

) B.内心

C.重心

D.垂心

6. (03 全国理 4)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点, 动点 P

12.设△ABC 的外心为 O,若 OG A.外心

1 ? (OA ? OB ? OC ) ,则点 G 为△ABC 的( 3
C.重心 D.垂心



4.?ABC 的外接圆的圆心为 O, 若 OH ? OA ? OB ? OC , 则 H 是 ?ABC 的 ( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,若



B.内心

13.设△ABC 的外心为 O, 若 OH ? OA ? OB ? OC , 则点 H 为△ABC 的 (
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ,B,C 是平面上不共线的三个点,若 14. 已知 O 是平面上的一定点, A



OA ? BC ? OB ? CA ? OC ? AB ,则 O 是 ?ABC 的(
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

2

2

2

2

2

2



???? ??? ? 1 ??? ? 2 ???? ???? 1 ???? 2 AO?AB ? AB , AO?AC ? AC ;则 O 为 ? ABC 的( 2 2
A.外心 B.内心 C.重心

) D.垂心

→ → → → 1 AB AC AB AC → → → 6.(06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
2

7.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则 练习: 1.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若 实数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( A.2 B. ) D.6

?ABC 为(

) A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形

8. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,

3 2

C.3

OH ? m(OA ? OB ? OC ) ,则实数 m =
9.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 10.设 s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则 a 和 b 的夹角 为__________.

2 . 若 ?ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 半 径 为 1 , OA ? OB ? OC ? 0 , 则

OA ? OB ? (
A.

) B.0 C.1 D. ?

1 2

1 2

11.在△ABC 中,M 是 AC 中点,N 是 AB 的三等分点,且 BN ? 2 NA ,BM 与 CN 交于 D,若 BD ? ? BM ,则λ =__________.

3 .点 O 在 ?ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 ,则 ?ABC 面积与凹四边形

ABOC 面积之比是(
A.0

) B.

3 2

C.

5 4

D.

4 3

12 .已知 OA, OB 不共线,点 C 分 AB 所成的比为 2 , OC ? ? OA ? ? OB ,则

? ? ? ? __________.
13. 已知 OA ? a, OB =b, a· b=|a-b|=2, 当△AOB 面积最大时, a 与 b 的夹角为______. 14.把函数 y=2x -4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x 的图象,c=(1, -1), 若
2 2

OA ? x, OB ? y, OC ? z. 则 OP =___________(用 a, b, c, x, y, z 表示)
23 .已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量,且两两的夹角均为 120 ,若 |ka+b+c|>1(k∈R),则 k 的取值范围是___________. 24. 平面内四点 A, B, C, D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9 , 则 AC ? BD 的取值有___________个. 25 . O 为 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , A , B , C 为 △ ABC 的 角 , 若 sinA· OA +sinB· OB +sinC· OC ? O ,则点 O 为△ABC 的___________心. 26.在△ABC 中, AB ? a, BC ? c, CA ? b ,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3, 则△ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________.
0

a ? b ,c·b=4,则 b 的坐标为__________.

? 15 .将向量 a=(2, 1) 绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b ,则 b 的坐标为 4
__________. 16. 在 Rt△BAC 中, 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 试问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。 17. 在四边形 ABCD 中,AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , 如果 a· b=b· c=c· d=d· a, 试判断四边形 ABCD 的形状。 18.已知 OP ? (cos? , sin ? ), OQ ? (1 ? sin ? ,1 ? cos? )(? ? [0, ? ]) ,则| PQ |的取 值范围是__________. 19 .已知 a=(2, 1), b=(λ , 1) ,若 a 与 b 的夹角为锐角,则λ 的取值范围是 __________. 20.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小 值为__________. 21.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0),(0,2),当实数 p, q 满足

BC ? 6 , 27. (2007 年全国高中联赛) 在 ? AEF 中, B 是 EF 的中点,AB ? EF ? 1 ,
??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? CA ? 33 , 若 A B? A E ? A? C A? F2 , 则 EF 与 BC 的 夹 角 的 余 弦 值 等 于


CDBAC BDADD BCDA 练习:1--10:CDCDD DC 1, 2 ? 5 , 11-15:

? 2

2 3 2 4 1 ? , ), , ? , ,(6,2), ( 2 2 5 3 3 1 1 16--20:0 0,矩形, 2 , 6 , ? ? ? 且? ? 2 , ? 2 2

?

?

21--25:(1,2), OP ? 26--27: 5 : 3 :2, 3

1 1 ? ? 1 时, 若点 C, D 分别在 x 轴, y 轴上, 且 OC ? pOA, OD ? qOB , p q

ax ? b y ? cz a ? b ? c ,K<O 或 K>2,1,内心,

2

则直线 CD 恒过一个定点,这个定点的坐标为___________. 22.p 为△ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点,


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