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河北省普通高中2012年12月学业水平考试数学试题


河北省普通高中 2012 年 12 月学业水平考试数学试题
一、选择题(本题共 30 道小题,1-10 题,每题 2 分,11-30 题,每题 3 分,共 80 分) 1.sin 150?= 1 1 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 2 2 2.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6},则 A∩B 中的元素个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个

D.3 个 ? 3.函数 f (x)=sin(2x+ )(x∈R)的最小正周期为 3 ? A. B.? C.2? D.4? 2 4.不等式(x-1)(x+2)<0 的解集为 A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-2,1) 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 正视图 侧视图 A.圆锥 B.棱柱 C.棱锥 D.圆柱 6.在等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则 a3= A.2 B.-2 俯视图 C.±2 D. 2 1 7.函数 f (x)=log2 x- 的零点所在区间是

x

1 1 A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3) 2 2 8.过点 A (1,-2)且斜率为 3 的直线方程是 A.3x-y-5=0 B.3x+y-5=0 C.3x-y+1=0 D.3x+y-1=0 9.长方体的长、宽、高分别为 2,2,1,其顶点在同一个球面上,则该球的表面积 A.3? B.9? C.24? D.36? x 10.当 0<a<1 时,函数 y=x+a 与 y=a 的图象只能是 y y y y 1 O A. 1 x B. 1 O x C. O 1 x D. ? 个单位长度,所得图象的函数解 6 1 O x

11.将函数 y=sin 2 x(x∈R)图象上所有的点向左平移 析式为

? ? )(x∈R) B.y=sin(2x+ )(x∈R) 6 6 ? ? C.y=sin(2x- )(x∈R) D.y=sin(2x+ )(x∈R) 3 3 12.某单位有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 A.16 B.18 C.27 D.36 13.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是 1 A.y=- B.y=cos x A.y=sin(2x-

x
2

C.y=-x +3

D.y=e| |
1

x

14.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 c=1,b=2,C=30?,则 a= A. 3 B.3 C. 5 D.1 ?2x+1,x≥0, 15.已知函数 f (x)=? 且 f (x0)=3,则实数 x0= ?|x|, x<0, A.-3 B.1 C.-3 或 1 D.-3 或 1 或 3 16.从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从集合 甲 乙 {1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是 1 2 2 0.04 1 2 3 A. B. 5 5 9 3 0.05 9 3 4 6 3 1 0.06 2 9 C. D. 5 5 3 3 1 0.07 9 5? 17.若等差数列{an}的前 5 项和 S5= ,则 tan a3= 6 4 0.08 3 8 9 3 A. 3 3 C. 3 B.- 3 3 D.- 3 1 3 , ),则 a 与 b 的夹角为 2 2 C.120?

6

18.已知向量 a=(1,0),b=(-

A.30? B.60? D.150? x 19.函数 y= 2 -1的定义域是 A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 20.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据北京某 日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶 图,如图,则甲、乙两地所测数据的中位数较低的是 A.甲 B.乙 C.甲乙相等 D.无法确定 21.下列命题中正确的是( ) A.若直线 m //平面?,直线 n ??,则 m//n B.若直线 m⊥平面?,直线 n ??,则 m⊥n C.若平面? //平面 β ,直线 m ??,直线 n ?β ,则 m//n D.若平面?⊥平面 β ,直线 m ??,则 m⊥ ? 2 2 22.在下列直线中,与圆 x +y +4x-2y+4=0 相切的直线是 A.x=0 B.y=0 C.x+y=0 D.x-y=0 1 2 x 23. 某程序框图如图所示, 若分别输入如下四个函数: (x)= f , (x)=x , (x)=e , (x) f f f

x

=sin x,则可以输出的函数是 A.f (x)=x C.f (x)=e
2

B.f (x)=

1

开始 输入 f (x) 否 f (x)+f (-x)=0? 是 f (x)存在零点? 是 输出 f (x) 结束 否

x

x

D.f (x)=sin x

24.在△ABC 中,→ +→·→<0,则△ABC 为 AB 2 AB BC A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形 25.现有下列四个命题: ①若直线 y=k1x+b1 与直线 y=k2x+b2 垂直,则 k1k2=-1; ②若向量 a,b 满足 a·b=0,则 a=0 或 b=0; 2 ③若实数 a,b,c 满足 b =ac,则 a,b,c 成等比数列 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
2

26.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos x,则函数 f (x)最大值为( ) A.2 B.2 3 C.3 D.2 3+2 27.如图,点(x,y)在四边形 OACD 所围成的区域内(含边界) ,若(1,2)是目标函数 z=mx-y 唯一的最优解,则实数 m 的取值范围是 y A.(-1,+∞) B.(-∞,-2) D(0,3) C.(-2,-1) D.(-∞,-2)∪(-1,+∞) C(1,2)

2

o
28.定义在 R 上的偶函数 f (x)满足:对任意的 x1, x2∈(-∞,0](x1≠x2) ,有

x A(2,0)

f (x2)-f (x1) x2-x1

<0,则 A.f (-3)<f (-2)<f (1) B.f (1)<f (-2)<f (-3) C.f (-2)<f (1)<f (-3) D.f (-3)<f (1)<f (-2) 29.如右图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AC⊥AB 且 AA1=AC=AB,则直线 AC1 与直 线 A1B 所成的角等于 A.30? B.45? C.60? D.90? 30.函数 y=loga (x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1 1 2 =0(m>0,n>0)上,则 + 的最小值等于

m

n

A.16 C.9

B.12 D.8 A1

C1 B1

C A B

二、解答题(本大题共 3 道小题,满分 20 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 31. (本小题满分 6 分) 某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等级进行统计分 析, 得到频率分布表如下: 等级 一 二 三 四 五 频率 0.05 0.35 m 0.35 0.10 (Ⅰ)求 m; (Ⅱ)从等级为三和五的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件等级恰好相同的概 率.

32. (本小题满分 7 分) 已知圆心为(1,1)的圆 C 经过点 M (1,2). (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 x+y+m=0 与圆 C 交于 A、B 两点,且△ABC 是直角三角形,求实数 m 的值.
3

33. (本小题满分 7 分) 在数列{an}中,a1=1,an+1=

an

2an+1 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
*

(n∈N ) . 12 (log3 m-log2 m+1)恒成立,求实数 35

*

(Ⅱ)当 n≥2,n∈N 时,不等式 an+1+an+2+?+a2n>

m 的取值范围.

答案 一、选择题 ACBDD ACABD DBDAC AACBB BBDCB CCBCD 二、解答题 31.解: (Ⅰ)由频率分布表,得 0.05+0.35+m+0.35+0.10=1,即 m=0.15.?2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得等级为三的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为五的零件有 2 个, 记作 y1,y2.从 x1,x2, x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为 (x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2), (y1,y2), 共计 10 种. ??4 分 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等” ,则 A 包含的基本事件为(x1, 4 x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共 4 个,故所求概率为 P(A)= =0.4. 10 ??6 分 2 2 32.解: (Ⅰ)由已知,圆的半径 r=|CM|= (1-1) +(2-1) =1, 2 2 所以圆 C 的方程为(x-1) +(y-1) =1. ??3 分 (Ⅱ)由题意可知,|CA|=|CB|=1,且∠ACB=90?, 2 |1+1+m | 2 ∴ 圆心 C 到直线 x+y+m=0 的距离为 ,即 = , 2 2 2 2 1 +1 解得 m=-1 或 m=-3. 33.解: (Ⅰ)由题意得 an>0,且 1 ??7 分 2an+1 1 1 1 = = +2, - =2,

an+1

an

an

an+1 an

1 1 所以数列{ }是以 为首项,2 为公差的等差数列,

an

a1

1 1 1 故 = +2(n-1)=2n-1,所以 an= . ??3 分 an a1 2n-1 (Ⅱ)令 f (n)=an+1+an+2+?+a2n,f (n+1)=an+2+an+3+?+a2n+a2n+1+a2n+2, 1 1 1 1 f (n+1)-f (n)=a2n+1+a2n+2-an+1= + - = >0, 4n+1 4n+3 2n+1 (4n+1)(4n+3)(2n+1) 12 ∴函数 f (n)单调递增,当 n≥2 时,[f (n)]min=f (2)=a3+a4= . 35 12 12 lg m lg m 故有 > (log3 m-log2 m+1),整理,得 log3 m<log2 m, < 35 35 lg 3 lg 2 得 lg m(lg 3-lg 2)>0,即 lg m>0,解得 m>1, 故实数 m 的取值范围是(1,+∞). ??7 分

4


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