当前位置:首页 >> 数学 >> 艺术生高中数学基础知识汇总

艺术生高中数学基础知识汇总


高中新课标数学基础知识汇整合
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值? ..... 还是因变量的取值?还是曲线上的点?? ;如:

P ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R}, Q ? {x | y ? ln( x ? 2)}

A ? ?( x, y ) y ? ?4 x ? 6? , B ? ?( x, y) y ? 3 x ? 8?
2. ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 3. (1)含 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1;非空真子集的数为 2n-2; (2)A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; 注意: 讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况; 如:1、若集合 A ? {x | x ? a} , B ? {x | 2 x ? 5 ? 0} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 2、已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2x ? 1}, B ? {x | ln x ? 0} ,则 (CU A) ? B ? ( A. ? B. {x | )

1 ? x ? 1} C. {x | x ? 1} 2 第二部分 函数与导数
) C. (1,??) D. (1, e)

D. {x | 0 ? x ? 1}

1、函数的概念、三要素,函数的定义域 如:函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域是 ( A. (1,2) B. (e, ??)

2.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。

?3? x , x ? 0 ? 如:1、已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f [ f (?2)] ? ? x ? 1.x ? 0 ?
2、已知函数 f ( x) ? ? A. ?1 3、已知函数 f ( x) ? ? A. (??, ?1]

?log2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

若 f (a ) ?

1 ,则 a ? 2
D.1 或 ? 2

B. 2

C. ?1或 2

? x2 ,

x?0 ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围是 ? 2 x ? 1, x ? 0 B. [1, ??) C. (??, 0] ? [1, ??) D. (??, ?1] ? [1, ??)

3.函数的奇偶性:⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ....

1

⑵ f (x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? ?1 ;
f ( x)

⑶ f (x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? 1 ;
f ( x)

⑷奇函数 f (x) 在原点有定义,则 f (0) ? 0 ; ⑸奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称 如:1、函 f ( x) ? 2x ? 2? x 在定义域上是 A.偶函数 B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 2、 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数。 x≥0 时, f ( x) = 2 + 2x ? b(b 为常数) 则 f (?1) = 设 当 ,
x

(

)

(A)3

(B)1 (C)-1

(D)-3 )

3、 若函数 f(x)是奇函数, 且在(0,+ ? )内是增函数.f(-3)=0, 则不等式 x f(x)<0 的解集为 (

A{x |-3<x<0 或 x >3} B{ x |x<-3 或 0<x<3} C.{x | x <-3 或 x >3} D.{ x|-3<x <0 或 0<x<3} 4.函数的单调性 ⑴单调性的定义: f (x) 在区间 M 上是增(减)函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0(? 0)
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0(? 0) ; x1 ? x 2

⑵单调性的判定定义法:注意:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作 商的形式,以利于判断符号;②导数法注:证明单调性主要用定义法和导数法。 如:1、 .函数 f ( x ) ? x ?

9 的单调递增区间是 x
C. (?3, 0), (0,3)





A. (-3,3) B. (?3, ??)

D. (??, ?3),(3, ??)

2.下列函数 f ( x ) 中,满足 “对 ?x1 , x2 ? (0, ??) ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的 是 A. f ( x ) ?

1 x

B. f ( x) ? ln( x ? 1)

C. f ( x ) ? ( )

1 2

x

D. f ( x) ? x ?1

3.已知 f(x)是 R 上的减函数,则满足 f ( ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是 A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) f(x2)-f(x1) 4、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0. x2-x1 则 A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

1 x

2

5.函数的周期性 (1)周期性的定义: 对定义域内的任意 x , 若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) , 则称函数 f (x) 为周期函数,T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小 正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 如:已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)= A.-2 B.2 C.-98 D.98 (2)三角函数的周期 ① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ;④
y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ?

? ; 2? ;⑤ y ? tan?x : T ? |? | |? |

6.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: y ? x ? ( ? ? R) ;⑵指数函数: y ? a x (a ? 0, a ? 1) ; ⑶对数函数: y ? loga x(a ? 0, a ? 1) ;⑷正弦函数: y ? sin x ; ⑸余弦函数: y ? cos x ; (6)正切函数: y ? tan x ; ⑺一元二次函数: ax ? bx ? c ? 0 ; (a≠0)
2

⑻其它常用函数:①正比例函数: y ? kx(k ? 0) ;②反比例函数: y ? 的y?

k (k ? 0) ;特别 x

1 a ,函数 y ? x ? (a ? 0) ; x x
2 2

7. 二次函数: ⑴解析式: ①一般式:f ( x) ? ax ? bx ? c ; ②顶点式:f ( x) ? a( x ? h) ? k ,

( h, k ) 为顶点;③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点; ⑤判别式;⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 如.1、 f ( x) ? x2 ? 4x 在 [0,3] 上的最大值为 ,最小值为 . 2、 若x 2 ? 2ax ? 2 ? 0在R上恒成立,则实数 的取值范围是__________ a 3. 如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞, 4]上是减函数, 则实数 a 的取值范围是_____ 2 4、若关于 x 的不等式(a-1)x +(2-a)x-1<0 的解集{x|x<1 或 x>2},则实数 a 满足 1 1 1 1 A.a< B.a> C.a= D.a=- 2 2 2 2 8.函数图象变换: ① 平移变换:ⅰ y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-” ;

3

ⅱ y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-” ; ② 伸缩变换: ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (?x) , ? ? 0) ———纵坐标不变, ( 横坐标伸长为原来的

1

?

倍;

ⅱ y ? f ( x) ? y ? Af ( x) ,( A ? 0) ———横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的 A 倍;

? ③ 对称变换:ⅰ y ? f (x) ?? ? y ? ? f (? x) ;ⅱ y ? f (x) ??? y ? ? f (x) ;
( 0, 0 )

y ?0

? ⅲ y ? f (x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ y ? f (x) ??? y ? f
④ 翻转变换:

x ?0

y ?x

?1

( x) ;

ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———右不动,右向左翻( f (x) 在 y 左侧图象去掉) ; ⅱ y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———上不动,下向上翻(| f (x) |在 x 下面无图象) ; 9.函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法. 如:1、函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的零点为
x

.

2、方程 2 +x-4=0 的解所在区间为 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) -x 2 3、方程 2 +x =3 的实数解的个数为________ 4、用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间[2,3]内的实根,由计算器可算得 f (2) ? ?1 , f (3) ? 16 , f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为 . 10.导数 ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ? ⑵常见函数的导数公式:
' n ' n?1 ' ' ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx ;③ (sin x) ? cos x ;④ (cosx) ? ? sin x ;
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ;⑦ (log a x ) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? 。 x ln a x

u u ?v ? uv ? ⑶导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ? ; v v2 4 导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? 如:1、曲线 y ? 2 x2 ? 1 在点 P ( ?1,3) 处的切线方程为( ) A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 C. y ? 4 x ? 1 D. y ? 4 x ? 7
2.若曲线 y=2x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则切线 l 的方程为 A.4x-y-2=0 B.x+4y-9=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0

4

②利用导数判断函数单调性:ⅰ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数; ⅱ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数;ⅲ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数; 如:1、.函数 f ( x) ? x3 ? x 的增区间是
3 2
2 2 2

,减区间是 ) D. b 2 ? 3ac ? 0

2、 若 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则一定有( A. b ? 4ac ? 0 B. b ? 3ac ? 0 C. b ? 4ac ? 0 2 3、已知 f ( x) ? x ? 2xf ?(1) ,则 f ?(0) 等于

③利用导数求极值:ⅰ求导数 f ?(x) ;ⅱ求方程 f ?( x) ? 0 的根;ⅲ列表得极值。 如:1. 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?1, b ? 5 D.以上都不正确



3. 函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? a(a ? 0) 的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围为 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有) ;ⅲ得最值。 3 如: 若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、 1. 最小值分别为 M、 则 M ? N 的 N, 值为( ) A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的 最小值是

三角函数、三角恒等变换与解三角形 ? 180 ? ? 1 1? ) ? 57?18' 1. ⑴角度制与弧度制的互化:?(弧度)? 180 , ? 弧度, 弧度 ? ( 180 ? 1 2 1 ⑵弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? ?R ? Rl 。 2 2
2.三角函数定义:设角 ? 终边上任意一点 P 为 ( x, y ) , | OP |? r 则:

第三部分

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律: “奇变偶不变,符号看象限” ; 5.⑴ y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴: x ? 单调性,最值等。 ⑵ y ? A cos(?x ? ? ) 对称轴: x ? k? ? ? ;对称中心: (
?
k? ?

?
2

??

?

;对称中心: (

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ; ?
??

k? ?

?
2

?

,0)(k ? Z ) ;

单调性,最值等。

5

6.同角三角函数的基本关系: sin x ? cos x ? 1;
2 2

sin x ? tan x ; cos x

如:1、已知 cos(

? 3? 3 ,且 | ? |? ,则 tan ? 为 ??) ? 2 2 2

5 2、若 α 是第四象限角,且 tanα=- ,则 sinα= 12 3.若 sin x ? cos x ?

1 , x ? (0, ? ) , 则 sinx= 3

cosx=

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

? ② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ③ tan( ? ? ) ?
8.二倍角公式:① sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

tan? ? tan ? 。 1 ? tan? tan ?
2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

2 2 2 2 ② cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ;③ tan 2? ?

9. 正、 余弦定理⑴正弦定理

a b c ? ? ? 2 R( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径) sin A sin B sin C

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; ③

a b c a?b?c ? ? ? 。 sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
2 2 2

⑵余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个;注: cos A ? 10。几个公式:⑴三角形面积公式: ⑵外接圆直径 2R=

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

第四部分

立体几何

1.三视图:主俯长对正,主左高平齐,俯左宽相等 直观图:注原图形与直观图面积之比为 2 2 : 1。 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ?rl ;③体积:V=
'

1 S 底 h: 3 1 3

⑶台体:①表面积:S=S 侧+S 上底 S 下底;②侧面积:S 侧= ? (r ? r )l ;③体积:V=

6

2 (S+ SS ' ? S ' )h;⑷球体:①表面积:S= 4?R ;②体积:V= ?R

4 3

3



3.位置关系的证明(主要方法)(请把判定定理和性质定理写在下面对应的位置上) : ⑴直线与直线平行: ①公理 4; 。 ②线面平行的性质定理; ③面面平行的性质定理: ⑵直线与平面平行: ①线面平行的判定定理; ②面面平行 ? 线面平行。 ⑶平面与平面平行: ① 面面平行的判定定理及推论; ②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直: ① 直线与平面垂直的判定定理; ②面面垂直的性质定理: ⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角; ②面面垂直的判定定理。

第五部分

直线与圆

1.直线方程⑴点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ;⑵斜截式: y ? kx ? b ;⑶截距式:

x y ? ? 1 ;⑷两点式: y ? y1 ? x ? x1 a b y 2 ? y1 x 2 ? x1

;⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 , (A,B

不全为 0) 。 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。 ?x ? y ? 5 ? 0 ? 如: 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ). ?x ? 3 ? A. 6 B. ? 6 C.10 D. ? 10

7

?x+y-1≥0 ? 2、在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0 ?ax-y+1≥0 ?
积等于 2,则 a 的值为 A.-5 B.1 3.两条直线的位置关系: 直线方程 C.2 D.3

(a 为常数)所表示的平面区域内的面

平行的充要条件

垂直的充要条件

备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

k1 ? k 2, b1 ? b2

k1 ? k 2 ? ?1 A1 A2 ? B1 B2 ? 0

l1 ,l 2 有斜率
不可写成 分式

A1 B2 ? A2 B1 , 且

l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 B1C2 ? B2C1 (验证)
4、几个公式 ⑴设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3) ,⊿ABC 的重心 G: ( (2)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2),则 AB 的中点坐标为 (3)点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ?

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ) ; , 3 3 |AB|=

Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2



(4)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2



如:1、若过点(1,2)的直线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为( A. x ? 4 y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 9 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0



D. 4 x ? y ? 2 ? 0

2.已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( ). A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 3.已知点 (a, 2) (a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a=( A. 2 B.- 2
2

).

C. 2 ? 1
2

D. 2 ? 1
2

5.圆的方程:⑴标准方程:① ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 2 2

;② x ? y ? r
2 2

2



( D ? E ? 4F ? 0) 写出圆心和半径 。

2 2 如:圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ?

6.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;

8

已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为___________. 7.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系: d 表示点到圆心的距离) ( ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系: d 表示圆心到直线的距离) ( ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系: d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ( ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 如:1、以点(2, ?1 )为圆心且与直线相切的圆的方程是 .

2、已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,则 C 上各点到 l 距离的最小值 3.过点(2,3)的直线 l 与圆 C:x2+y2+4x+3=0 交于 A、B 两点,当弦长|AB|取最大值时, 直线 l 的方程为 A.3x-4y+6=0 B.3x-4y-6=0 C.4x-3y+8=0 D.4x+3y-8=0 2 2 2 2 4 、 两 个 圆 C1 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 : x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的 公 切 线 有 且 仅 有 ( ). A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 8.与圆有关的结论: ⑴过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为: 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为: ⑵以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:

第六部分

圆锥曲线

1.定义:⑴椭圆: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ⑵双曲线: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ⑶抛物线: (请自主完成) 2.椭圆、双曲线、抛物线方程:请自主完成 3.性质:离心率,a,b,c 的关系 x2 y 2 练习: 如果椭圆 1. 那么点 P 到另一个焦点 F2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 100 36 的距离是( ) . A.4 B.14 C.12 D.8 2.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15 ,则椭圆 的标准方程是 10 x2 y 2 3.若椭圆 ? ,则 m 的值是( ) . ? 1 的离心率 e ? 5 5 m 5 15 25 A. 3 B. 3 或 C. 15 D. 15 或 3 3

9

2 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点,则 3 ?ABF2 的周长为( ) .A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 5.某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点恰好将长轴三等分,则 此椭圆的方程是 . 6.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△F1PF2 、F 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) . 2 2 ?1 A. B. C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 2 x2 y 2 7.椭圆 ? ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 ,过原点 O 作直线与椭圆相交于 A, B 两点,若 45 20 . ?ABF2 的面积是 20 ,则直线 AB 的方程是
4.短轴长为 5 ,离心率 e ? 8、已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 ,且 G 上一点到 G 的两个 2

焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. x2 y 2 9.设 P 是椭圆 . ? ? 1 , P 到两焦点的距离之差为 2,则 ?PF1 F2 是( ) 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

10、椭圆

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点为F1 , F2 , 过F1作垂直于x轴的直线与y轴相交,一个交点 4 为P,则|PF2 |?
A

3 2

B 3

C

7 2

D4

11、椭圆 A、4

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|等于 25 9 3 B、2 C、8 D、 2
) .

12.动点 P 到点 M (1, 0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 13.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( ) . A. 5

B. 13 C. 5 D. 13 x2 y 2 14、 以椭圆 ? 以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是 ? 1 的焦点为顶点, 8 5 x2 y 2 15. 双曲线 ? .A.1 B. 2 C. 3 ? 1 的离心率为( ) 4 8 16.双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的渐近线方程是 . 17.经过点 A(3, ?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 18、若椭圆

. D.2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 F1,F2,P 是两曲线的一个交点, 25 16 4 5 21 则 PF1 ? PF2 的值为( ) .A. B. 84 C. 3 D. 21 2

10

x2 y 2 ) . ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 A. B. C. ? ?1 ? ?1 ? ? 1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27 16 48 9 27 20、过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P 、 Q , F1 是另一焦点,若
19.以椭圆 ∠PF1Q ?

?
2

, 则双曲线的离心率 e 等于 (

) A. 2 ? 1 .

B.

2 C.

2 ?1

D.

2?2

21、抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点距离是 a (a ? 是 ,点 M 的横坐标是 . 2 22.抛物线 x ? 8 y ? 0 的准线方程式是( ) . A. x ? 2 B. x ? ?2 C. y ? 2
2

p ) ,则点 M 到准线的距离 2

D. y ? ?2

23.抛物线 y ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) . 5 15 A. B. 5 C. D. 10 2 2 24.顶点在原点,焦点是 F (0,5) 的抛物线方程( ) . 1 1 A. y 2 ? 20 x B. x2 ? 20 y C. y 2 ? D. x 2 ? x y 20 20 25.过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 , 则 AB = . 26.抛物线上一点 (?5, 2 5) 到焦点 F(p,0)的距离是 6 ,则抛物线的标准方程 是 . 4.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式)(3)代入法(相关点 ; 法或转移法) ;⑷待定系数法; 。 如:1.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2a ,则点 M 的轨迹为( ) . A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 6 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则动点 M 的轨迹是 2. 设 F1 , F2 为定点,| F1 F2 |= . 3、设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0? ,.直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积

4 是 ? ,求点 M 的轨迹方程 . 9 4、一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的 轨迹方程式,并说明它是什么曲线. 5、 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y ? 8 的距离的比是 1 : 2 , 点 求点 M 的轨迹方程式, 并说明轨迹是什么图形.

第七部分

平面向量

⑴设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:① a∥b(b≠0) ? a= ? b ( ? ? R) ? x1y2-x2y1=0; ② a⊥b(a、b≠0) ? a·b=0 ? x1x2+y1y2=0 ⑵a·b=|a||b|cos<a,b>=x1x2+y1y2; 注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影; |b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的投影;②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a

11

方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。⑶cos<a,b>=

a ?b ; | a || b |

⑷三点共线的充要条件 P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB(且x ? y ? 1) ; 如:1、若 a ? 2, b ? 1 ,且 a ? b ? 3 ,则 a 与 b 的夹角为(

?

?

? ?2

?

?

)

A . 30?

B . 60 0

C . 1200

D . 150?

2、已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2,n? ,若 a ? b ? a? ,则 n ? b B. ?1 C.1 D.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a 与 b 的夹角为 60? ,则 a ? a ? a ? b ? ( A. ?3



A.

1 2
?

B.

3 2
?

C. 1 ?

3 2

D.2

4、已知向量 a ? (1,2) ,向量 b ? ( x, ?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于 A. ?4 B. 4 C. 0 5、 已知向量 a ? (1,2), b ? ( x,?4) ,若 a ∥ b ,则 a ? b ? ( A、10 B. ?6 C.0 D. 9 ) D.6

?

? ?

??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 6.若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则△ABC 一定
是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

第八部分
1.定义:

数列

⑴等差数列 {an} an ?1 ? an ? d (d为常数) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N*) ? ?

? an ? kn ? b ? sn ? An2 ? Bn ;
⑵等比数列 {a n } ?

an ?1 2 ? q(q ? 0) ? an ? an -1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N) an

? an ? cqn (c, q均为不为 的常数) Sn ? k ? kqn (q ? 0, q ? 1, k ? 0) ; 0 ?
2.等差、等比数列性质 等差数列 等比数列

12

通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

an ? a1q n?1
1.q ? 1时,S n ? na1 ; a1 (1 ? q n ) 1? q

前 n 项和

Sn ?

2.q ? 1时,S n ? ? a1 ? a n q 1? q

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 AP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 AP, d ' ? md

①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 GP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 GP, q' ? q m

等 差 数 列 特 有 性 质 : ① 项 数 为 2n 时 : S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n) ; S 偶 ? S奇 ? nd ;

S奇 S偶

?

S奇 an n ;②项数为 2n-1 时:S2n-1=(2n-1) a中 ; S奇 - S偶 ? a中 ; ; ? a n ?1 S偶 n - 1

③若 an ? m, am ? n, (m ? n),则am?n ? 0 ;若 S n ? m, S m ? n, 则S m?n ? ?(m ? n) ; 若 S n ? S m , (m ? n),则S m?n ? 0 。 3.数列通项的求法: S1 (n=1) an= ⑴分析法;⑵定义法(利用 AP,GP 的定义) ;⑶公式法:累加法( an ?1 ? (n≥2) n ; Sn-Sn-1 an ? c ⑷叠乘法(

an?1 ;⑸构造法( an?1 ? kan ? b 型)(6)迭代法; ; ? cn 型) an
1 1 ; ( ? ? 4 ) ⑻作商法 a1a2 ?an ? cn an an?1

⑺间接法 (例如:a n ?1 ? a n ? 4a n a n ?1 ?

型) ;⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注:当遇到 an ?1 ? an?1 ? d或

an?1 ? q 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 an?1

4.前 n 项和的求法:⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法:

13

⑴ ?a n ? 0 ? 或 ?a n ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
?a n ?1 ? 0? ?a n ?1 ? 0 ?

;⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分
1.均值不等式: ab ?

不等式

a?b a2 ? b2 ? 2 2
a ? b 2 a2 ? b2 。 ) ? 2 2

注意:①一正二定三相等;②变形, ab ? (

2.绝对值不等式: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 3.不等式的性质: ⑴ a ? b ? b ? a ; a ? b, b ? c ? a ? c ; a ? b ? a ? c ? b ? c ;a ? b, c ? d ⑵ ⑶

? a ? c ? b ? d ;⑷ a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ;a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;a ? b ? 0,

c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑸ a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0(n ? N ? ) ; (6) a ? b ? 0 ?
n

a ? n b (n ? N ? ) 。
第十部分 复数

4.不等式等证明(主要)方法:⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。 1.概念: ⑴z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; ⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; ⑶z1÷z2 =

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bd ? bc ? ad i (z2≠0) ; (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2
1? i 1? i ? i; ? ?i; 1? i 1? i

3.几个重要的结论:
2 ⑶ ⑷ (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ); (2) z ? z ? z ? z ; (1 ? i) ? ?2i ;
2 2 2 2 2 2

⑸ i 性质:T=4; i (6) ? ? ?

4n

? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;

1 3 ? i 以 3 为周期,且 ? 0 ? 1, ? 2 ? ?,? 3 ? 1 ; 1 ? ? ? ? 2 =0; 2 2

14

(7) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? 4.运算律: (1) z
m

1 。 z
m m

? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z2 ) m ? z1 z2 (m, n ? N );
z1 z ) ? 1 ; z ? z。 ⑷ z2 z2

5. 共轭的性质: ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ; z1 z 2 ? z1 ? z 2 ; ( ⑴ ⑵ ⑶

6.模的性质:⑴ || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ;⑵ | z1 z 2 |?| z1 || z 2 | ;⑶

|

z1 | z1 | ;⑷ | z n |?| z | n ; |? z2 | z2 |
第十一部分 概率

1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ⑶并 (和) 事件: 某事件发生, 当且仅当事件 A 发生或 B 发生, 记作 A ? B(或 A ? B ) ; ⑷并 (积) 事件: 某事件发生, 当且仅当事件 A 发生且 B 发生, 记作 A ? B(或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与互斥; ﹙6﹚对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型: P( A) ?

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体 积等) ; 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积 等)

⑶几何概型: P( A) ?

第十二部分

统计与统计案例

1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个 容量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ;

15

④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的 情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ? 2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;
n n
i ?1
n ⑵样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( x ? x )2 ; i

n N

n

n

n

i ?1

n ⑶样本标准差 S ? 1 [(x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ( x ? x )2 ; ? i

n

n

i ?1

3.相关系数(判定两个变量线性相关性) r ? :

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? (x
i ?1

n

i

? x) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关; ⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之 间几乎不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定:
2 ⑴总偏差平方和:? ( y i ? y ) ⑵残差:ei ? yi ? yi ; ⑶残差平方和:? ( yi ? yi) ; 2 i ?1 i ?1 n
? ?

n

?

⑷回归平方和:

? ( yi ? y) 2 - ? ( yi ? yi) 2 ;⑸相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1 i ?1

n

n

?

? ( yi ? yi ) 2 ?(y
i ?1 i ?1 n

n

?


i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② R 越接近于 1, ,则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系) : 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
2

2

2

第十三部分
1.程序框图: ⑴图形符号:

算法初步

16

① ③

终端框(起止况) ;②

输入、输出框;⑥

连接点。

处理框(执行框) ;④ ⑵程序框图分类: ①顺序结构:
输入 n

判断框;⑤

流程线 ;

②条件结构: r=0? 是
n 不是质素

③循环结构: 否
n 是质数 求 n 除以 i 的余数 i=i+1

i=2 i ? n 或 r=0?否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型)——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 2.基本算法语句: ⑴输入语句: INPUT “提示内容” ;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句: 变量=表达式 ⑵条件语句:① ② IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF ⑶循环语句:①当型: ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 3.算法案例: ⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数; ⑵秦九韶算法------求多项式的值; ⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分

常用逻辑用语与推理证明

1. 四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p; ⑶否命题:若 ? p 则 ? q;⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理;

17

(2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的 必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 3.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; p q p?q p?q ⑵或(or) :命题形式 p ? q; 真 真 真 真 ⑶非(not) :命题形式 ? p . 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 4.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”“任意一个”等,用 ? 表示; 、

?p
假 假 真 真

全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”“至少有一个”等,用 ? 表示; 、 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第十五部分

推理与证明

1.推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在 进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具 有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论” 是演绎推理的一般模式, 包括: ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提--------所研究的特殊情况;⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明⒈直接证明
⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫 分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。

18

19


更多相关文档:

高中数学基础知识汇总

高中数学基础知识汇总_数学_高中教育_教育专区。高考数学总复习精品资料高中数学知识汇总熟悉这些解题小结论,启迪解题思路、探求解题佳径,总结解题方法,防止解题易误 ...

高考数学基础教材(艺术生用)

高考数学基础教材(艺术生用)_数学_高中教育_教育专区。适合艺术生高中数学基础...求 n 的值. 第 6 节数列求和基本方法练习数列求和方法总结 一.公式法:如果...

高中数学基础知识汇编及基本题型汇总

高中数学基础知识汇编及基本题型汇总_数学_高中教育_教育专区。本资料是身为一线...艺术生高中数学基础知识... 19页 2下载券 高中数学会考基础知识汇... 16页...

高中数学基础知识汇总

高中数学基础知识汇总_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三必备为...6、元素重复问题住店法(或映射法) :解决“允许重复排列”的问题要注意区分两...

新课标全国卷高中数学基础知识汇总

新课标全国卷高中数学基础知识汇总 (排好版,可直接打印 8K) 这个汇总,是在原先已有的资料的基础上,结合新课改的精神,配合高中数学从分省出题向回归全国卷的潮 ...

高中数学基础知识归纳汇总

高中数学基础知识归纳汇总(主要是文科)第一部分、集合与逻辑用语 1、集合 ①.定义:一组对象的全体形成一个集合;②.表示方法有:列举法{1,2,3,?}、描述法{x|...

高中数学基础知识汇编及基本题型汇总(有答案)

高中数学基础知识汇编及基本题型汇总(有答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区...必修 5—线性规划平面区域 【基础题型】平面区域应用 (1)弄清形如 (3x ?...

2013届艺术生高三数学一轮复习:基础知识归纳(高中全部)

2013届艺术生高三数学一轮复习:基础知识归纳(高中全部)_数学_高中教育_教育专区。2013届艺术生高三数学一轮复习必备高中全部基础知识归纳2013...

高中数学知识点总结(最全版)

高中数学知识点总结(最全版)_数学_高中教育_教育专区。数学知识点总结 引言 1.课程内容:必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、...

2013届艺术生高三数学一轮复习:基础知识归纳(高中全部)

2013届艺术生高三数学一轮复习:基础知识归纳(高中全部)_数学_高中教育_教育专区...推理型题分析与总结文档贡献者 dtwangyonggang 贡献于2014-11-15 相关文档推荐...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com