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概率论(2)


第二章 一维随机变量及其分布
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节

随机变量
离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 随机变量的函数的分布

第一节 随机变量
定义设X =X (w )是定义在样本空间W上的单值实值 函数,称X =X (w )为随机变量。 随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,…等表示。

下图给出样本点w与实数X =X (w )对应的示意图

e1 e2

W

e3

x

例1 一射手对目标进行射击,击中目标记为1分, 未中目标记为0分。设X表示该射手在一次射击中的 得分,它是一个随机变量,可以表示为

?1, w ? 击中; X ?? ?0, w ? 未中。
例2 观察一个电话交换台在一段时间(0,T)内接 到的呼叫次数。如果用X表示呼叫次数, 那么 { X ? k} (k ? 0,1,2,?) 表示一随机事件, 显然 { X ? k} (k ? 0,1,2,?)也表示一随机事件。

一般的, 若I是一个实数集合,{X ? I }记为事件B



B ? ?w X (w ) ? I ?

于是P ? X ? I ? ? P( B) ? P ?w X (w ) ? I ?.
随机变量的取值随试验的结果而定,而试验的各个 结果出现有一定的概率,因而随机变量的取值有一 定的概率。 按照随机变量可能取值的情况,可以把它们分为两 类:离散型随机变量和非离散型随机变量,而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量。因此, 本章主要研究离散型及连续型随机变量两种

定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机 变量。 一般地,设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk (k ? 1,2,?)

X 取各个可能值的概率,即事件 { X ? xk } 的概率为

P{ X ? xk } ? pk , k ? 1,2,?,

(1)

称(1)式为离散型随机变量X的分布律 。

分布律也可以直观地用下面的表格来表示:
X

pk

x1 x2 ? xn ? p1 p2 ? pn ?

由概率的定义,式(1)中的 p k应满足以下条件:

1



p k ? 0, k ? 1,2,?,

2。

?p
k ?1

?

k

? 1.

随机变量X 的所有取值 随机变量X的 各个取值所 对应的概率

第二节

离散型随机变量

例1 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台 与第二台机器发生故障的概率分别为0.1,0.2,以X 表示系统中发生故障的机器数,求X 的分布律 解 设Ai 表示事件“第i台机器发生故障”,i ? 1,2
P{ X ? 0} ? P( A1 A2 ) ? 0.9 ? 0.8 ? 0.72

P{ X ? 1} ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? 0.1? 0.8 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.26

P{X ? 2} ? P( A1 A2 ) ? 0.1? 0.2=0.02

故所求概率分布为:

X

0
0.72

1
0.26

2
0.02

pk

(一)(0-1)分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律是
P{ X ? k} ? p k q1?k , k ? 0,1, p ? q ? 1 (0 ? p ? 1)

则称 X 服从(0-1)分布或两点分布。 (0-1)分布的分布律也可写成 抛一枚硬币,观察出
现正面H还是反面T, 正面X=0,反面X=1

X

0
q

1
p

pk

H T

对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元 素,即 W ? {w1 , w 2 },我们总能在W上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量。
?0, 当w ? w1 , X ? X (w ) ? ? ?1, 当w ? w 2 . 来描述这个随机试验的结果。

检查产品的质量是否合格,对新生婴儿的性别 进行登记,检验种子是否发芽以及前面多次讨 论过的“抛硬币”试验都可以用(0-1)分布 的随机变量来描述 。

(二) 伯努利试验与二项分布 设试验 E 只有两个可能结果: 及 A , 则称 E为伯努利 A (Bernoulli)试验。设P( A) ? p (0 ? p ? 1) ,此时 P( A) ? 1 ? p ,将E 独立地重复地进行n次,则称这一串 重复的独立试验为n重伯努利试验。 伯努利试验是一种非常重要的概率模型,它是“在同 样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模 型,有着广泛的实际应用。

以X表示n重伯努力试验中事件A出现的次数, 现在求它的分布律 。 若以Bk 记n重伯努力试验中时间A正好出现k次这一事件, 即事件{ X ? k}, 而以Ai 表示第i次试验中出现事件A, 以Ai 表示第i次试验中出现 A ,则 Bk ? A1 A2 ? Ak Ak ?1 ? An ? ? ? A1 A2 ? An?k An?k ?1 ? An
右边的每一项表示某k次试验出现事件A, 另外n ? k次试验出现 A, ?n? 这种项共有 ? ? 个,而且两两互不相容。 ?k ?

由试验的独立性,得
P( A1 A2 ? Ak Ak ?1 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( Ak ) P( Ak ?1 )? P( An )

? p k q n?k

其中q ?1 ? p

Bk ? A1 A2 ? Ak Ak ?1 ? An ? ? ? A1 A2 ? An?k An?k ?1 ? An
同理可得上式右边各项所对应的概率均为 p k q n ? k
利用概率的加法定理知
? n ? k n?k P( Bk ) ? ? ? p q ?k ?


? n ? k n?k P ? X ? k? ? ? ? p q , ?k ? k ? 0,2, ,n, 1, ?

显然 P?X ? k? ? 0
? n ? k n?k P ? X ? k ? ?? ? ? p q ? ( p ? q ) n ? 1 ? k ?0 k ?0 ? k ?
n n

即P?X ? k?满足分布律的两个条件
? n ? k n?k ( p ? q) n的展开式中 注意到 ? ? p q 刚好是二项式 ?k ?

出现p k的那一项,故称随机变量X服从参数为n, p的二项分布

记为X ~ b(n, p)

例2 已知某类产品的次品率为0.2,现从一大批这类产 品中随机地抽查20件,问恰好有k(k=0,1,2,…,20)件次品 的概率是多少? 解 这是不放回抽样。但由于这批产品的总数很大, 且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小, 因而可以当作放回抽样来处理。这样做会有一些误 差,但误差不大我们将检查一件产品是否为次品看 成是一次试验,检查20件产品相当于做20重伯努利 试验。以X记抽出的20件产品中次品的件数,那么X 是一个随机变量,且X~ b(20,0.2) 则所求的概率为
? 20 ? P ? X ? k? ? ? ? (0.2)k (0.8)20?k , ?k? k ? 0,?, 1, 20

将计算结果列表如下:
k

P?X ? k?

k

P?X ? k?

0 1 2 3 4 5

0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175

6 7 8 9 10 ≥11

0.109 0.055 0.022 0.007 0.002 < 0.001

作出上表的图形,如下图所示

从上图可以看出,当k增加时,概率P{X ? k}先是随之增加, 直至达到
最大值(k ? 4),随后单调减少。一般地,对于固定的n及p,二项分布

b(n, p)都有类似的结果

例3 设某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率 为20%现新发明两种疫苗,疫苗A注射在9只健康鸭后 无一只感染传染病,疫苗B注射在25只鸭后仅有一只 感染,试问应如何评价这两种疫苗,能否初步估计哪 种疫苗较为有效?

解 若疫苗A完全无效,则注射后鸭受感染的概率仍为 0.2,故9只鸭中无一只感染的概率为

? 0.8?

9

? 0.1342.

同理,若疫苗B完全无效,则25只鸭中至多有一只 感染的概率为

? 0.8?

25

? 25 ? 1 24 ? ? ? ? 0.2 ? ? 0.8 ? ? 0.0274. ? 1 ?

因为概率0.0274较小,并且比概率0.1342小得多,

因此可以初步认为疫苗B是有效的,并且比A有效。

(三)泊松分布
设随机变量X 所有可能取值为0,1, 2,?,

而取各个值的概率为 ?k e ? ?
P?X ? k ? ? k!

k ? 0,2, 其中? ? 0是常数 1, ?

则称X 服从参数为?的泊松分布,记为X ~ ? (? )
显然,P{X ? k} ? 0, k ? 1,2,?, 且有

? P?X ? k? ? ?
k ?0 k ?0

?

?

?k e ? ?
k!

? e ?? ?
k ?0

?

?k

? e ?? ? e ? ? 1 k!

即P{X ? k}满足分布律的两个条件

例4 商店的历史销售记录表明,某种商品每月的销 售量服从参数为?? 10的泊松分布。为了以95%以上的 概率保证该商品不脱销,问商店在月底至少应进该商 品多少件? 解 设商店每月销售某种商品X件,月底的进货量为n件,

按题意要求为 P?X ? n? ? 0.95

X服从?

由附录的泊松分布表知 ? 10 e ?10 k!
k ?0 15

10 k ?10 ? 10的泊松分布,则有 ? k!e ? 0.95 k ?0 k 14
n

? 0.9166 ? 0.95 ,

只要在月底进货15件(假定上个月没有存货),就可 以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。

10 k ?10 ? k!e ? 0.9513 ? 0.95 . k ?0

第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F ( x) ? P?X ? x?

称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数,其定义域是 整个实数轴。 在几何上,它表示随机变量X落在实数x左 边的概率
X

x

分布函数具有以下基本性质: 1 0 ? F ( x) ? 1 2 F ( x)是x的不减函数 3 F (??) ? lim F ( x) ? 0, (??) ? lim F ( x) ? 1 F
x ??? x ???

4 F ( x ? 0) ? F ( x)

即F (x)是右连续的

例1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 pk ? ? ?

求X的分布函数,并求P?0 ? X ? 1? 解 由概率的有限可加性 P ?0 ? X ? 1? 分布函数为:
?0 ?1 ? ?4 F ( x) ? ? ?3 ?4 ?1 ? x ? ?1 1? x ? 0 0 ? x ?1 x ?1

? P ?0 ? X ? 1? ? P ? X ? 0? ? F (1) ? F (0) ? P ? X ? 0? 3 1 ? 1? ? 4 2 3 ? . 4

F (x)的图形如下图所示

分布函数F ? x ?的图形是一条阶梯曲线, 它在X=-1、、 0 1处有跳跃 1 1 1 其跳跃值分别为X 取-1、、 0 1的概率 、 、 。 4 2 4

一般地,设离散型随机变量X的分布函数为
P?X ? xk ? ? pk, k ? 1, ? 2,

由概率的可列可加性得X的分布函数为

F ( x) ?

xk ? x

?p

k

分布函数F ( x)在x ? xk , ?k ? 1,2,??处有跳跃, 对所有满足xk ? x的k求和。 其跳跃值为p k ? P{ X ? x k }

例2 在区间[1,5]上任意掷一个质点,用X表示这个 质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个 质点落在[1,5]上任一子区间内的概率与这个区间 的长度成正比,求X的分布函数。

解 由题意知{1 ? x ? 5}是一个必然事件



P ?1 ? X ? 5? ? 1

若1 ? x ? 5,则P? ? X ? x? ? k ( x ? 1) 1

若x ? 1, 则{X ? x}是不可能事件, F ( x) ? P{X ? x} ? 0
特别取x ? 5由P{1 ? X ? 5} ? 1可得k ? 1/ 4, 从而

若x ? 5,则{X ? x}是必然事件,F ( x) ? 1

1 F ( x) ? P?X ? x? ? P?x ? 1? ? P? ? X ? x? ? ( x ? 1) 1 4

x ? 1, ? 0, ?1 X的分布函数为 F ( x) ? ? ( x ? 1), 1 ? x ? 5 ?4 x ? 5. ? 1,

F (x)的图形如下图所示

F (x)是一个定义在(-?,??)上的一个连续函数, 在整个数轴上没有一个跳跃点。

第四节 连续型随机变量
定义 对于随机变量X 的分布函数F ( x), 如果存在非

负函数f ( x),使对于任意实数x有
F ?x ? ? ? f ?t ?dt
x ??

则X称为连续型随机变量,其中函数f ( x)称 为X的概率密度函数,简称概率密度。

由定义知道,概率密度f ?x ?具有以下性质 ?? 性质(1),(2)是 上式表明概率密度f ( x)不是随机变量X取值x的概率, (2) f ? x ?dx ? 1 (1) f ? x ? ? 0

x 映出X取x附近的值的概率大小。因此对于连续型随 P?x1 ? X ? x 2 ? ? F ?x 2 ? ? F ?x1 ? ? ? f ?x ?dx x 机变量,用概率密度描述它的分布比分布函数直观。 (4) 若f ( x)在点x连续,则有F '( x) ? f ( x)
2 1

两个最基本的 而是X在点x的概率分布的密集程度, f ( x)的大小能反 性质 (3) 对于任意实数x , x , x ? x , 有
??

?

1

2

1

2

由性质 4 知, 对于f X 落在区间( x1 ,(x2)]上的概率 ( x)的连续点x有
P{x1 ? X ? x2 }等于区间 x ? ? F ?x ? F ?x ? ?
? ? ( x1 , x2 ]上曲线xf?(0x)之下的x

f ?x ? ? lim ?

P?x ? X ? x ? ?x? ? lim ? ?x ?0 ?x

曲边梯形的面积(如图)

例1

设连续型随机变量X具有概率密度
?kx ? 1 f ?x ? ? ? ?0 0 ? x ? 2, 其他.

(1)确定常数k
(2)求X的分布函数F ?x ?
(3)求P 3 ? X ? 5 2 2

?

?

(1) 解: 由??? f ( x)dx ? 1, 得?0 (kx ? 1)dx ? 1

??

2

解得k ? ?1/ 2

(2) X的分布函数为
F ?x ? ? ?
x

??

?0, ? 1 ? f ?t ?dt ? ?? x 2 ? x, ? 4 ?1, ?

x?0 0? x?2 x ?1

3 ? X ? 5 ? F?5??F? 3? (3) P ? ? ? ? 2 2 2? ? ?2? ? 1 ? 0.9375 ? 0.0625

?

?

均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密度
? 1 , ? f ?x ? ? ? b ? a ?0, ? a ? x ? b, 其它.

则称X在区间(a, b)上服从均匀分布, 记为X~U (a, b)
易知f ( x) ? 0, 且? f ?x ?dx ? 1
?? ??

满足连续型随机变量 的两个最基本性质

f ? x ?的图形

在(a, b)上服从均匀分布的随机变量X落在(a, b)中任 一等长度的子区间内的可能性是相同的, 或者说X 落在(a, b)子区间的概率只依赖于子区间的长度, 而 与子区间的位置无关。

X的分布函数为
?0, ?x ? a ? F ?x ? ? ? , ?b ? a ?1, ? x?a a? x?b x?b

F ( x)相应的图形为

指数分布
满足连续型随机变量 设连续型随机变量X概率密度为
??e f ?x ? ? ? ?0,
? ?x

,

x ? 0, x ? 0.
??

的两个最基本性质

其中? ? 0常数为, 则称X服从参数为?的指数分布。

易知f ( x) ? 0且? f ?x ?dx ? ? ?e ??x ? 1
?? 0

??

X的分布函数为
?1 ? e ? ?x , F ?x ? ? ? ?0, x ? 0, 其它.

指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示

例2 已知某种电子元件寿命X (单位:小时)服从参数 ? ? 1/1000的指数分布, 求3个这样的元件使用1000

小时至少有一个已损坏的概率。
x ? 1 ?1000 解:X的概率密度为 e , ? f ?x ? ? ?1000 ?0, ?

x ? 0, x ? 0.

于是P?X ? 1000? ? ?

??

1000

f ?x ?dx ? e ?1

各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e ?3 ,从 而至少有一个已损坏的概率为 1 ? e?3

正态分布
? 1 f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

设连续型随机变量X概率密度为

满足连续型随机变量 的两个最基本性质

, ? ? ? x ? ??

其中? , ? (? ? 0)为常数, 则称X服从参数为? , ?的正态 分布, 记为X ~ N ( ? , ? 2 )。

显然f ( x) ? 0,下面来证明?

+?

-?

f ( x)dx ? 1



x??

?

? t, 得
??

?

?? ??

? 1 e 2??

( x ? ? )2 2? 2

1 dx ? 2?

?

?? ??

e

t2 ? 2

dt

利用广义积分 ?

0

e

? x2

dx ?
t2 ? 2

?
2

,有

?
于是

?? ??

e

dt ? 2?
? ( x ? ? )2 2? 2

1 2??

?

?? ??

e

dx ? 1

f (x)如图所示

函数f ( x)的图形关于直线x ? ?对称, f ( x)在x ? ?处 达到最大。当?固定时, ?的值越小, f ( x)的图形越尖。 反之,当?的值越大,f ( x)的图形就越平。

X的分布函数为
F (x)如下图所示

1 F ( x) ? 2??

?

x ??

?

( t ? ? )2 2? 2

e

dt

当? ? 0, ? ? 1时称X服从标准正态分布, 记为X ~ N (0,1)。 其概率密度和分布函数分别用? ( x), ?( x)表示,即有
1 ? ( x) ? e 2?
x2 ? 2

,

1 ? ( x) ? 2?

?

x ??

e

t2 ? 2

dt

易知

? ( ? x ) ? 1 ? ? ( x)
2

引理 若 X ~ N ( ? , ? ) 则 Y ?

X ??

?

~ N (0,1)

例3 已知X ~ N (8, 42 )求 P{X ? 16}, P{ X ? 0}及P{12 ? X ? 20}
由引理及X的分布函数, 查表得 解:
X ? 8 16 ? 8 P{ X ? 16} ? P{ ? } ? ?(2) ? 0.9773 4 4
P{ X ? 0} ? P{ X ? 8 ?8 ? } ? ?(?2) ? 1 ? ?(2) ? 0.0227 4 4

12 ? 8 X ? 8 20 ? 8 P{12 ? X ? 20} ? P{ ? ? } ? ?(3) ? ?(1) 4 4 4 ? 0.9987 ? 0.8413 ? 0.1574

设 X ~ N (? , ? 2 ) 求X落在区间(? ? k? , ? ? k? )内的概率 例4
k ? (1,2,3,?)

解: P{ X ? ? ? k? } ? P{? ? k? ? X ? ? ? k? } ? ?(k ) ? ?(?k )
? 2?(k ) ? 1

于是 P{ X ? ? ? ? } ? 2?(1) ?1 ? 0.6826
P{ X ? ? ? 2? } ? 2?(2) ? 1 ? 0.9544

P{ X ? ? ? 3? } ? 2?(3) ? 1 ? 0.9973

则有P{ X ? ? ? 3? } ? 1 ? P{ X ? ? ? 3? } ? 0.0027 ? 0.003
X落在( ? ? 3? , ? ? 3? )以外的概率小于0.003, 在实际问题中常认为它不会发生。

设X ~ N (0,1), 若u? 满足条件P{ X ? u? } ? ? , 0 ? ? ? 1, 则 称点u? 为标准正态分布的上? 分位点(如下图所示)

由? ( x)的图形的对称性可知:u1?? ? ?u?

第五节 随机变量的函数的分布
在实际问题中,不仅需要研究随机变量,往往还要 研究随机变量的函数.即已知随机变量X的概率分布, 求其函数Y ? g (X )的概率分布.

例1 设随机变量X 具有以下分布(如下图),
试求(1)Y ? 2 X (2) Z ? ( X ? 1) 2的分布律。

解: (1)Y的所有可能取值为 ? 2,0,2,4。
由P{Y ? 2k} ? P{ X ? k} ? pk 得Y的分布律为

(2) z的所有可能取值为0,1,4
P{Z = 0} = P{( X - 1)2 = 0} = P{ X = 1} = 0.1
P{Z = 1} = P{( X - 1)2 = 1} = P{ X = 0} + P{ X = 2} = 0.6

P{Z = 4} = P{( X - 1)2 = 4} = P{ X = - 1} = 0.3

故z的分布律为

例2 设随机变量X ~ N ( ? , ? 2 ),试证明X的线性函数
Y=aX ? b也服从正态分布。

证明 设a ? 0, 下面先求FY ( y) 分别记X , Y的分布函数为FX ( x), FY ( y)
FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{aX ? b ? y} y ?b y ?b ? P{ X ? } ? FX ( ) a a

将FY ( y)关于y求导,得Y=aX ? b的概率密度为
y ?b y ?b ' 1 y ?b )( ) ? fX ( ) f Y ( y) ? f X ( a a a a

而f X (x) ?

1 2? ?

?

( x?? )2 2? 2

e
1

,?? ? x ? ??,
? [ y ? ( ax? b )] 2 ( a? ) 2

所以

f Y ( y) ?

2? (a? )

e

,?? ? x ? ??.

若a ? 0同样的方法可以求得

fY ( y ) ?

1 2? a ?

?

[ y ? ( a? ? b )]2 2( a? )2

e

, ?? ? x ? ??

故Y ? aX ? b ~ N (a? ? b, (a? ) 2 ).
? X ?? 特别的, 在上例中取 a ? , b ? ? 得 Y ? ~ N (0,1) ? ? ?
1

这就是上一节引理的结果

例3 设随机变量X具有概率密度f X ( x),?? ? x ? ??,
求Y ? X 2的概率密度。

解: 分别记X , Y的分布函数为FX ( x), FY ( y)
先求Y的分布函数FY ( y )。 由于Y ? X 2 ? 0, 故当y ? 0时,FY ( y ) ? 0
当y ? 0时有
FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{ X ? y}
2

? P{? y ? X ? y } ? FX ( y ) - FX (-

y)

将FY ( y)关于y求导,即得y的概率密度为 ? 1 [ f X ( y ) ? f X (? y )], y ? 0 ? f Y ( y) ? ? 2 y ?0 , y ? 0. ? 设X ~ N (0,1), 其概率密度为
f X ( x) ? 1 2? e
x2 ? 2

() 1

,?? ? x ? ??,

由()得Y ? X 2的概率密度为 1
1 y ? ? ? 1 ? y 2e 2 , y ? 0 f Y ( y) ? ? 2? ?0 , y ? 0. ?

此时称Y服从自由度为1的? 分布。
2

定理 设随机变量X具有概率密度f X ( x),?? ? x ? ??
函数g ( x)处处可导且恒有g ' ( x) ? 0(或恒有g ' ( x) ? 0) 则Y ? g (X )是连续型随机变量, 其概率密度为
? f X [h( y )] h ' ( y ) , ? ? y ? ? , f Y ( y) ? ? 0, 其它. ?

其中? ? min( g (??), g (??)), ? ? max( g (??), g (??)),
h( y)是g ( x)的反函数

先考虑g ' ( x) ? 0的情况。此时g ( x)在(??,??)严格 证明
单调增加, 它的反函数h( y)存在, 且在(? , ? )严格单调

增加、可导。分别记X , Y的分布函数为FX ( x), FY ( y)。

由于Y ? g ( x)在(? , ? )取值, 故当y ? ?时, FY ( y ) ? 0;当y ? ?时, FY ( y ) ? 1

当? ? y ? ?时
FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{g ( X ) ? y}
? P{X ? h( y)} ? FX [h( y)]

将FY ( y)关于y求导,即得Y的概率密度
? f X [h( y )]h?( y ), ? ? y ? ? fY ( y ) ? ? 0 , 其他 ?

再考虑g ' ( x) ? 0的情况,同样的有
? f X [h( y )][?h?( y )], ? ? y ? ? fY ( y ) ? ? 0 , 其他 ?

合并以上2式,命题得证。

例4 设随机变量X在(?? / 2, ? / 2)内服从均匀分布 Y ? sin X , 试求随机变量Y的概率密度。 解: ? sin X对应的函数y ? g ( x) ? sin x在(?? / 2, ? / 2) Y
上恒有g ' ( x) ? cos x ? 0, 且有反函数
x ? h( y ) ? arcsin y, h' ( y ) ? 1 / 1 ? y 2

? ? ?1 ? f X (x) ? ?? , - 2 ? x ? 2 X的概率密度为 ? 0 , 其它 ?
1 ?1 , -1 ? y ? 1 ? ? 2 f Y ( y) ? ?? 1 ? y ? 0 , 其它 ?

由前面结论得Y ? sin X的概率密度为


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