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(课堂设计)2014-2015高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题学案(二)新人教A版必修5


3.3.2

简单的线性规划问题(二)
自主学习

知识梳理 1.用图解法解线性规划问题的步骤: (1)分析并将已知数据列出表格; (2)确定线性约束条件; (3)确定线性目标函数; (4)画出可行域; (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解; 根据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等). 2.在线性规划的实际问题中,主要

掌握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资 源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问 怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小. 3.线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现,即将最值问题利用图形直观、形 象、简便地寻找出来. 自主探究 结合下面的具体问题想一想,在什么情况下,目标函数的最优解可能有无数多个?

在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数 z=x+ay 取得最 小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值为( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 对点讲练 知识点一 实际应用中的最优解问题 例 1 某家具厂有方木料 90 m ,五合板 600 m ,准备加工成书桌和书橱出售.已知生 3 2 3 2 产每张书桌需要方木料 0.1 m ,五合板 2 m ,生产每个书橱需要方木料 0.2 m ,五合板 1 m , 出售一张方桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)如果只安排生产书橱,可获利润多少? (3)怎样安排生产可使所得利润最大?
3 2

1

总结 利用图解法解决线性规划实际问题,要注意合理利用表格,处理繁杂的数据;另 一方面约束条件要注意实际问题的要求,如果要求整点,则用逐步平移法验证. 变式训练 1 某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于 15 吨,已知生产甲 产品 1 吨需煤 9 吨,电力 4 千瓦,劳动力 3 个(按工作日计算);生产乙产品 1 吨需煤 4 吨, 电力 5 千瓦,劳动力 10 个;甲产品每吨价 7 万元,乙产品每吨价 12 万元;但每天用煤量不 得超过 300 吨,电力不得超过 200 千瓦,劳动力只有 300 个,当每天生产甲产品________ 吨,乙产品______吨时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大. 知识点二 实际应用中的最优整数解问题 例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示: 规模类型 A 规格 B 规格 C 规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?

总结 在实际应用问题中, 有些最优解往往需要整数解(比如人数、 车辆数等)而直接根 据约束条件得到的不一定是整数解, 可以运用枚举法验证求最优整数解, 或者运用平移直线 求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,很可能是许多个,应具体情况具体分析. 变式训练 2 某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名, x 和 y 需满足约束条件 5x-11y≥-22, ? ? ?2x+3y≥9, ? ?2x≤11, 则 z=10x+10y 的最大值是________.

1.解答线性规划的实际应用问题应注意的问题: (1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要; (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断; (3)结合实际问题,未知数 x、y 等是否有限制,如 x、y 为正整数、非负数等; (4)图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图应尽 可能准确,图上操作尽可能规范. 2.当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数),则它不是最优整数解,此时必 须在可行域内该点的附近调整为整点.常用调整方法有: (1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移直线 l,最先经过或最后经过 的整点坐标是最优整数解. (2)检验优值法: 当可行域内整点个数较少时, 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值, 经比较得出最优解. (3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后 筛选出最优整数解. 课时作业 一、选择题
2

x-y+1≥0, ? ? 1.若实数 x,y 满足?x+y≥0, ? ?x≤0,

则 z=x+2y 的最小值是(

)

A.0
2.

B.

1 2

C.1

D.2

如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界), 若使目标函数 z=ax+y (a>0) 取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( ) 1 3 A. B. 4 5 5 C. 4 D. 3 3.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对 2 项目乙投资的 倍, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元, 对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 3 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这 两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元 4.

如图所示, 目标函数 z=kx-y 的可行域为四边形 OABC, 仅点 B(3,2)是目标函数的最优 解,则 k 的取值范围为( ) ?2 ? A.? ,2? ?3 ? ? 5? B.?1, ? ? 3? 2? ? C.?-2,- ? 3? ? 4? ? D.?-3,- ? 3? ? 题 号 1 2 3 4 答 案 二、填空题 5.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件. 已知设备甲每天 的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元. 6.已知平面区域 D 由以 A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若 在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=________.
3

三、解答题 7.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别 为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才 能使可能的盈利最大?

8.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为 45 个与 55 个,所用原料分别为 A、B 2 2 两种规格的金属板,每张面积分别为 2 m 与 3 m .用一张 A 种规格的金属板可造甲种产品 3 个,乙种产品 5 个;用一张 B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各 6 个.问 A、B 两种规 格金属板各取多少张,才能完成计划,并使总的用料面积最省?

3.3.2

简单的线性规划问题(二)

自主探究 1 2-1 1 A [- = = ,∴a=-3. a 4-1 3 结论:当目标函数对应的直线经过可行域的一条边界时,最优解可能有无数多个.] 对点讲练 例 1 解 由题意可画表格如下: 五 合 方木料 利润 板 3 (m ) (元) 2 (m ) 书桌(个) 0.1 2 80 书橱(个) 0.2 1 120 0.1x≤90 ? ? (1)设只生产书桌 x 个,可获得利润 z 元,则?2x≤600 ? ?z=80x
?x≤900 ? ?? ? ?x≤300

? x≤300.

所以当 x=300 时,zmax=80×300=24 000(元), 即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,获得利润 24 000 元. (2)设只生产书橱 y 个,可获利润 z 元,

4

0.2y≤90 ? ? 则?1·y≤600 ? ?z=120y

? ?y≤450 ?? ?y≤600 ?

? y≤450.

所以当 y=450 时,zmax=120×450=54 000(元), 即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 个书橱,获得利润 54 000 元. 0.1x+0.2y≤90 ? ?2x+y≤600 (3)设生产书桌 x 张,书橱 y 个,利润总额为 z 元,则? x≥0 ? ?y≥0 x+2y≤900, ? ?2x+y≤600, ?x≥0, ? ?y≥0. z=80x+120y.

?

在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:80x+120y=0,即直线 l:2x+3y=0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,此时 z=80x+120y 取得最大值. ? ?x+2y=900, 由? ?2x+y=600 ? 解得点 M 的坐标为(100,400). 所以当 x=100,y=400 时, zmax=80×100+120×400=56 000(元). 因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大. 变式训练 1 20 24 解析

设每天生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,总利润为 S 万元, 依题意约束条件为:

5

? ?4x+5y≤200 +10y≤300 ?3x x≥15 ? ?y≥15
9x+4y≤300 目标函数为 S=7x+12y 从图中可以看出,当直线 S=7x+12y 经过点 A 时,直线的纵截距最大,所以 S 也取最 大值. ?4x+5y-200=0 ? 解方程组? ? ?3x+10y-300=0 得 A(20,24),故当 x=20,y=24 时,Smax=7×20+12×24=428(万元). 例 2 解 设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张. 2x+y≥15 ? ?x+2y≥18 ?x+3y≥27 ? ?x≥0,y≥0

.

作出可行域(如图):(阴影部分)

目标函数为 z=x+y 作出一组平行直线 x+y=t,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,经过直 57 ?18 39? 线 x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A? , ?,直线方程为 x+y= . 5 ?5 5? 18 39 ?18 39? 由于 和 都不是整数, 而最优解(x, y)中, x, y 必须都是整数, 所以可行域内点? , ? 5 5 ?5 5? 不是最优解. 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x+y=12,经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8),它们都是最优解. 答 要截得所需三种规格的钢板, 且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种: 第一种 截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张.两种方法都最少要截两种钢板共 12 张. 变式训练 2 90 解析

该不等式组表示平面区域如图阴影所示,由于 x,y∈N ,计算区域内与点?
*

?11,9?最近 ? ? 2 2?

的整点为(5,4),当 x=5,y=4 时,z 取得最大值为 90.
6

课时作业 1.A 3 3 2.B [由 y=-ax+z 知当-a=kAC 时,最优解有无穷多个.∵kAC=- ,∴a= .] 5 5 3.B [设投资甲项目 x 万元,投资乙项目 y 万元,

? ?x≥2 y, 可获得利润为 z 万元,则? 3 x≥5, ? ?y≥5,
z=0.4x+0.6y.

x+y≤60,

由图象知,目标函数 z=0.4x+0.6y 在 A 点取得最大值. ∴ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元).] 4.C [y=kx-z.若 k>0,则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0,4),不符合题意. ∴k<0,∵只有点(3,2)是目标函数的最优解. 2 ∴kAB<k<kBC,即-2<k<- .] 3 5.2 300 5x+6y≥50, ? ?10x+20y≥140, 设需租赁甲种设备 x 台,乙种设备 y 台,则? x∈N , ? ?y∈N .
* *

解析

目标函数为 z=200x+300y. 作出其可行域,易知当 x=4,y=5 时,z=200x+300y 有最小值 2 300 元. 6.1

1 z 解析 如图所示,目标函数可化为 y=- x+ ,

m

m

若 m>0,则 z 的最小值对应截距的最小值,可知 m=1,满足题意; 若 m<0,则 z 的最小值对应截距的最大值,m=-1 及-2 均不合题意. 7.解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知

7

x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ? ?y≥0.
目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z,z∈R,与可行域 相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y=0 的距离最大,这里 M 点 是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
?x+y=10 ? 解方程组? ?0.3x+0.1y=1.8 ? 得 x=4,y=6,此时 z=1×4+0.5×6=7(万元). ∵7>0,∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值. 答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元 的前提下,使可能的盈利最大. 8 . 解 设 A 、 B 两 种 金属 板 各 取 x 张 、 y 张 ,用 料 面 积 为 z , 则 约 束条 件 为

3x+6y≥45, ? ?5x+6y≥55, ?x≥0, ? ?y≥0, 目标函数 z=2x+3y. 作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域,如下图所示.

2 z 2 z z=2x+3y 变为 y=- x+ ,得斜率为- ,在 y 轴上的截距为 . 3 3 3 3
? ?5x+6y=55, 当直线 z=2x+3y 过可行域上的点 M 时, 截距最小, z 最小. 解方程组? ?3x+6y=45, ? 得 M 点的坐标为(5,5). 2 此时 zmin=2×5+3×5=25(m ). 因此,两种金属板各取 5 张时,用料面积最省.

8


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