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9 平面向量的基本定理及坐标表示


第9课
【教学目标】 一、知识目标

平面向量的基本定理及坐标表示
体育中心 江超

1.了解平面向量的基本定理及其意 义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示的平面向量 共线的条件. 二、能力目标 通过平面向量坐标表示的推导培养学生归纳、猜想的能力. 三、

情感目标 设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系,感受数学来源于生活并服务于生活,体会数学 知识应用的广泛性. 【教学重点】 推导并理解平面向量基本定理. 【教学难点】 平面向量基本定理的运用. 【知识点梳理】 知识点 1 平面向量基本定理 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数

?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
知识点 2 面向量的坐标表示 在直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底.由平面向量的基本定理 知,该平面内的任意一个向量 a 可表示成 a ? xi ? y j ,由于 a 与数对 ( x, y ) 是 一一对应的,因此把 ( x, y ) 叫 做向量 a 的坐标,记作 a ? ( x, y) ,其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标, y 叫作 a 在 y 轴上的坐标,规定: (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量. (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系. 知识点 3 平面向量的坐标运算 (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; 1/14

(3)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ; (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) ; (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (斜乘相减等于零) ; (6)设 a = ( x, y), 则 a ?

x2 ? y 2 .

知识点 4 平面向量平行(共线)的坐标表示 (1)如果 a ? 0 ,则 a ∥ b ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a (没有坐标背景) ; (2)如果 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (坐标背景) .

【典型例题】 题型一、平面向量基本定理及其应用 例题 1:如上图,设 O 是 ABCD 两对角线的交点,有下列向量组:① AD 与 AB ;② DA 与 BC ;③ CA 与 )

DC ;④ OD 与 OB .其中可作为该平面内所有向量基底的是(
A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 【解析】 AD 与 AB 不共线, DA ∥ BC , CA 与 DC 不共线,

OD ∥ OB ,则①③可以作为该平面内所有向量的基底.故选 B.
【点评】考查向量可以做为基底的条件. 例题 2:如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM =c, AN =d,试用 c,d 表示 AB , AD . 【解析】设 AB =a, AD =b. 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点,所以 BN = b, DM = a,
1 2 1 2

1 ? c ?b? a ? ? 2 ? 因而 ? ?d ? a ? 1 b ? ? 2

2 ? a ? ( 2d ? c ) ? 2 2 ? 3 ,即 AB = (2d-c), AD = (2c-d) . ? 3 3 ?b ? 2 ( 2c ? d ) ? 3 ?

【点评】考查平面向量基本定理的应用. 变式 1:如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么下列命题中正确的是( A.已知实数 λ1,λ2,则向量 λ1e1+λ2e2 不一定在平面 α 内 B.对平面 α 内任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1,λ2 有无数对 2/14 )

C.若有实数 λ1,λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 D.对平面 α 内任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1,λ2 不一定存在 【解析】选项 A 中,由平面向量基本定理知 λ1e1+λ2e2 与 e1,e2 共面,所以 A 项不正确;选项 B 中,实数 λ1, λ2 有且仅有一对,所以 B 项不正确;选项 D 中,实数 λ1,λ2 一定存在,所以 D 项不正确;很明显 C 项正确. 变式 2:设 e1 与 e2 是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数 λ、μ 满足 λa+μb=5e1-e2,求 λ、μ 的值. 【解析】由题设 λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2. 又 λa+μb=5e1-e2.由平面向量基本定理,知 ? 题型二、平面向量的坐标运算 1 ? 1 ?1 ? 例题 3:已知 AB =a,且 A? ?2,4?,B?4,2?,又 λ=2,则 λa 等于( 1 - ,-1? A.? ? 8 ? 1 ? C.? ?8,1? 1 ? B.? ?4,3? 1 ? D.? ?-4,-3? )

?3? ? 2? ? 5, 解之得 λ=1,μ=-1. ?4? ? 5? ? ?1.

1 ? ?1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 【解析】a= AB =? ?4,2?-?2,4?=?-4,-2?,λa=2a=?-8,-1?,故选 A. 【点评】会由已知点写出向量的坐标形式. 例题 4:设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段 首尾相连能构成四边形,则向量 d 为( A.(2,6) C.(2,-6) )

B.(-2,6) D.(-2,-6)

【解析】由题意,得 4a+4b-2c+2(a-c)+d=0, 则 d=-4a-4b+2c-2(a-c)=-6a-4b+4c=(-2,-6).故选 D. 【点评】主要考查平面向量的坐标运算. 变式 3:已知向量 a、b 满足:a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则 a、b 的坐标分别为( A.(4,0)、(-2,6) C.(2,0)、(-1,3) 【解析】∵a+b=(1,3) ① a-b=(3,-3) ② ∴①+②得:a=(2,0).①-②得:b=(-1,3). 1 变式 4:已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求 AB , AC , AB ? AC , AB ? AC ,2 AB + AC . 2 【解析】∵A(4,6),B(7,5),C(1,8), ∴ AB =(7-4,5-6)=(3,-1), AC =(1-4,8-6)=(-3,2), 3/14 B.(-2,6)、(4,0) D.(-1,3)、(2,0) )

AB ? AC =(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
AB ? AC =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
9 1 1 ? 2 AB + AC =2(3,-1)+ (-3,2)=? ?2,-1?. 2 2 题型三、平面向量共线的坐标表示 例题 5:已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值为( A.-2 B.0 C.1 D .2 )

【解析】a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),由于 a+b 与 4b-2a 平行, 则 3(4x-2)-6(1+x)=0,解得 x=2.故选 D. 【点评】考查向量的坐标运算,向量共线的坐标表示. 例题 6:已知向量 a、b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 )

【解析】不妨设 a=(1,0),b=(0,1).依题意 d=a-b=(1,-1), 又 c=ka+b=(k,1),∵c∥d,∴12-(-1)· k=0,∴k=-1, 又 k=-1 时,c=(-1,1)=-d,∴c 与 d 反向.故选 D. 【点评】考查平面向量共线的坐标运算,会取特殊值解题. 变式 5:已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),且 a∥b,则 tanα 等于( 3 A. 4 3 B.- 4 4 C. 3 4 D.- 3 )

3 【解析】∵a∥b,∴3cosα-4sinα=0.∴4sinα=3cosα.∴tanα= .故选 A. 4 变式 6:已知向量 AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3),当 BC ∥ DA 时,求实数 x,y 应满足的关 系. 【解析】由题意,得

DA =- AD =-( AB + BC + CD )=-[(6,1)+(x,y)+(-2,-3)]=(-x-4,-y+2),

BC =(x,y).又∵ BC ∥ DA ,
∴x(-y+2)-y(-x-4)=0.解得 x+2y=0,即 x,y 应满足的关系为 x+2y=0.

【方法与技巧总结】 1、向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系,从而可用“数”来证明“形”的问题,因此解题过程中应注意 使用 数形结合的思想方法; 2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.

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※ 题库题目仅供选择使用 【训练题组 A】 1.下列向量组中可以为基底的是( A. e1 ? (0,0) C. e1 ? (3,5) ) B. e1 ? (?1, 2) D. e1 ? (2, ?3)

e2 ? (1, 2) e2 ? (6,10)

e2 ? (5,7)
1 3 e2 ? ( , ? ) 2 4


2.已知点 P(?1,1) , Q(2,5) ,点 R 在直线 PQ 上,且 PR ? ?5QR ,则点 R 的坐标为 ( A. (?1,4) B. ?

?3 9? , ? ? 2 2?

C. ? ,

? 3 13 ? ? ?2 3 ?

D. ?

? 11 13 ? , ? ?4 2?

3.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b,CD =-5a-3b,其中 a,b 不共线,则四边形 ABCD 为 ( ) B.矩形 C.梯形 D.菱形

A.平行四边形

4.e1,e2 为基底向量,已知向量 AB =e1-ke2, CB =2e1-e2, CD =3e1-3e2,若 A、B、D 三点共线,则 k 的值是( A.2 ) B.-3 C.-2 ) D.3

5.已知 MN =(2,3),则点 N 位于( A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.不确定 )

6.已知向量 a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若 c=ka+lb,则 k、l 的值为( A.-2,3 C.2,-3 B.-2,-3 D.2,3

7.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若 a+2b 与 3a+λb 平行,则 λ 的值等于( A.-6 B.6 C.2 D.-2



8.已知点 A、B 的坐标分别为(2,-2)、(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7),且 p∥ AB ,则 k 的值为( 9 A.- 10 9 B. 10 19 C.- 10 19 D. 10



1 9.已知两点 M(3,-2),N(-5,-1),点 P 满足 MP = MN ,则点 P 的坐标是________. 2 10.已知 a ? (?1,3), b ? ( x,?1) 且 a ∥ b ,则 x 等于 . .

11.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k= 12.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为 .

13.已知 A(1,2) 、B(5,4) 、C(x,3) 、D(-3,y) 且 AB = CD ,则 x、y 的值分别为 5/14



14.a= (3, 4) ,| b |=15,且 a,b 同向,则 b= 15.平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求 3a+b-2c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m 和 n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k..



【训练题组 B】 1. e1 , e2 不共线,当 k= 时, a ? ke1 ? e2 , b ? e1 ? ke2 共线.

2.已知 | a |? 5, b ? (1, 2), 若 a ∥ b 且方向相反, 则 a 的坐标是________. 3.已知 ABCD 的顶点 A(?2,1) , B(?1,3) , C (3,4) ,求顶点 D 的坐标.

4.如图,已知 ?ABC , A(7,8) , B(3,5) , C (4,3) ,M,N,D 分别是 AB,AC,BC 的中点,且 MN 与 AD 交于 F,求 DF .
? ??

A

M B

F D

N

C

5. 已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1), m∈R}, Q={b|b=(1,1)+n(-1,1), n∈R}是两个向量集合, 则 P∩Q=_____.

6.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.

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7.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d.

8.如右图所示,已知 A(-2,1),B(1,3),求线段 AB 的中点 M 和三等分点 P,Q 的坐标.

9.已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=( 2cosα, 2sinα)(α∈R),实数 m、n 满足 ma+nb=c,则(m-3)2+ n2 的最大值为__________.

10.已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 OP ? OA ? t AB. 试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.

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【训练题组 C】 1.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量 OA =a,OB =b,其中 a=(3,1),b=(1,3).OC =λa+μb, 且 0≤λ≤μ≤1,C 点所有可能的位置区域用阴影表正确的是( )

2.如图,△ABC 中,AD 为△ABC 边上的中线且 AE=2EC,求

AG BG 及 的值. GD GE

3.如图, G 是△ OAB 的重心, P 、 Q 分别是边 OA 、 OB 上的动点,且 P 、 G 、 Q 三点共线. (1)设 PG ? ? PQ ,将 OG 用 ? 、 OP 、 OQ 表示;

1 1 (2)设 OP ? xOA , OQ ? y OB ,证明: ? 是定值. x y

O

Q

P

G

A

M

B

4.如图所示,已知在△ABC 中,D、E、L 分别是 BC、CA、AB 的中点,设中线 AD、BE 相交于点 P. 求证:AD、BE、CL 三线共点. (三角形三条中线共点)

5.已知向量 u=(x,y)与向量 ν=(y,2y-x)的对应关系用 ν=f(u)表示. (1)求证:对于任意向量 a,b 及常数 m,n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立; (2)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)及 f(b)的坐标; (3)求使 f(c)=(p,q)(p,q 为常数)的向量 c 的坐标.

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【参考答案】 【训练题组 A】 1. 【答案】B;利用 e1 ∥ e2 ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 可得只有(B)中 e1 , e2 不平行. 2. 【答案】C;根据向量相等,则对应坐标相等列关于所求点的横纵坐标的方程,求解即可. 3. 【答案】C;∵ AD = AB + BC + CD =a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b)=2 BC , 即 AD =2 BC ,∴AD∥BC 且 AD≠BC. 4. 【答案】A; DB = CB - CD =-e1+2e2,又 A、B、D 三点共线,则 DB 和 AB 是共线向量,
? ?-λ=1 ∴e1-ke2=λ(-e1+2e2),∴? ,解得 k=2. ?-k=2λ ?

5. 【答案】D;因为点 M 的位置不确定,则点 N 的位置也不确定. 6. 【答案】D;∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),
?11=k+3l ? 即? ,解得:k=2,l=3. ? ?7=2k+l

7. 【答案】B;a+2b=(5,5),3a+λb=(3+2λ,9+λ), 由条件知,5× (9+λ)-5× (3+2λ)=0,∴λ=6. 8. 【答案】D;由 A(2,-2),B(4,3)得, AB =(2,5), 而 p=(2k-1,7),由平行的条件 x1y2-x2y1=0 得, 19 2× 7-(2k-1)× 5=0,∴k= . 10 3 9. 【答案】(-1,- );设 P(x,y),则 MP =(x-3,y+2), MN =(-8,1). 2 1 1 ∵ MP = MN ,∴(x-3,y+2)= (-8,1). 2 2 x-3=-4 x=-1 ? ? ? ? 3 即? ,解得? 1 3 ,∴P(-1,-2). ? ? ?y+2=2 ?y=-2

1 1 ;由 a ∥ b 得 3 x ? 1 ,∴ x ? 3 3 2 11. 【答案】 ? ;可通过向量的减运算得到 BA 、 BC 的坐标,再利用共线条件求解. 3 1 12. 【答案】 . 2
10. 【答案】 13. 【答案】7,5. 14. 【答案】 (9,12) .解析:由于 a,b 同向,则 b ? ?a ? (3? , 4? ) .其中 ? ? 0 .
2 2 又∵| b |=15,∴ (3? ) ? (4? ) ? 15 , 5? ? 15 ? ? ? 3 ,∴ b ? (9,12) .

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15. 【解析】 (1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc,m,n∈R, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
?-m+4n=3, ? ∴? 解得 ?2m+n=2. ?

?m=9, ? 8 ?n=9.

5

5 8 ∴m= ,n= . 9 9

(3)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). 又∵(a+kc)∥(2b-a),∴(3+4k)× 2-(-5)× (2+k)=0. 16 ∴k=- . 13

【训练题组 B】 1. 【答案】 ?1 . 2. 【答案】 (? 5,?2 5) 3. 【解析】设顶点 D 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,

y
?? ?
?? ? ?? ?

? AB ? (?1 ? (?2),3 ? 1) ? (1,2) , D C ? (3 ? x1 , 4 ? y1 ) , AB ? DC ? (1,2) ? (3 ? x1 ,4 ? y1 )

? ??

D2 C D1

B A D3 O

? 1 ? 3 ? x1 ? x1 ? 2 ,即 ? ?? ?2 ? 4 ? y1 ? y1 ? 2
. ? 顶点 D1 的坐标为(2,2)

x

注:在此题中,D 点坐标是惟一的,若求以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标应有 三种情况如图,还有以 BC 为对角线作平行四边形 ACD2B,以 AB 为对角线作平行四边形 D3ACB. 4. 【解析】? A(7,8) , B(3,5) , C (4,3) ,? AB ? (3 ? 7,5 ? 8) ? (?4,?3) ,
? ??

? AC ? (4 ? 7,3 ? 8) ? (?3,?5) .
又? D 是 BC 的中点,

? ??

? AD ?

?? ? ?? 1 ? 1 ( AB ? AC) ? (?4 ? 3,?3 ? 5) 2 2 1 7 ? (?7,?8) ? (? ,?4) 2 2

? ??

又? M,N 分别是 AB,AC 的中点, 10/14

? F 是 AD 的中点, DF ? ? FD ? ?
?? ?

? ??

? ??

?? 1? 1 7 7 AD ? ? (? ,?4) ? ( ,2) . 2 2 2 4

答案: DF ? ( , 2) .
? ?n=0 5. 【答案】{(1,1)};a=(1,m),b=(1-n,1+n),由 a=b 得? ,∴P∩Q={(1,1)} . ?m=1 ?

7 4

6. 【解析】 (1) AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,

1 1 AC = AB + BC =4e1+e2= ? (-8e1-2e2)= ? CD ,∴ AC 与 CD 共线, 2 2
又∵ AC 与 CD 有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. (2) AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, ∵A、C、D 三点共线, ∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数 ? 使得 AC = ? CD ,即 3e1-2e2= ? (2e1-ke2) . 由平面向量的基本定理,得 ?

?3 ? 2? 2 4 ,解之得 ? = ,k= . 3 3 ??2 ? ?? k

7. 【解析】 (1)∵(a+kc)∥(2b-a) ,又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴2× (3+4k)-(-5)× (2+k)=0,∴k=-
16 . 13

(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,

? ?x ? 4 ? ?x ? 4 ? ?4 ? x ? 4 ? ? 2 ? y ? 1? ? 0 ? ? 5 5 ∴? ,解得 或 ? ? 2 2 2 5 2 5 ? ? ? ?? x ? 4 ? ? ? y ? 1? ? 1 ?y ? 1? ?y ? 1?
5 5 ? 5 ? 5

?

?

? ? ? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? ? 或 d= ? 20 ? 5 ,5 ? 2 5 ? . , ∴d= ? ? ? ? ? 5 5 5 5 ? ? ? ?
1 → 1→ 8. 【解析】设 M(x,y),则AM= AB,即(x+2,y-1)= (3,2), 2 2 3 1 ? ? ?x+2=2 ?x=-2 ∴? ,∴? . ? ? ?y-1=1 ?y=2 1 ? ∴M 点的坐标为? ?-2,2?. 5? ? 7? 同样可求得 P 点坐标为? ?-1,3?,Q 点坐标为?0,3?. 9. 【解析】由 ma+nb=c 得 m(1,1)+n(1,-1)=( 2cosα, 2sinα), 11/14

?m+n= 2cosα 2 2 ∴? ∴m= (sinα+cosα),n= (cosα-sinα), 2 2 ?m-n= 2sinα
π ∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9=10-3 2(sinα+cosα)=10-6sin(α+ ), 4 ∴(m-3)2+n2 的最大值为 16. 10. 【解析】(1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), ∴ OA =(1,2), AB =(3,3),

OP ? OA ? t AB =(1+3t,2+3t).
2 若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3
?1+3t<0 ? 2 1 若 P 在第二象限,则? ,解得- <t<- . 3 3 ? 2 + 3 t >0 ?

(2)∵ OA =(1,2), PB = PO + OB =(3-3t,3-3t), 若四边形 OABP 为平行四边形,
?3-3t=1 ? 则 OA = PB ,而? 无解, ? ?3-3t=2

∴四边形 OABP 不能成为平行四边形.

【训练题组 C】 1. 【答案】A ; OC =λa+μb=λ(3,1)+μ(1,3)=(3λ+μ,λ+3μ). ∵0≤λ≤μ≤1, ∴0≤3λ+μ≤4,0≤λ+3μ≤4,且 3λ+μ≤λ+3μ. 2. 【解析】设

AG BG ? ?, ? ? ,∵ BD = DC ,即 AD - AB = AC - AD , GD GE 1 ∴ AD = ( AB + AC ).又∵ AG =λ GD =λ( AD - AG ), 2
∴ AG =

? ? ? AB + AD = AC . 1? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? )



又∵ BG =μ GE ,即 AG - AB =μ( AE - AG ), ∴(1+μ) AG = AB +μ AE, AG =

2 1 ? AB ? AE ,又 AE = AC , 3 1? ? 1? ?

12/14

∴ AG =

1 2? AB + AC . 1? ? 3(1 ? ? )



1 ? ? ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? , ? 比较①②,∵ AB 、 AC 不共线,∴ ? 2? ? ? ? . ? ? 2(1 ? ? ) 3(1 ? ? )
?? ? 4, AG BG 3 ? ? 4, ? 解之,得 ? 3∴ GD GE 2. ?? ? 2 ?
3. 【解析】 (1) OG ? OP ? PG ? OP ? ? PQ ? OP ? ? (OQ ? OP) ? (1 ? ? )OP ? ?OQ . (2)由(1) ,得 OG ? (1 ? ? )OP ? ?OQ ? (1 ? ? ) xOA ? ? yOB ;① 另一方面,∵ G 是△ OAB 的重心, ∴ OG ? OM ?

2 3

2 1 1 1 ? (OA ? OB) ? OA ? OB . 3 2 3 3



1 ? ?(1 ? ? ) x ? 3 , 而 OA 、 OB 不共线,∴由①、②得 ? 1 ?? y ? . 3 ?

?1 ? 3 ? 3? , ? 1 1 ?x 解之,得 ? ,∴ ? ? 3 (定值) . 1 x y ? ? 3? . ?y ?
4. 【解析】设 AC =a, AB =b,则 AL =

1 1 b, CL ? AL ? AC =-a+ b. 2 2

设 AP =m AD ,则 AC + CP =m( AC + CD ),

1 1 1 CP =(-1+m) AC +m CD =(-1+m)a+m[ (b-a)]=(-1+ m)a+ mb. 2 2 2
又设 EP =n EB , 则 CP - CE =n( EC + CB ), ∴ CP =(1-n) CE +n CB = ? 由①②得



1 1 1 (1-n)a+n(b-a)=( ? - n)a+nb. 2 2 2



2 1 1 1 ? ? m? , ? 1 ? m ? ? ? m. ? ? 2 1 2 1 2 ? ? 5 2 2 2 解之,得 ? ∴ CP =- a+ b= (-a+ b)= CL . ? 3 3 3 2 3 ? 1 m ? n. ?n ? 1 ? ? 3. ?2 ?
∴C、P、L 三点共线.∴AD、BE、CL 三线共点. 13/14

5. 【解析】 (1)证明:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2), ∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1), mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1). ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. (2)f(a)=(1,2× 1-1)=(1,1),f(b)=(0,2× 0-1)=(0,-1). (3)设 c=(x,y),则 f(c)=(y,2y-x)=(p,q). ∴y=p,2y-x=q.∴x=2p-q. ∴向量 c=(2p-q,p).

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