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对一道解三角形高考题的挖掘


对一道解三角形高考试题的挖掘(未删版) 任后兵 郑俊明 (华中师范大学数学与统计学学院 430079) 纵观 2012 年高考数学中解三角形题型, 安徽卷理科数学第 15 题无疑是一道非常优美的 题目. 将解三角形与不等关系相结合而求角的范围,考查了化归思想(边与角化归整合) , 极限思想及不等式放缩等数学方法.以往很多考试都出现过类似题型,例如此题的问②就是 2011 年“北约”十三校联考自主招生考试试题.下面先看一下此题的解答,再对角 C 的具体 范围进行一般化处理,以窥其真容. 题目(2012 年安徽卷理 15 题) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a , b, c ,则下列命 题正确的是 ①②③ . 2 ①若 ab ? c ,则 C ? ? 3 ②若 a ? b ? 2c ,则 C ? ? 3 3 3 3 ③若 a ? b ? c ,则 C ? ? 2 ④若 (a ? b)c ? 2ab ,则 C ? ? 2 ⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ? ? 3 分析 本题主要考查解三角形的相关知识,同时考查了基本不等式的应用.由化归思想, 结合余弦定理 cosC ? a2 ? b2 ? c2 2 2 将边与角形结合, 然后利用重要不等式 a ? b ? 2ab 对 2ab 不等关系进行变形放缩,得出 cos C 的范围,进而得到角 C 与 2 解 析 ① 由 ab ? c ? cosC ? ? ? , 的大小关系. 3 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ,故 C ? ; ②由 3 2ab 2ab 2 a ? b ? 2c ? cosC ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 4(a 2 ? b 2 ) ? (a ? b) 2 1 ? ? , 故 C? ; ③ 3 2ab 8ab 8 2 2 3 2 2 3 3 假设 C ? ? 2 , 则 c ?a ?b ?c ?a c?b c ?a ?b 2 , 矛 盾 ; ④ 可 以 取 a ? b ? 2, c ? 1, 满足( a ? b) ? 2ab,但 C ? ? 2 ; ⑤ 可 以 取 a ? b ? 2, c ? 1 满 足 ( a ? b) ? c 2 ,但是 a b C? ? 3 . 注 本题作为选择题,除了通法外,大可采用做选择题的技巧,如排除法,赋值法等, 上述解答中,应用反证法肯定了③的结果,通过赋值法否定了④⑤的答案. 做完上述 5 个小问之后,意犹未尽,似乎只是对角 C 做了大概的判断,角 C 的准确范 围究竟是什么呢?能否将问题一般化呢? 通过对此题的 5 个小问的深入挖掘得出以下结 论: 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a , b, c , ? 为常数,那么 1 ); 2? 2 结论 2 若 a ? b ? ? ? c(? ? 1) ,则 0 ? C ? arccos( 1 ? 2 ) ; 2 结论 1 若 ab ? ? ? c(? ? 0) ,则 0 ? C ? arccos( 1 ? ? 结论 3 若 1? (a n ? bn)c n ? ? ? a nbn (n ? N *,? ? 0) ,则 0 ? C ? arccos( n 1 ? n ( ) ); 2 2 2 结论 4 若 a n ? b n ? c n (n ? 3, n ? N * ) ,则 arccos( 1? 4 ? ) ? C? . 2 2

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