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南京市2015届高三9月调研考试数学试题


南京市 2015 届高三年级学情调研卷 数
注意事项: 1.本试卷共 3 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答 题卡 上对应题目的 . .. 答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 一、填空题:本大

题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答 题卡 相应位置 上. . .. .... 1.函数 f(x)=cos2x-sin2x 的最小正周期为 2.已知复数 z= ▲ . ▲ .



2014.09

1 ,其中 i 是虚数单位,则|z|= 1+i

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:3:3,现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级的学生中抽取容量为 80 的样本,则应从高一年级抽取 4.从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加 学校会议,则甲被选中的概率是 ▲ . ▲ 名学生.
开始 S←0 k←1 k←k+2

5.已知向量 a=(2,1),b=(0,-1).若(a+λb)⊥a, 则实数 λ= ▲ . ▲ .

6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是

S←S+k2 N k>5 Y 输出 S

x y 7.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程 a b 为 y=± 3x,则该双曲线的离心率为 ▲ .

2

2

结束 (第 6 题图)

8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥的高是



. ▲ .

9.设 f(x)=x2-3x+a.若函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数 a 的取值范围为

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.已知 a+ 2c=2b,sinB= 2sinC, 则 cosA= ▲ . ▲ .

?a, ? x≥1, 11.若 f(x)=?x 是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为 ? ?-x+3a,x<1

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12.记数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,Sn=2(a1+an)(n≥2,n∈N*),则 Sn=





13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2-6x+5=0,点 A,B 在圆 C 上,且 AB=2 3,则 → → | OA + OB |的最大值是 ▲ .

14.已知函数 f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(ex)<0 的 x 的取值范围 为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答 题卡 指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 . .. ..... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) π 已知函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2). 2 (1)求 φ 的值; α 6 π π (2)若 f( )= ,- <α<0,求 sin(2α- )的值. 2 5 2 6

16. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M,N 分别为 AB,B1C1 的中点. (1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若 CC1=CB1,CA=CB,平面 CC1B1B⊥平面 ABC,求证:AB?平面 CMN.
C1 N B1 C A1

B

M (第 16 题图)

A

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17. (本小题满分 14 分) 已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x2+y2=a2+b2 为椭圆 C 的“伴随圆” .已知椭圆 C a b 的离心率为 3 ,且经过点(0,1). 2

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.

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19. (本小题满分 16 分) 如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα=-2.在该块土地 中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现要过点 P 修建一 条直线公路 BC, 将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园. 为尽量减少耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
N C

·
α
A

P

B (第 19 题图)

M

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax3+|x-a|,a∈R. (1)若 a=-1,求函数 y=f(x) (x∈[0,+∞))的图象在 x=1 处的切线方程; (2)若 g(x)=x4,试讨论方程 f(x)=g(x)的实数解的个数; (3)当 a>0 时,若对于任意的 x1∈[a,a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞),使得 f(x1)f(x2)=1024, 求满足条件的正整数 a 的取值的集合.

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南京市 2015 届高三年级学情调研卷
数学附加题
2014.09
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答 题 卡 上对应题目的 . . . 答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指 . ... 定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,PA 是圆 O 的切线,A 为切点,PO 与圆 O 交于点 B、C,AQ?OP,垂足为 Q.若 PA=4, PC=2,求 AQ 的长.
A

P

C

Q

O

B

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A=?

(第 21 题 A 图)

2 b? ? 1? ? 1 3 ?属于特征值?的一个特征向量为 α=?-1? .

(1)求实数 b,?的值; (2)若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下,得到的曲线为 C?:x2+2y2=2,求曲线 C 的方程.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

?x= 3+ 23t, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数 ),圆 C 的参数 1 y = 2 + t ? 2
?x= 3+cosθ, 方程为? (θ 为参数).若点 P 是圆 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值. ?y=sinθ

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D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出 . ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,CC1=5,E 是棱 CC1 上不同于端 → → 点的点,且 CE =λCC1. (1) 当∠BEA1 为钝角时,求实数 λ 的取值范围; 2 (2) 若 λ= ,记二面角 B1-A1B-E 的的大小为 θ,求|cosθ|. 5
D1 A1 B1 C1

E D

C B

A

(第 22 题图)

23.某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有 1 个红球,1 个白球,3 个黑球 的袋中一次随机的摸 2 个球,设计奖励方式如下表: 结果 1红1白 1红1黑 2黑 1白1黑 奖励 10 元 5元 2元 不获奖

(1)某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率.

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2015 届高三年级学情调研卷
数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.π 6.35 1 11.[ ,+∞) 2 2. 2 2 3.32 8. 3
-1

2014.09

1 4. 2 9 9.(0, ] 4 14.(0,1)

5.5 10. 2 4

7.2 12.2-2n

13.8

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) π 解: (1)因为函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2), 2 π 所以 f( )=2sin(π+φ)=-2, 2 即 sinφ=1. π 因为 0<φ<2π,所以 φ= . 2 (2)由(1)得,f(x)=2cos2x. α 6 3 因为 f( )= ,所以 cosα= . 2 5 5 π 4 又因为- <α<0,所以 sinα=- . 2 5 ?????????????? 10 分 ????????????????? 4 分 ????????????????? 6 分 ???????????????? 8 分

24 7 所以 sin2α=2sinαcosα=- ,cos2α=2cos2α-1=- .???????? 12 分 25 25 π π π 7-24 3 从而 sin(2α- )=sin2αcos -cos2αsin = . 6 6 6 50 ???????? 14 分

第 7 页 共 16 页

16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)取 A1C1 的中点 P,连接 AP,NP. 1 因为 C1N=NB1,C1P=PA1,所以 NP∥A1B1,NP= A1B1. 2 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1∥AB,A1B1=AB. 1 故 NP∥AB,且 NP= AB. 2 1 因为 M 为 AB 的中点,所以 AM= AB. 2 所以 NP=AM,且 NP∥AM. 所以四边形 AMNP 为平行四边形. 所以 MN∥AP. 因为 AP?平面 AA1C1C,MN?平面 AA1C1C, 所以 MN∥平面 AA1C1C. ?????????????????? 6 分 ??????????? 8 分
B M (第 16 题图) B1 C

???????? 2 分
C1 N P A1

A

??????????????? 4 分

(2)因为 CA=CB,M 为 AB 的中点,所以 CM⊥AB. 因为 CC1=CB1,N 为 B1C1 的中点,所以 CN⊥B1C1. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC∥B1C1,所以 CN?BC.

因为平面 CC1B1B⊥平面 ABC,平面 CC1B1B∩平面 ABC=BC.CN?平面 CC1B1B, 所以 CN⊥平面 ABC. 因为 AB?平面 ABC,所以 CN⊥AB. ?????????????? 10 分 ?????????????? 12 分

因为 CM?平面 CMN,CN?平面 CMN,CM∩CN=C, 所以 AB⊥平面 CMN. 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.???????????? 3 分
?2+3d+2q3=21, ?d=1, 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组? 解得? 3 8 + 6 d + 2 q = 30 , ? ?q=2.

?????????????? 14 分

所以 an=n+1,bn=2n,n∈N*. (2)由题意知,cn=(n+1)×2n. 记 Tn=c1+c2+c3+?+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+?+cn =2×2+3×22+4×23+?+n×2n
-1

???????????? 7 分

+(n+1)×2n,

第 8 页 共 16 页

2 Tn=

2×22+3×23+?+(n-1)×2n 1+n×2n+
- +

(n+1)2n 1,


所以-Tn=2×2+(22+23+?+2n )-(n+1)×2n 1, ??????????? 11 分 即 Tn=n·2n 1,n∈N*.


???????????? 14 分

18. (本小题满分 16 分) 解: (1)记椭圆 C 的半焦距为 c. c 3 由题意,得 b=1, = ,c2=a2+b2, a 2 解得 a=2,b=1. ?????????????????? 4 分

x2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y2=1,圆 C1 的方程为 x2+y2=5. 4 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. ?????????????? 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, kx+m, ?y= ? 2 x 故方程组? 2 ? ? 4 +y =1 (*) 有且只有一组解.

由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 从而△=(8km)2-4(1+4k2)( 4m2-4)=0. 化简,得 m2=1+4k2.① ???????????????? 10 分

因为直线 l 被圆 x2+y2=5 所截得的弦长为 2 2, 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. 即 |m| = 3. k2+1 ② ??????????????? 14 分

由①②,解得 k2=2,m2=9. 因为 m>0,所以 m=3. 19. (本小题满分 16 分) 解: (方法一) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. N 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5,
C y

??????????????? 16 分

·

P

(A ) O (第 19 题图 1)

B

x

第 9 页 共 16 页

∣2x0+y0∣ 得 = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5 所以点 P(1,3). ???????????? 4 分

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- . k
?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . k+2 ?y=-2x

???????????? 6 分 ???????????? 8 分

-k2+6k-9 8k-9 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 2 k +2k k +2k 由 S?= -2(4k+3)(k-3) 3 =0 得 k=- 或 k=3. 2 2 4 (k +2k)

3 3 当-2<k<- 时,S?<0,S 单调递减;当- <k<0 时,S?>0,S 单调递增.? 13 分 4 4 3 所以当 k=- 时,即 AB=5 时,S 取极小值,也为最小值 15. 4 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.?????? 16 分 (方法二) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, ∣2x0+y0∣ 得 = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5 所以点 P(1,3). ???????????? 4 分

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- . k
?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . k+2 ?y=-2x

???????????? 6 分 ???????????? 8 分

-k2+6k-9 8k-9 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . ????? 10 分 2 k2+2k k +2k t+9 令 8k-9=t,则 t∈(-25,-9),从而 k= . 8 t 64t 64 因此 S=-1+ =-1+ 2 =-1+ .???? 13 分 225 t+9 2 t+9 t +34t+225 34 + t + ( ) +2× t 8 8

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因为当 t∈(-25,-9)时,t+

225 ∈(-34,-30], t

225 当且仅当 t=-15 时,此时 AB=5,34+t+ 的最大值为 4.从而 S 有最小值为 15. t 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.?????? 16 分 (方法三) 如图 2,过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA.设 AB=x,AC=y. 因为 P 到 AM,AN 的距离分别为 3, 5, 即 PE=3,PF= 5. 由 S△ABC=S△ABP+S△APC 1 1 1 = ?x?3+ ?y? 5 = (3x+ 5y). ① ?? 4 分 2 2 2 因为 tan?=-2,所以 sin?= 1 2 所以 S△ABC= ?x?y? . 2 5 ② 2 . 5
F A E B (第 19 题图 2) M N C P ·

??????????????? 8 分

1 2 1 由①②可得 ?x?y? = (3x+ 5y). 2 5 2 即 3 5x+5y=2xy. ③ ???????????????10 分

因为 3 5x+5y≥2 15 5xy,所以 2xy≥2 15 5xy. 解得 xy≥15 5. ???????????????13 分

当且仅当 3 5x=5y 取“=” ,结合③解得 x=5,y=3 5. 1 2 所以 S△ABC= ?x?y? 有最小值 15. 2 5 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.?????? 16 分 20. (本小题满分 16 分) 解: (1)当 a=-1,x∈[0,+∞)时,f(x)=-x3+x+1,从而 f ′(x)=-3x2+1. 当 x=1 时,f(1)=1,f ′(1)=-2, 所以函数 y=f(x) (x∈[0,+∞))的图象在 x=1 处的切线方程为 y-1=-2(x-1), 即 2x+y-3=0. (2)f(x)=g(x)即为 ax3+|x-a|=x4. 所以 x4-ax3=|x-a|,从而 x3(x-a)=|x-a|.
?x>a, ?x<a, 此方程等价于 x=a 或? 或? ?x=1 ?x=-1.

??????????????????? 3 分

???????????????? 6 分

所以当 a≥1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,-1;
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当-1<a<1 时,方程 f(x)=g(x)有三个不同的解 a,-1,1; 当 a≤-1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,1. ??????????? 9 分

(3)当 a>0,x∈(a,+∞)时,f(x)=ax3+x-a,f ′(x)=3ax2+1>0, 所以函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数,且 f(x)>f(a)=a4>0. 1024 1024 1024 所以当 x∈[a,a+2]时,f(x)∈[f(a),f(a+2)], ∈[ , ], f(x) f(a+2) f(a) 当 x∈[a+2,+∞)时,f(x)∈[ f(a+2),+∞). ?????????????? 11 分 因为对任意的 x1∈[a,a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞),使得 f(x1)f(x2)=1024, 1024 1024 所以[ , ]?[ f(a+2),+∞). f(a+2) f(a) 1024 从而 ≥f(a+2). f(a+2) 所以 f 2(a+2)≤1024,即 f(a+2)≤32,也即 a(a+2)3+2≤32. 因为 a>0,显然 a=1 满足,而 a≥2 时,均不满足. 所以满足条件的正整数 a 的取值的集合为{1}. ?????????????? 16 分 ???????????????? 13 分

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2015 届高三年级学情调研卷
数学附加题参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分 的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连接 AO.设圆 O 的半径为 r. 因为 PA 是圆 O 的切线,PBC 是圆 O 的割线, 所以 PA =PC·PB.???????????? 3 分 因为 PA=4,PC=2, 所以 42=2×(2+2r),解得 r=3.?????? 5 分 所以 PO=PC+CO=2+3=5,AO=r=3. 由 PA 是圆 O 的切线得 PA⊥AO,故在 Rt△APO 中, 1 1 因为 AQ⊥PO,由面积法可知, ×AQ×PO= ×AP×AO, 2 2 AP×AO 4×3 12 即 AQ= = = . PO 5 5 B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1)因为矩阵 A=? 2 b? ? 1?, 属于特征值?的一个特征向量为 α= ?1 3? ?-1? ???????? 10 分
(第 21 题 A 图)
2

2014.09

A

P

C

Q

O

B

所以?

2- b ? ? ? ? 2 b ?? 1? ? 1?,即? =? ? ?=? ?. ????????? 3 分 ? 1 3 ??-1? ?-1? ? -2 ? ? -? ?

?2-b=?, 从而? 解得 b=0,?=2. ?-2=-?.

?????????? 5 分

(2)由(1)知,A=?

2 0? ? 1 3 ?.
第 13 页 共 16 页

设曲线 C 上任一点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线 C?上一点 P(x0,y0), 则?

? x0 ?=? 2 0 ?? x ?=? 2x ?, ? ? ? ? ? ? y0 ? ? 1 3 ?? y ? ? x+3y ?
??????????? 7 分

?x0=2x, 从而? ?y0=x+3y.

因为点 P 在曲线 C?上,所以 x02+2y02=2,即(2x)2+2(x+3y)2=2, 从而 3x2+6xy+9y2=1. 所以曲线 C 的方程为 3x2+6xy+9y2=1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (方法一) 直线 l 的普通方程为 x- 3y+ 3=0. ?????????????? 3 分 ???????????? 10 分

因为点 P 在圆 C 上,故设 P( 3+cosθ,sinθ), 从而点 P 到直线 l 的距离 π |2 3-2sin(θ- )| 6 | 3+cosθ- 3sinθ+ 3| d= = . 2 12+(- 3)2 所以 dmin= 3-1. 即点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3-1. (方法二) 直线 l 的普通方程为 x- 3y+ 3=0. 圆 C 的圆心坐标为( 3,0),半径为 1. 从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d= | 3-0+ 3| 12+(- 3)2 = 3. ?????????? 6 分 ?????????? 10 分 ???????????? 3 分 ???????????? 10 分

???????? 7 分

所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3-1. D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为 a,b 是正数,且 a+b=1, 所以(ax+by)(bx+ay)=abx2+(a2+b2)xy+aby2 =ab(x2+y2)+(a2+b2)xy ≥ab?2xy+(a2+b2)xy

??????????? 3 分 ???????????? 8 分

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=(a+b)2xy =xy 即(ax+by)(bx+ay)≥xy 成立. ???????????? 10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设,知 B(2,3,0),A1(2,0,5),C(0,3,0),C1(0,3,5). → → 因为 CE =λCC1,所以 E(0,3,5λ).
A1 z D1 C1 B1 E D A B x (第 22 题图)

→ → 从而 EB =(2,0,-5λ),EA1=(2,-3,5-5λ).?? 2 分 当∠BEA1 为钝角时,cos∠BEA1<0, → → 所以 EB ·EA1<0,即 2×2-5λ(5-5λ)<0, 1 4 解得 <λ< . 5 5 1 4 即实数 λ 的取值范围是( , ). 5 5

C

y

?????????????? 5 分

2 → → (2)当 λ= 时, EB =(2,0,-2),EA1=(2,-3,3). 5 设平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(x,y,z),

? ?n1·→ EB =0, 由? → ?n1·EA1=0 ?

?2x-2z=0, 得? ?2x-3y+3z=0,

5 取 x=1,得 y= ,z=1, 3 5 所以平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(1, ,1). ????????????? 7 分 3 易知,平面 BA1B1 的一个法向量为 n2=(1,0,0). n1·n2 1 3 43 因为 cos< n1,n2>= = = , | n1|·| n2| 43 43 9 从而|cosθ|= 3 43 . 43 1 ?????????????? 10 分
1

C3 3 1 23.解: (1)因为 P(X=10)= 2= ,P(X=5)= 2= , C 10 C 10
5 5

C3 3 C3 3 P(X=2)= 2= ,P(X=0) = 2= , 10 C5 C5 10
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2

1

所以 X 的概率分布表为: X P 10 1 10 5 3 10 2 3 10 0 3 10

??????????? 4 分 1 3 3 3 从而 E(X)=10? +5? +2? +0? =3.1 元. 10 10 10 10 ??????????? 6 分

7 (2)记该顾客一次摸球中奖为事件 A,由(1)知,P(A)= , 10 91 从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率 P=1-[1-P(A)]2= . 100 答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91 . 100 ??????????? 10 分.

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