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高中数学必修5 第二章 等比数列复习


高中数学必修 5

第二章 数列复习

---【等比数列】
一、等比数列的有关概念: 1.等比数列的定义: 2.等比数列的通项: a n ? a1q n?1 或 an ? am q n?m 。 3.等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。 4. 等比数列的前 n 和: q ? 1 时,Sn

? na1 ; q ? 1 时,Sn ? 当 当 。

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

Sn ?

a a a1 (1 ? q n ) ? 1 ? 1 q n 可设为 S n ? A ? Bq n ( A ? B ? 0) 1? q 1? q 1? q

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 5.等比数列的判断方法: (1)定义法:定义法

an ?1 ,其中 q ? 0, an ? 0 ? q(q为常数) an

(2)等比中项法:

an?1 an 2 ? (n ? 2) 或 a n ? a n?1 ? a n?1 。 an an?1

(3)通项公式法: a n ? a1q n?1 或 an ? am q n?m 。 (4)等比数列的前 n 和法: S n ? A ? Bq n ( A ? B ? 0) 二、等比数列的性质: 1. 当 m ? n ? p ? q 时 , 则 有 am ? n ? a p ? q , 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 则 有 a a

am ? n ? ap 2 . a
2. 若 {a n } 是等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也是等比数列。 q=-1 时 ,n 为奇数;q ? -1 时,n ? N
*

3.若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {a n } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {a n } 为递减数列;若

则 若 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , {a n } 为递减数列; a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {a n } 为递增数列; q ? 0 , 则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {a n } 为常数列. 4.如果数列 {a n } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {a n } 是非零常数数列,故常数 数列 {a n } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 5.等比数列三类:正项数列,负项数列,摆动数列。 注意:奇数项符号一致,偶数项符号一致。

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一、选择题 1.等比数列{an}中,如果公比 q>1,那么等比数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.无法确定数列的增减性 ) )

2.在等比数列{an}中,已知 a1a2a12=64,则 a4a6 的值为( A.16 C.48 B.24 D.128

a20 3.在等比数列{an}中,a7·11=6,a4+a14=5,则 等于( a a10 2 A. 3 2 3 C. 或 3 2 3 B. 2 2 3 D.- 或- 3 2 )

)

4.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+a,则 a 等于( A.-4 C.0 B.-2 D.-1

5.在等比数列{an}中,a1=4,q=5,使 Sn>107 的最小 n 值是( A.11 C.12 B.10 D.9 )

)

S6 S9 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( S3 S6 A.2 8 C. 3 7 B. 3 D.3

7.若 a、b、c 成等比数列,则函数 y=ax2+2bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为( A.0 B.1

)

C.2

D.不确定

8.等比数列{an}的各项都为正数,且 a5a6+a4a7=18,log3a1+log3a2+…+log3a10 等于 ( ) A.12 C.8 B.10 D.2+log35 )

9.若 k,2k+2,3k+3 是等比数列的前 3 项,则第 4 项为( A.12 C.13.5 B.-13.5 D.-27

10.在等比数列{an}中,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 等于( A.3 C.-1 二、填空题 B.-3 D.1

)

a3+a4 11.等比数列{an}的各项均为正数,公比 q 满足 q2=4,则 =________. a4+a5 12.若{an}是等比数列,下列数列中是等比数列的代号为________. 1 ①{a2};②{a2n};③{ };④{lg|an|}. n an 13.在等比数列{an}中,a3=3,S3=9,则通项公式为________. 14.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) 关于数列 {a n } 有下列三个命题:①若 ,

a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 ? R ? , b
n

则 {a n } 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 {a n } 是等比数列。这些命题中,真命题的序 号是 ; 三、解答题 15 设等比数列 ?a n ? 的公比与前 n 项和分别为 q ( q ? ?1 )与 S n ,已知 S10 ? 8 ,求

S 20 1 ? q 10

16.设等比数列 ?a n ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和 S n ,已知 a 3 ? 2 , S 4 ? 5S 2 ,求 ?a n ? 的 通项公式。

17.设 ?a n ? 是等差数列, bn ? ( ) n ,已知 b1 ? b2 ? b3 ?

1 2

a

21 1 , b1 b2 b3 ? ,求通项 8 8

公式 a n

18.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ,且 S n?1 ? 4a n ? 2 , a1 ? 1 (1)设 bn ? a n?1 ? 2a n ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)设 c n ?

an ,求证:数列 ?a n ? 是等差数列; 2n

(3)求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n


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