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2013年高中数学公式大全


高中数学公式及知识点汇总
一、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y ? f (

x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减
函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f (x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f (x) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方 程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 4、几种常见函数的导数 ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
'
n ' x ' x n ?1


x

③ (sin x) ? cos x ;④ (cos x) ? ? sin x ;
' '

⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;
x '

⑦ (log a x) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x) ? x ln a x
u v
'

5、导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

(3) ( ) ?

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

sin? . cos?

9、正弦、余弦的诱导公式 k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;

k? ?

?

2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号。

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10、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

11、二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2
2?

12、三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

T?

13、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换 14、辅助角公式

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan? ?
15、正弦定理

b a

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
16、余弦定理

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
17、三角形面积公式

1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 19、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b ?| a | ? | b | cos?
20、平面向量的坐标运算 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x 2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ?

??? ?

??? ??? ? ?

x2 ? y2

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21、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

cos? ?

a ?b ab

?

x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2 2

22、向量的平行与垂直

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .
a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ? sn ? sn ?1 , n ? 2
24、等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
25、等差数列其前 n 项和公式为

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2
a1 n ? q (n ? N * ) ; q

26、等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

27、等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? na , q ? 1 ? 1 ? 1

四、不等式
28、已知 x, y 都是正数,则有

x? y ? xy ,当 x ? y 时等号成立。 2 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s . 4

五、解析几何
29、直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1
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x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(4)截距式 30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 31、平面两点间的距离公式

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

32、点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ? 34、直线与圆的位置关系

? x ? a ? r cos ? . ? y ? b ? r sin ?
2 2 2

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2 Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆:

? x ? a cos ? x2 y 2 c ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a 2 ? c 2 ? b 2 ,离心率 e ? ? 1 ,参数方程是 ? . 2 a b a ? y ? b sin ?

x2 y2 c b ? 2 ? 1 (a>0,b>0), c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? ? 1 ,渐近线方程是 y ? ? x . 2 a a b a p p 2 抛物线: y ? 2 px ,焦点 ( ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 2 2
双曲线: 36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a x2 y2 x2 y2 (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 , a b a b

焦点在 y 轴上).

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37、抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2

p .(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 ) 2 p p 38、过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2
抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x0 ?
2

六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法 (1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等) 40、证明直线与平面平行的方法 (1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行) (2)先证面面平行 41、证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行) .... 42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法 (1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直) .... (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面) 44、证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直) 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r
2 2

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R . 3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算

x1 ? x2 ? ? xn 1 2 2 2 2 方差: s ? [( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ?( x n ? x) ] n n 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ] 标准差: s ? n
平均数: x ? 50、回归直线方程
n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? i ?1 ? n ? ? a ? bx ,其中 ?b ? 2 y ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

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51、独立性检验 K ?
2

n(ac ? bd ) 2 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

52、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗 ... ... ... 漏)

八、复数
53、复数的除法运算

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i . ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2
54、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a ? b .
2 2

九、参数方程、极坐标化成直角坐标 ?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? cos? ? x ? 55、 ? ? y ? ? sin ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?

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