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辽宁大连24中2013届高三上学期期末考试数学(理)试题


辽宁大连 24 中 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题意要求的. 1.设全集 U ={x∈N| x<6},集合 A={l,3},B={3,5},则(CUA)∩(CUB)= ( ) A.{2,4} B.{2,4,6}

C.{0,2,4} D.{0,2,4,6} 2 2.若复数(a -l)+(a -1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a= ( ) A.±1 B.-1 C.0 D.1 3.已知 ? an ? 为等比数列,若 a4 +a6 =10,则 a1a7+2a3a7+a3a9= A.10 B.20 C.60 D.100 ( )

4.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC 2 =16, | AB ? AC |?| AB ? AC |, 则 | AM | = ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.在右图的算法中,如果输入 A=192,B= 22,则输出的结果是( ) A.0 B.2 C.4 D.6 6.给出命题 P:直线 ll:ax+3y+l =0 与 l2:2x+(a+1)y+l=0 互相平行 的充要条件是 a=-3;命题 q:若平面 ? 内不共线的三点到平面 ? 的 距离相等,则 ? ∥ ? .对以上两个命题,下列结论中正确的是 A.命题“p 且 q"为真 C.命题“p 或 ? q"为假 B.命题“p 或 9”为假 D.命题“p 且 ? q"为真 ( )

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

???? ?

?x ? 1 ? 7.若关于 x,y 的不等式组 ? x ? y ? 2 表示的区域为三角形,则实数 ? 的取值范围是( ? ?y ? ax A. (- ? ,l) B. (0,1) C. (-l,1) D. (1,+∞)



8.把五个标号为 l 到 5 的小球全部放入标号为 l 到 4 的四个盒子中,不许有空盒且任意一个小球都不 能放入标有相同标号的盒子中,则不同的方法有 ( ) A.36 B.45 C.54 D.96 9.设偶函数 f(x)=Asin( ?x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? < ? )的部分图象 如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,△KML=90o |KL|=1,则 f( A. ?

1 ) 6

的值为(



3 4

B. ?

1 4

C. ?

1 2

D.

3 4

10.已知点 M(-3,0) 、N(3,0) 、B(l,0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相 切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( ) A.x2 -

y2 =1(x>1) 8

B.x2 一

y2 =1(x>0) 10 y2 =1(x>1) 10
) D.不确定

C.x -

2

y2 =1(x>0) 8

D.x2-

11.函数 f(x)=x3-bx2+1 有且仅有两个不同零点,则 b 的值为(
3

A.

4 2

3

B.

2 2

C.

33 2 2

12.已知三边长分别为 4、5、6 的△ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上一点,若点 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 P-ABC 的体积为 ( ) A.5 B.10 C.20 D.30

第Ⅱ卷(共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 -24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设二项式(x-

a 6 ) 的展开式中 x2 的系数为 A,常数项为 B,若 B= 4A,则 a= x




14.已知函数 f(x)=kx +1,其中实数 k 随机选自区间[-2,l],则对

?x ? [?1,1] ,都有 f(x)≥0 恒成立的概率是

15.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等 于 cm3. 16. 定义函数 f ( x) ? [ x ·[x]],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,当 x∈[0,n) (n∈N*)时,设函数 f(x)的值域为集合 A,记 A 中的 元素个数为 an 则

a n ? 49 的最小值为 n



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 p(?3, 3 ) . (Ⅰ)求 sin 2 ? -tan ? 的值; (Ⅱ) 若函数 f x) cos ( = (x- ? ) ? -sin cos (x- ? ) ? , sin 求函数 y= 3 f ( 在区间[0,

?
2

? 2 x) ? 2 f 2 ( x)

? ]上的值域. 2

18. (本小题满分 12 分) 如图, 已知平行四边形 ABCD 和平行四边形 ACEF 所在的平面相交于直线 AC, EC⊥平面 ABCD, AB=1,AD=2,∠ADC=60o,AF= 3 . (Ⅰ)求证:AC⊥BF; ( II)求二面角 F-BD-A 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 第 12 届全运会将于 2013 年 8 月 31 日在辽宁沈阳举行, 组委会在沈阳某大学招募了 12 名男志愿 者和 18 名女志愿者, 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图 (单位: , cm)若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”. (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和 “非高个子”中共抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? ( II)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数, 试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 上取两个定点 A1(-2,0) 2 (2,0) 、A ,再取两个动点 N1(0,m) 2 (0, 、N

n)且 mn =3. (Ⅰ)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; ( II)已知 F2(1,0) ,设直线 l:y=kx +m 与(I)中的轨迹 M 交于 P、Q 两点,直线 F2P、F2Q 的 倾斜角分别为 ?、? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

21. (本小题满分 12 分) 函数 f(x)=alnx+1(a>0) . (Ⅰ)当 x>0 时,求证:f(x)-1≥a(1-

1 ) ; x

(II)在区间(1,e)上 f(x)>x 恒成立,求实数 a 的范围; (Ⅲ)当 a=

1 时,求证:f(2)+f(3)+…+f(n+1)>2(n+1- n ? 1 ) (n∈N*) . 2

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,△ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (II)当 AC=1,EC =2 时,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)试分别将曲线 Cl 的极坐标方程 ? ? sin? ? cos? 和曲线 C2 的参数方程 ?

? x ? sin t ? cost ? y ? sin t ? cost

(t 为参数)化为直角坐标方程和普通方程: (II) 若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线 Cl 和曲线 C2 上爬行, 求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离 (视 蚂蚁为点) .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f(x)=|x+a|+|x-2|. (Ⅰ)当 a=-1 时,解关于 x 的不等式 f(x)>5; (II)已知关于 x 的不等式 f(x)+a<2012(a 是常数)的解集是非空集合,求实数 a 的取值范围.


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