当前位置:首页 >> 数学 >> 三角形的五心1

三角形的五心1


三角形的五心
三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”,在解题时有很多应用,在本节中将分 别给予介绍. 三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心,重心,垂心和旁心. 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心). 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 都等于三角形的外接圆半径. 锐角三角形的外心在三角形内; 直角

三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外. 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心). 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径. 内切圆半径 r 的计算: 1 S 设三角形面积为 S,并记 p= (a+b+c),则 r= . 2 p 1 特别地,在直角三角形中,有 r= (a+b-c). 2 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心. 上面的证明中,我们也得到了以下结论:三角形的重心到边的中点与到相应顶点 的距离之比为 1∶2. 4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心. 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第 四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂心组”. 5、三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切 圆圆心). 每个三角形都有三个旁切圆.
Ia F E B D C A
B D F G C

A

O B C

A M I B D H
A E

F

E K C

A 类例题
例 1 证明重心定理。

证法 1 如图,D、E、F 为三边中点,设 BE、CF 交于 G,连接 EF, ∥1 显然 EF = BC,由三角形相似可得 GB=2GE,GC=2GF. 2 又设 AD、BE 交于 G',同理可证 G'B=2G'E,G'A=2G'D,即 G、G'都是 BE 上从 B 到 E 的三分之二处的点,故 G'、G 重合. 即三条中线 AD、BE、CF 相交于一点 G. 证法 2 设 BE、CF 交于 G,BG、CG 中点为 H、I.连 EF、FH、HI、IE, ∥1 ∥1 因为 EF = BC,HI = BC, 2 2 所以 EFHI 为平行四边形. 所以 HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF. 同证法 1 可知 AG=2GD,AD、BE、CF 共点. 即定理证毕. 链接 证明外心、内心定理是很容易的。 外心定理的证明: 如图, AB、 的中垂线交于点 O, 设 BC 则有 OA=OB=OC, 故 O 也在 AC 的中垂线上,因为 O 到三顶点的距离相等,故点 O 是Δ ABC 外接圆的圆心.因而称为外心.
O B
B D F G

A E

C

A

F G H B D I

E

C

A

C

A M I B D H E K C

内心定理的证明:如图,设∠A、∠C 的平分线相交于 I、过 I 作 ID⊥ BC,IE⊥AC,IF⊥AB,则有 IE=IF=ID.因此 I 也在∠C 的平 分线上,即三角形三内角平分线交于一点. 上述定理的证法完全适用于旁心定理,请同学们自己完成.

F

例 2 证明垂心定理
C'

A F E

B'

分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图,AD、BE、CF 为Δ ABC 三条高,过点 A、 B、C 分别作对边的平行线相交成Δ A'B'C',显然 AD
B

为 B'C'的中垂线;同理 BE、CF 也分别为 A'C'、A'B' 的中垂线,由外心定理,它们交于一点,命题得证.
A'

D

C

链接 (1)对于三线共点问题还可以利用 Ceva 定理进行证明,同学们可以参考第十八讲的内容。 (Ceva 定理)设 X、Y、Z 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点,则 AX、BY、CZ 所在直线

AZ BX CY 交于一点的充要条件是 · · =1. ZB XC YA (2)对于三角形的五心,还可以推广到 n 边形,例如,如果我们称 n(≥3)边形某顶点同除该 点以外的 n-1 个顶点所决定的 n-1 边形的重心的连线,为 n 边形的中线, (当 n-1=2 时,n-1 边形 退化成一线段,此时重心即为线段的中心)那么重心定理可推广如下:n 边形的各条中线(若有重 合, 只算一条) 相交于一点, 各中线被该点分为: (n-1) ∶1 的两条线段, 这点叫 n 边形的重心. 请 同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。

情景再现
1.设 G 为△ABC 的重心,M、N 分别为 AB、CA 的中点,求证: 四边形 GMAN 和△GBC 的面积相等.
M G B

A

N

C

2.三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 二倍.

B 类例题
例 3 过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M;引 PN∥BA 交 AC 于 N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P'.试证:P'点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数 学竞赛习题》) 分析 分析点 M 和 N 的性质,即能得到解题思路。 证明 由已知可得 MP'=MP=MB,NP'=NP=NC, 故点 M 是△P'BP 的外心,点 N 是△P'PC 的外心.于是有 1 1 ∠BP'P= ∠BMP= ∠BAC, 2 2 1 1 ∠PP'C= ∠PNC= ∠BAC. 2 2 ∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC. 从而,P'点与 A、B、C 共圆,即 P'在△ABC 外接圆上.
P'

A N

B

M
P

C

链接

本题可以引出更多结论,例如 P'P 平分∠BP'C、P'B:P'C=BP:PC 等等.

例 4 AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点. 证明:在△PAD,△PBE,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的 和. (第 26 届莫斯科数学奥林匹克)

A A' F B F'
G E' D'

E
C'

证明 设 G 为△ABC 重心,直线 PG 与 AB,BC 相交.从 A,C,D,E,F 分别作该直线的垂线,垂足为 A',C',D',E',F'. 易证 AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC', ∴EE'=DD'+FF'. 有 S△PGE=S△PGD+S△PGF. 两边各扩大 3 倍,有 S△PBE=S△PAD+S△PCF.

D

C
P

例 5 设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形, 1, 2, 3, 4 依次为△A2A3A4, 3A4A1, 4A1A2, 1A2A3 H H H H △A △A △A 的垂心.求证:H1,H2,H3,H4 四点共圆,并确定出该圆的圆心位置. 证明 连接 A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径为 R.由△A2A3A4 知 (1992,全国高中联赛)

A2 H 1 =2R ? A2H1=2Rcos∠A3A2A4; sin ?A2 A3 H 1
由△A1A3A4 得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故 A2H1=A1H2. ∥ 易证 A2H1∥A1A2,于是,A2H1 = A1H2,

A2
H1

A1

O

. H2
A4

A3

∥ 故得 H1H2 = A2A1.设 H1A1 与 H2A2 的交点为 M,故 H1H2 与 A1A2 关于 M 点成中心对称. 同理,H2H3 与 A2A3,H3H4 与 A3A4,H4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4 在同一个圆 上.后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O,M 两点,Q 点就不难确定了. 链接三角形的五心有许多重要性质,它们之间也有很密切的联系,如: (1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等; (2)三角形的外心到三顶点的距离相等; (3)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心; (4)三角形的内心、旁心到三边距离相等; (5) 三角形的垂心是它垂足三角形的内心; 或者说, 三角形的内心是它旁心三角形的垂心; (6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心; (7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心; (8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

情景再现
3.在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S. 证明以△APS,△BQP,△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆 亦真.

C 类例题
例 6 H 为△ABC 的垂心,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中心.一个以 H 为圆心的⊙H 交直线 EF, FD,DE 于 A1,A2,B1,B2,C1,C2. 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. 分析 只须证明 AA1=BB1=CC1 即可. 证明 设 BC=a, CA=b,AB=c,△ABC 外接圆半径为 R,⊙H 的半径为 r. 连 HA1,AH 交 EF 于 M. A A =r +(AM -MH ), 1 1 又 AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2 2 2 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2 =cosA·bc-AH2, 而 ②
2 2 2

(1989,加拿大数学奥林匹克训练题)
B2 A1 B F
H2 M

A E

C1 A2 C

2 2 2 2 2 2 1 =AM +A1M =AM +r -MH

H D C2 H1



B1

AH =2R ? AH2=4R2cos2A, sin ?ABH

a =2R ? a2=4R2sin2A. sin A
∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. 由①、②、③有 A A1 =r2+
2



b2 ? c2 ? a2 ·bc-(4R2-a2) 2bc

1 = (a2+b2+c2)-4R2+r2. 2 同理, BB1 = 1
2

1 2 2 2 (a +b +c )-4R2+r2, 2

CC12 =2 (a2+b2+c2)-4R2+r2.
故有 AA1=BB1=CC1. 例 7 已知⊙O 内接△ABC,⊙Q 切 AB,AC 于 E,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点 P 是△ABC 之内 心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) ︵ 证明 如图,显然 EF 中点 P、圆心 Q,BC中点 K 都在∠BAC 平分线上.易知 AQ=
M R E O B r αα P Q F C A

r . sin ?

∵QK·AQ=MQ·QN, ∴QK=

MQ ? QN AQ

=

(2 R ? r ) ? r = sin ? ? (2R ? r ) . r / sin ?

由 Rt△EPQ 知 PQ= sin ? ? r . ∴PK=PQ+QK= sin ? ? r + sin ? ? (2R ? r ) = sin ? ? 2 R . ∴PK=BK. 利用内心等量关系之逆定理,即知 P 是△ABC 这内心. 说明 在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例 7 的一种特例,但它增加了条件 AB=AC. 例 8 在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.式中 r,ra,rb,rc 分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相 切的旁切圆半径,p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 证明 设 Rt△ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性: p(p-c)=(p-a)(p-b). ∵p(p-c)= 1 1 (a+b+c)· (a+b-c) 2 2
O3

rc

K A O2 O r E

1 = [(a+b)2-c2] 4 1 = ab; 2 1 1 (p-a)(p-b)= (-a+b+c)· (a-b+c) 2 2 1 1 = [c2-(a-b)2]= ab. 4 2 ∴p(p-c)=(p-a)(p-b). 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b, rb=BG-BC=p-a, rc=CK=p. 1 而 r= (a+b-c)=p-c. 2 ∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证. ①
B

rb

ra C
O1

例 9 M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ABC 内切圆的半径,q1,

q2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明 证明 对任意△A'B'C',由正弦定理可知 OD=OA'· sin

r1 r r · 2 = .(IMO-12) q1 q 2 q
C' O A ' .. E D
. B '

A' 2

B' sin A' 2 =A'B'· · sin 2 sin ?A' O' B'
A' B' ? sin 2 2 , =A'B'· A'? B' sin 2 sin A' B' cos 2 2 . O'E= A'B'· A'? B' sin 2 cos


O'

OD A' B ' ? tg tg . O' E 2 2

亦即有

r1 r A ?CMA ?CNB B tg tg · 2 = tg tg 2 2 2 2 q1 q 2
= tg

A B r tg = . 2 2 q

例 10 锐角△ABC 中,O,G,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d 外,重心到三边 距离和为 d 重,垂心到三边距离和为 d 垂. 求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 证明 设△ABC 外接圆半径为 1,三个内角记为 A,B, C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3 =cosA+cosB+cosC, ∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC). ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得 BH2·CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ∴ ② ①
I B O1 G 1 H1 C H3 G3 O3 O G O2 G2 H2 A

BH =2, sin ?BCH

∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.

同样可得 HH2,HH3. ∴d 垂=HH1+HH2+HH3 =2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) 欲证结论,观察①、②、③, 须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB. 即可. 说明 本题用了三角法。 ③

情景再现
5.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,BE,CF 三条对角线 交于一点;(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题) 6.△ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明 OE 丄 CD. (加拿大数学奥林匹克训练题) 7.△ABC 中∠C=30°,O 是外心,I 是内心,边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB. 求证:OI 丄 DE,OI=DE. (1988,中国数学奥林匹克集训题)

习题 17
1.在△ABC 中,∠A 是钝角,H 是垂心,且 AH=BC,则 cos∠BHC=( 1 A.- 2 2 1 B. 2 2 C. 3 3 1 D. 2 ) )

2.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分,则此直线一定通过三角形的( A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心(1996 年全国初中联赛) 3.(1997 年安徽省初中数学竞赛)若 0° <?<90° ,那么,以 sin?,cos?,tan?cot?为三边 的三角形有内切圆、外接圆的半径之和是( sin?+cos? A. 2 tan?+cot? B. 2 ) 1 D. sin?cos? )

C I r O R

C.2sin?cos?

A

B

4.Δ ABC 中,∠A=45?,BC=a,高 BE、CF 交于点 H,则 AH=( 1 A. a 2 1 B. 2a 2 C.a D. 2a

5.下面三个命题中: ⑴ 设 H 为Δ ABC 的高 AD 上一点,∠BHC+∠BAC=180?,则点 H 是Δ ABC 的垂心; ⑵ 设 G 为Δ ABC 的中线 AD 上一点,且 SΔ AGB=SΔ BGC,则点 G 是Δ ABC 的重心; ⑶ 设 E 是Δ ABC 的外角∠BAK 的角平分线与Δ ABC 的外接圆⊙O 的交点, ED 是⊙O 的直径,I 在线段 AD 上,且 DI=DB,则 I 是Δ ABC 的内心. 正确命题的个数是( A.0 个
F A

) C.2 个 D.3 个
B

H

E

B.1 个

6.设Δ ABC 的∠A=60?,求证:Δ ABC 的外心 O、内心 I、垂心 H 及点 B、 C 五点在同一个圆上. 7.已知 P 是□ABCD 内的一点,O 为 AC 与 BD 的交点,M、N 分别为 PB、 PC 中点,Q 为 AN 与 DM 的交点.求证: ⑴ P、Q、O 三点在一条直线上; ⑵ PQ=2OQ. 8.I 为△ABC 之内心,射线 AI,BI,CI 交△ABC 外接圆于 A′, B′,C ′.则 AA′+BB′+CC′>△ABC 周长.(1982,澳大利亚数学奥林匹克)
A

D

C

D

P Q O M

N

C

B

9.△T′的三边分别等于△T 的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相 似.(1989,捷克数学奥林匹克) 10.I 为△ABC 的内心.取△IBC,△ICA,△IAB 的外心 O1,O2,O3.求证:△O1O2O3 与△ABC 有公 共的外心.(1988,美国数学奥林匹克) 11.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC 的外心 O,O1,O2.则△OO1O2 是等腰三角

形. 12.△ABC 中∠C<90°,从 AB 上 M 点作 CA,CB 的垂线 MP,MQ.H 是△CPQ 的垂心.当 M 是 AB 上动点时,求 H 的轨迹.(IMO-7)

本节“情景再现”解答 1.证明 如图,连 GA,因为 M、N 分别为 AB、CA 的中点, 所以△AMG 的面积=△GBM 的面积,△GAN 的面积=△GNC 的面积, 即四边形 GMAN 和△GBC 的面积相等. 2.证明 如图,O 为 ΔABC 的外心,H 为垂心,连 CO 交 ΔABC 外接圆于 D,连 DA、DB,则 DA⊥AC,BD⊥BC,又 AH⊥BC, BH⊥AC.所以 DA∥BH,BD∥AH,从而四边形 DAHB 为平行 四边形。又显然 DB=2OM,所以 AH=2OM. 同理可证 BH=2ON,CH=2OK.证毕.
B M D K O
B M G

A

N

C

A

H

N

C

3.提示:设 O1,O2,O3 是△APS,△BQP,△CSQ 的外心, 作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外心性质可知∠PO1S=2 ∠A,∠QO2P=2∠B,∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3 绕着 O3 点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1, 1 同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K 2 1 1 1 = (∠O2O1S+∠SO1K)= (∠O2O1S+∠PO1O2)= ∠PO1S=∠A; 2 2 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 4.提示:将△ABC 简记为△,由三中线 AD,BE,CF 围成的三角形简记为△'.G 为重心,连 DE 到 H,使 EH=DE,连 HC,HF,则△'就是△HCF. (1)a2,b2,c2 成等差数列 ? △∽△'.若△ABC 为正三角形,易证△∽△'.不妨设 a≥b≥c,有 CF=

1 1 1 2a 2 ? 2b 2 ? c 2 ,BE= 2c 2 ? 2a 2 ? b 2 ,AD= 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2 2 2

将 a2+c2=2b2,分别代入以上三式,得 CF= ∴CF:BE:AD =

3 3 3 a ,BE= b ,AD= c. 2 2 2

3 3 3 a: b: c =a:b:c. 故有△∽△′. 2 2 2

(2)△∽△′ ? a2,b2,c2 成等差数列.当△中 a≥b≥c 时, △′中 CF≥BE≥AD.∵△∽△′,∴

S?' CF 2 =( ). a S? S? 3 3 ” ,有 ' = . 4 S? 4

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的



CF 2 3 = ? 3a2=4CF2=2a2+b2-c2 ? a2+c2=2b2. a2 4

5.证明 连接 AC,CE,EA,由已知可证 AD,CF,EB 是△ACE 的三条内角平分线,I 为△ACE 的 内心.从而有 ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC. 再由△BDF,易证 BP,DQ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用 .. Erdos 不等式有: BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明 IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. I 就是一点两心. 6.提示:设 AM 为高亦为中线,取 AC 中点 F,E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G,G 必为△ABC 重心. 连 GE,MF,MF 交 DC 于 K.易证:
D G O B K C A

A F B Q S C D I P E

E

F

1 1 1 DG:GK= DC:( ? )DC=2:1. 3 2 3
∴DG:GK=DE:EF ? GE∥MF. ∵OD 丄 AB,MF∥AB,

∴OD 丄 MF ? OD 丄 GE.但 OG 丄 DE ? G 又是△ODE 之垂心. 易证 OE 丄 CD. 7.提示:辅助线如图所示,作∠DAO 平分线交 BC 于 K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB, ∠AID=∠AIB=∠EIB. 利用内心张角公式,有
B A I F D
30 °

C

O E

K

1 ∠AIB=90°+ ∠C=105°, 2 1 1 1 ∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+ ∠DAO=30°+ (∠BAC-∠BAO)=30°+ 2 2 2 1 (∠BAC-60°)= ∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2 ∴AK∥IE. 由等腰△AOD 可知 DO 丄 AK,∴DO 丄 IE,即 DF 是△DIE 的一条高. 同理 EO 是△DIE 之垂心,OI 丄 DE.由∠DIE=∠IDO,易知 OI=DE. 习题 17 解答 1. B;2.A;3.A;4.C;5.选 B,只有(3)是对的; 6.略;7.略;8.略;9.略;10.略;11.略;12. H 的轨迹是一条线段.

补充:
第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例 1.过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M;引 PN∥BA 交 AC 于 N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P′.试证:P′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析:由已知可得 MP′=MP=MB,NP′=NP =NC,故点 M 是△P′BP 的外心,点 N 是△P′PC 的外心.有
1 1 ∠BP′P= ∠BMP= ∠BAC, 2 2
B M
P P'

A N C

∠PP′C=

1 1 ∠PNC= ∠BAC. 2 2

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而,P′点与 A,B,C 共圆、即 P′在△ABC 外接圆上. 由于 P′P 平分∠BP′C,显然还有 P′B:P′C=BP:PC. 例 2.在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S.证明以△APS,△BQP,△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析:设 O1,O2,O3 是△APS,△BQP, △CSQ 的外心,作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知 ∠PO1S=2∠A, ∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+ ∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3 绕着 O3 点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可得△ O1O2O3≌△O1KO3.
B
P

A O1 .. ..
S

K C

O2 Q

O3

1 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K 2

= = =

1 (∠O2O1S+∠SO1K) 2 1 (∠O2O1S+∠PO1O2) 2 1 ∠PO1S=∠A; 2

同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式,便于解题. 例 3.AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD,△PBE,△ PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫斯科数学奥林匹克) 分析:设 G 为△ABC 重心,直线 PG 与 AB ,BC 相交.从 A,C,D,E,F 分别 作该直线的垂线,垂足为 A′,C′, B D′,E′,F′. ∴EE′=DD′+FF′. 有 S△PGE=S△PGD+S△PGF. 两边各扩大 3 倍,有 S△PBE=S△PAD+S△PCF. 例 4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三 角形相似.其逆亦真. 分析:将△ABC 简记为△,由三中线 AD,BE,CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心, 连 DE 到 H,使 EH=DE,连 HC,HF,则△′就是△HCF. (1)a2,b2,c2 成等差数列 ? △∽△′. 若△ABC 为正三角形,易证△∽△′. 不妨设 a≥b≥c,有 CF= BE= AD=
1 2a 2 ? 2b 2 ? c 2 , 2 1 2c 2 ? 2a 2 ? b 2 , 2 1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2
A' F F'
G E' D'

A E
C'

D

C
P

易证 AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′,

将 a2+c2=2b2,分别代入以上三式,得

CF=

3 3 3 a ,BE= b ,AD= c. 2 2 2
3 3 3 a: b: c 2 2 2

∴CF:BE:AD =

=a:b:c. 故有△∽△′. (2)△∽△′ ? a2,b2,c2 成等差数列. 当△中 a≥b≥c 时, △′中 CF≥BE≥AD. ∵△∽△′, ∴

S?' CF 2 =( ). a S?
S 3 3 ” 有 ?' = . , 4 S? 4

据 “三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ∴
CF 2 3 = ?3a2=4CF2=2a2+b2-c2 2 4 a

?a2+c2=2b2.
三、垂心 三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆 三角形,给我们解题提供了极大的便利. 例 5.设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为 △A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3 的垂心.求证:H1,H2,H3,H4 四点 共圆,并确定出该圆的圆心位置. (1992,全国高中联赛) 分析:连接 A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径 为 R.由△A2A3A4 知
A2
H1

A1

O

. H2
A4

A2 H 1 =2R ? A2H1=2Rcos∠A3A2AA; 43 sin ?A2 A3 H 1
由△A1A3A4 得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.

但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故 A2H1=A1H2. 易证 A2H1∥A1A2,于是,A2H1 ∥ 1H2, =A 故得 H1H2 ∥A2A1.设 H1A1 与 H2A2 的交点为 M,故 H1H2 与 A1A2 关于 M 点成中心 = 对称. 同理,H2H3 与 A2A3,H3H4 与 A3A4,H4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称.故四边 形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称,两者是全等四边形,H1, H2,H3,H4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由

O,M 两点,Q 点就不难确定了. 例 6.H 为△ABC 的垂心,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中心.一个以 H 为圆心的⊙ H 交直线 EF,FD,DE 于 A1,A2,B1,B2,C1,C2. 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989,加拿大数学奥林匹克训练题) 分析:只须证明 AA1=BB1=CC1 即可.设 BC=a, CA=b,AB=c,△ABC 外 接圆半径为 R,⊙H 的半径为 r. 连 HA1,AH 交 EF 于 M. A A =AM +A1M =AM +r -MH
2 1

B2 F B
H2 M

A E

C1 A2 C

A1

H D C2 H1

2

2

2

2

2

B1

=r2+(AM2-MH2), 又 AM2-HM2=(
1 1 AH1)2-(AH- AH1)2 2 2



=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2 =cosA·bc-AH2, 而
AH =2R ? AH2=4R2cos2A, sin ?ABH



a =2R ? a2=4R2sin2A. sin A

∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. 由①、②、③有 A A12 =r2+ =
b2 ? c2 ? a2 ·bc-(4R2-a2) 2bc



1 2 2 2 (a +b +c )-4R2+r2. 2 1 2 2 2 (a +b +c )-4R2+r2, 2

同理, BB12 =

1 CC12 = (a2+b2+c2)-4R2+r2. 2

故有 AA1=BB1=CC1. 四、内心 三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一 个极为有用的等量关系: 设 I 为△ABC 的内心,射线 AI 交△ABC 外接圆于 A′,则有 A ′I=A′B=A′C. 换言之,点 A′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例 7.ABCD 为圆内接凸四边形,取 △DAB,△ABC,△BCD,
D O4 O 3 C

O1

O2 B

A

△CDA 的内心 O1, O2,O3, O4.求证:O1O2O3O4 为矩形. (1986,中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992;4 例 8.已知⊙O 内接△ABC,⊙Q 切 AB,AC 于 E,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点 P 是△ABC 之内心. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析:在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例,但它增加了条 件 AB=AC.当 AB≠AC,怎样证明呢? 如图, 显然 EF 中点 P、 圆心 Q, 中点 K 都在∠BAC 平分线上.易知 AQ= BC ∵QK·AQ=MQ·QN, ∴QK=
MQ ? QN AQ
B N K M R E O r αα P Q F C A

r . sin ?

(2 R ? r ) ? r = = sin ? ? (2R ? r ) . r / sin ?

由 Rt△EPQ 知 PQ= sin ? ? r . ∴PK=PQ+QK= sin ? ? r + sin ? ? (2R ? r ) = sin ? ? 2 R . ∴PK=BK. ? 利用内心等量关系之逆定理,即知 P 是△ABC 这内心. 五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切. 例 9.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p. 式中 r,ra,rb,rc 分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相切的旁切圆半径,p 表示 半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析:设 Rt△ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性: p(p-c)=(p-a)(p-b). ∵p(p-c)=
1 1 (a+b+c)· (a+b-c) 2 2
rc
O3 O r E B O1 K A O2

1 = [(a+b)2-c2] 4 1 = ab; 2

rb

ra C

(p-a)(p-b)= =

1 1 (-a+b+c)· (a-b+c) 2 2 1 2 1 [c -(a-b)2]= ab. 4 2

∴p(p-c)=(p-a)(p-b). 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b, rb=BG-BC=p-a, rc=CK=p. 而 r=
1 (a+b-c) 2



=p-c. ∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证. 例 10.M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ABC 内切 圆的半径,q1 ,q2 ,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明:

r1 r r · 2 = . q1 q2 q
(IMO-12) 分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知 OD=OA′· sin
A' 2
O A ' .. E D C'

B' sin A' 2 =A′B′· · sin 2 sin ?A' O' B'
A' B' ? sin 2 2 , =A′B′· A'? B' sin 2 sin A' B' cos 2 2 . O′E= A′B′· A'? B' sin 2 cos

OD A' B ' ? tg tg . O' E 2 2

. B '

O'

亦即有

r1 r A ?CMA ?CNB B tg tg · 2 = tg tg 2 2 2 2 q1 q2
= tg 六、众心共圆 这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三 角形的几个心. 例 11.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,BE, CF 三条对角线交于一点; (2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题) 分析:连接 AC,CE,EA,由已知可证 AD,CF,EB 是△ACE 的三条内角平分线,I 为 △ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC. 再由△BDF,易证 BP,DQ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用 式有:
.. Erdos
A F B Q S C D I P E

A B r tg = . 2 2 q

不等

BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明 IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I 就是一点两心.

例 12. △ABC 的外心为 O, AB=AC, 是 AB 中点, 是△ACD 的重心.证明 OE 丄 CD. D E (加拿大数学奥林匹克训练题) 分析:设 AM 为高亦为中线,取 AC 中点 F,E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G,G 必为△ABC 重心. 连 GE,MF,MF 交 DC 于 K.易证:
B D G O K C A

E

F

1 1 1 DG:GK= DC:( ? )DC=2:1. 3 2 3

∴DG:GK=DE:EF ? GE∥MF. ∵OD 丄 AB,MF∥AB, ∴OD 丄 MF ? OD 丄 GE.但 OG 丄 DE ? G 又是△ODE 之垂心.

易证 OE 丄 CD. 例 13.△ABC 中∠C=30°,O 是外心,I 是内心,边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使 得 AD=BE=AB.求证:OI 丄 DE,OI=DE. (1988,中国数学奥林匹克集训题) 分析:辅助线如图所示,作∠DAO 平分线交 BC 于 K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB, ∠AID=∠AIB=∠EIB. 利用内心张角公式,有 ∠AIB=90°+
1 ∠C=105°, 2 1 ∠DAO 2
B A I F D
30 °

C

O E

K

∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+ =30°+ =30°+ =

1 (∠BAC-∠BAO) 2 1 (∠BAC-60°) 2

1 ∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2

∴AK∥IE. 由等腰△AOD 可知 DO 丄 AK, ∴DO 丄 IE,即 DF 是△DIE 的一条高. 同理 EO 是△DIE 之垂心,OI 丄 DE. 由∠DIE=∠IDO,易知 OI=DE. 例 14.锐角△ABC 中,O,G,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d 外, 重心到三边距 离和为 d 重,垂心到三边距离和为 d 垂. 求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为 1,三个内角记为 A,B, C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3 =cosA+cosB+cosC, ∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC). ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得 BH2·CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ② ①
B H3 G3 O3 O I O1 G 1 H1 C G A

O2 G2 H2



BH =2, sin ?BCH

∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得 HH2,HH3. ∴d 垂=HH1+HH2+HH3 =2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) 欲证结论,观察①、②、③, 须 证 (cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可. cosA+ cosB+ ③







1.I 为△ABC 之内心,射线 AI,BI,CI 交△ABC 外接圆于 A′, B′,C ′.则 AA′+BB′+CC′>△ABC 周长.(1982,澳大利 亚数学奥林匹克) 2.△T′的三边分别等于△T 的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角 形相似.(1989,捷克数学奥林匹克) 3.I 为△ABC 的内心.取△IBC,△ICA,△IAB 的外心 O1,O2,O3.求证:△O1O2O3 与 △ABC 有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克) 4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC 的外心 O,O1,O2.则△OO1O2 是等腰三角形. 5.△ABC 中∠C<90°, AB 上 M 点作 CA,CB 的垂线 MP, 从 MQ.H 是△CPQ 的垂心. 当 M 是 AB 上动点时,求 H 的轨迹.(IMO-7) 6.△ABC 的边 BC=
1 (AB+AC),取 AB,AC 中点 M,N,G 为重心,I 为内心.试证:过 2

A,M,N 三点的圆与直线 GI 相切.(第 27 届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H1,H2,H3.已知:H1,H2,H3,求作△ ABC.(第 7 届莫斯科数学奥林匹克) 8.已知△ABC 的三个旁心为 I1,I2,I3.求证:△I1I2I3 是锐角三角形. 9.AB,AC 切⊙O 于 B,C,过 OA 与 BC 的交点 M 任作⊙O 的弦 EF.求证:(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心;(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.


更多相关文档:

三角形五心性质总汇

三角形五心性质总汇_物理_自然科学_专业资料。三角形的五心 1.内心:三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 角平分线性质:到角两边距离相等. 内心...

三角形的五心整理

中英文学校自主招生平面几何讲义(三角形的五心) 一、三角形的重心 1、重心的性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 证明一 三角形 ...

【高中】三角形的五心【强烈推荐】[1]

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”,在解题时有很多应用,在本节中将分别给予介绍. 三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心,重心...

三角形的五心

三角形的五心_初三数学_数学_初中教育_教育专区。三角形的五心 一、外心. 三角...零向量 量 度为单位 1 的向量,叫做单位向量.与向量 a 同向且长度为单位 1...

三角形五心性质[1]

三角形五心性质[1]_数学_自然科学_专业资料。启帆教育科技(北京)有限公司南京分公司 做学校做不了的,做家长做不好的 三角形的五心定理 一、三角形五心定义 内心...

平面几何竞赛之三角形的“五心”[1]

平面几何竞赛之三角形的五心”一、基本概念 1、内心:与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆,其圆心叫做此三角形的内心.内心是 三角形三条内角平分线的...

三角形的五心整理

中英文学校自主招生平面几何讲义(三角形的五心) 一、三角形的重心 1、重心的性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 证明一 三角形 ...

三角形五心的性质【超全总结】

三角形五心的性质【超全总结】_数学_小学教育_教育专区。重心的性质:(三条中线的交点) 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰1。 2、重心和...

1数学符号的正确读法及三角形的五心

1数学符号的正确读法及三角形的五心_学科竞赛_小学教育_教育专区。一 、常见数学符号的正确读法希腊字母 Α ? Β ? Γ ? Δ ? Ε ? ΖΗΘΙΚ∧Μ ? ?...

数学中三角形的五心

数学中三角形的五心_初三数学_数学_初中教育_教育专区。数学中三角形的五心 1. 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 1.1.重心定理: 三...
更多相关标签:
三角形五心 | 三角形的五心 | 三角形的五心及其性质 | 三角形五心定律 | 三角形五心的向量表示 | 三角形五心及其性质 | 三角形五心与向量 | 三角形五心的向量通式 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com