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高中数学数列公式及结论总结


高中数学数列公式及结论总结
一、高中数列基本公式:

1、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= 2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中 a1为首项、ak

为已知的第 k 项) 当 d≠0时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0时,an 是一个常数。

3 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 : Sn=

Sn=

Sn= 当 d≠0时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为0;当 d=0时(a1≠0) n=na1是关于 n 的 ,S 正比例式。 4、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (是关于 n 的正比例式);

(其中 a1为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 5、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1时,Sn=n a1

当 q≠1时,Sn=

Sn=

二、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、 等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、 2m-Sm、 3m-S2m、 4m - S3m、 S S S …… 仍为等差数列。 2、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 3、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 4、 等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、 2m-Sm、 3m-S2m、 4m - S3m、 S S S …… 仍为等比数列。 5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an

bn}、



仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 11、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。 1) 是等差数列。

12、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且 c 13. 在等差数列 中:

(1)若项数为

,则

(2)若数为 14. 在等比数列

则, 中:



(1)

若项数为

,则

(2)若数为

则,

裂项法
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中 的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项) (1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)] (2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]} (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) (5) n·n!=(n+1)!-n! (6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n

基本裂项式

+k)]

分母三个数相乘的裂项公式

示例
【例1】 【分数裂项基本型】求数列 an=1/n(n+1) 的前 n 项和. 解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂项) 则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂项求和) = 1-1/(n+1) = n/(n+1) 【例2】 【整数裂项基本型】求数列 an=n(n+1) 的前 n 项和. 解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项) 则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 (裂 项求和) = [n(n+1)(n+2)]/3 【例3】 1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个 分式展开成两个分数。 原 式 =1/3 *[ ( 1-1/4 ) + ( 1/4-1/7 ) + ( 1/7-1/10 ) +……+ (1/91-1/94)]=1/3*(1-1/94)=31/94

小结
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后, 其中中间的大部分项都互 相抵消了。只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1、余下的项前后的位置前后是对称的。 2、余下的项前后的正负性是相反的。 易错点:注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如: 1/(3×5)=1/3-1/5(等式右边应当除以2)

附:数列求和的常用方法:
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项 结构) 1、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 2、错位相减法求和:如 an=n·2^n 3、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 4、倒序相加法求和:如 an= n 5、求数列的最大、最小项的方法: ① an+1-an=…… 如 an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如 an= ③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= an^2+bn+c(a≠0) 6、在等差数列 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1>0,d<0时,满足{an}的项数 m 使得 Sm 取最大值. (2)当 a1<0,d>0时,满足{an}的项数 m 使得 Sm 取最小值. 7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。


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