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云南省2016届高三第二次统一检测理数试题


数学(理)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知角 ? 的终边经过点 P ? ?3, 4? ,则 tan 2? ? ( A. )

24 7

B.

8 3

C. ?

8 3


D. ?

24 7

2. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? A.第一象限 C.第三象限

3 ? 4i 在复平面内对应的点位于( 2?i
B.第二象限 D.第四象限

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知 a, b 是平面向量,如果 a ? 6, b ? 3, a ? 2b ? 2a ? b ,那么 a 与 b 的数量积等于(

?

? ?

?



A. ?2

B. ?1

C. 2

D. 3 2 )

4. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S11 ? 22, a4 ? ?12 , 如果当 n ? m 时, Sn 最小, 那么 m 的值为 ( A. 10 B. 9 C. 5 ) D. 4 5. 若运行如图所示程序框图,则输出结果 S 的值为(

A.

3 7

B.

4 9

C.

9 20

D.

5 11

6. 下图是一个空间几何体的三视图(注:正视图也称主视图,侧视图也称左视图)正视图、侧视图、俯视 图都是等腰直角三角形,如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为 3 2 ,那么这个几何体的表面积为( )

A.

9 3 2


B.

27 2

C.

9 3 ? 27 2

D. 9 3 ?

27 2

7. 现在有 10 张奖券, 8 张 2 元的, 2 张 5 元的,某人从中随机无放回地抽取 3 张奖券,则此人得奖金额的数 学期望为( A. 6

B.

39 5

C.

41 5

D. 9

8. 设 F1 , F2 是椭圆 E 的两个焦点, P 为椭圆 E 上的点,以 PF1 为直径的圆经过 F2 ,若 tan ?PF1F2 ? 则椭圆 E 的离心率为( A. ) B.
5

2 5 , 15

5 6

5 5

C.

5 4

D. )

5 3

2 3 4 5 9. 设 ? 2 x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ,则 a1 ? a3 ? a5 ? (

A. 121

B. 122

C. 243

D. 244

10. 已知体积为 4 6 的长方体的八个顶点都在球 O 的球面上,在这个长方体经过同一个顶点的三个面中, 如果有两个面的面积分别为 2 3 、 4 3 ,那么球 O 的体积等于( A. ) D.

32? 3

B.

16 7? 3

C.

33? 2

11 7? 2

11. 已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的中心是原点 O , 离心率等于 半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为( A. )
2 2 2

5 , 以双曲线 C 的一个焦点为圆心,1 为 2

y x ? ?1 16 4
y2 ? x2 ? 1 4

B. y ?
2

x ?1 4

C.

D.

x2 ? y2 ? 1 4

12. 已知 f ? x ? ? ln 的是( ) A. b ? a ? c C. a ? b ? c

?

1 ? x2 ? x ?

?

2 ? ln 3 ? ? ln 5 ? ? 1, a ? f ? ?,b ? f ? ? , c ? ? f ? 2 ? ? ? , 下列结论正确 2 ?1 ? 3 ? ? 5 ?
x

B. c ? a ? b D. c ? b ? a

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 某工厂生产的 A 、 B 、C 三种不同型号的产品数量之比依次为 2 : 3 : 5 ,为研究这三种产品的质量,现用 分层抽样的方法从该工厂生产的 A 、 B 、C 三种产品中抽出样本容量为 n 的样本,若样本中 A 型产品有 16 件,则 n 的值为 . 14. 设数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? bn ,若数列 ?an ? 是单调递增数列,则实数 b 的取值范围为 . 15. 若函数 f ? x? ? 4 sin 5 ax? 4 3 cos 5 ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 为 .

? , 则实数 a 的值 3

?x ? 4 ? 2 y ? 2 2 16. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 0 ,那么 x ? y ?10x ? 6 y 的最小值为 ?y ? 0 ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ?? 17. (本小题满分 12 分)?ABC 的内角 A 、B 、C 对的边分别为 a 、b 、c , m ? ? sin B,5sin A ? 5sin C ? ? 与 n ? ? 5sin B ? 6sin C,sin C ? sin A? 垂直.
(1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值. 18. (本小题满分 12 分) ―个盒子里装有若干个均匀的红球和白球,每个球被取到的概率相等.若从盒子里随 机取一个球,取到的球是红球的概率为 为

1 ,若一次从盒子里随机取两个球,取到的球至少有一个是白球的概率 3

10 . 11

(1)该盒子里的红球、白球分别为多少个? (2)若一次从盒子中随机取出 3 个球,求取到的白球个数不少于红球个数的概率. 19. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D 为 AA1 的中点, E 为 BC 的中点. (1)求证:直线 AE ? 平面 BDC1 ; (2) 若三棱柱 ABC ? A1B1C1 是正三棱柱, AB ? 2, AA1 ? 4 ,求平面 BDC1 与平面 ABC 所成二面角的正 弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F , 准线为 l ,经过 l 上任意一点 P 作抛物线 x2 ? 4 y 的两条切线,切点分别为 A 、 B . (1)求证:以 AB 为直径的圆经过点 P ; (2)比较 AF ?FB 与 PF 的大小 . 21. (本小题满分 12 分)已知 e 是自然对数的底数, F ? x ? ? 2e
?1

??? ? ??? ?

??? ?2

x?1

? x ? ln x, f ? x ? ? a ? x ?1? ? 3 .

(1)设 T ? x ? ? F ? x ? ? f ? x ? ,当 a ? 1 ? 2e 时, 求证: T ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增; (2)若 ?x ? 1, F ? x ? ? f ? x ? ,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是 ? O 的内接三角形, BT 是 ? O 的切线, P 是线段 AB 上一点,经过 P 作 BC 的平行直 线与 BT 交于 E 点,与 AC 交于 F 点. (1)求证: PE ?PF ? PA?PB ; (2)若 AB ? 4 2,cos ?EBA ?

1 ,求 ? O 的面积. 3

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直用坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 3 (t 为参数〕.在以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? 4t ? 9

的极坐标系中,圆心 A 的极坐标为 ? 2,

? ?

2? ? ? ,圆 A 的半径为 3 . 3 ?

(1)直接写出直线 l 的直角坐标方程,圆 A 的极坐标方程;

(2)设 B 是线 l 上的点, C 是圆 A 上的点,求 BC 的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知常数 a 是实数, f ? x ? ? x ? 2a , f ? x ? ? 4 ? 2a 的解集为 ?x | ?4 ? x ? 0? . (1)求实数 a 的值; (2)若 f ? x ? ? f ? ?2x ? ? x ? m 对任意实数 x 都成立,求实数 m 的取值范围.

云南省 2016 届高三第二次统一检测数学(理)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5.ADACD 6-10.CBDBA 11-12.CB

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 80 三、解答题
17.解: (1)? m ? ? sin B,5sin A ? 5sin C ? 与 n ? ? 5sin B ? 6sin C,sin C ? sin A? 垂 直,? m? n ? 5sin 2 B ? 6sin B sin C ? 5sin 2 C ? 5sin 2 A ? 0 , 即 sin B ? cos C ? cos A ?
2 2 2

14. ? ?3, ?? ?

15. ?

3 5

16. ?

121 5

??

?

?? ?

6sin B sin C . 5

根据正弦定理得 b ? c ? a ?
2 2 2

6bc . 5

由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 3 ? . 2bc 5

1 ? m ?m ? n ? 3 ? 18. 解: (1)设该盒子里有红球 m 个, 有白球 n 个.根据题意得 ? .解方程组得 m ? 4, n ? 8 . 2 C 10 m ?1 ? ? 2 ? ? Cm? n 11 ? 红球 4 个,白球 8 个.
3 1 C8 ? C82 ? C4 42 (2)设“从盒子中任取 3 个球,取到的白球个数不少于红球个数”为事件 A ,则 P ? A? ? . ? 3 C12 55

因此,从盒子中任取 3 个球,取到的白球个数不少于红球个数的概率为

42 . 55

19. 解: (1)证明:设 BC1 的中点为 F ,连接 EF , DF .则 EF 是 ?BCC1 中位线,根据已知得 EF ? DA , 且 EF ? DA .? 四边形 ADFE 是平行四边形? AE ? DF ,? DF ? 平面 BDC1 , AE ? 平面 BDC1 ,? 直线

AE ? 平面 BDC1 .
(2)建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz ,

??? ? ???? ? ? BD ? ? 0, 2, 2 ? , BC1 ?

由已知得 B ? 0,0,0 ? , D ?0, 2, 2 ?, C1

?

? ??? ? ? ???? ? ? 3,1, 4 .设平面 BDC1 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 n ? BD, n ? BC1 .

?

?

3,1, 4 .

?

? ? ?2 y ? 2 z ? 0 ?x ? 3 ? ?? ,取 z ? ?1 ,解得 ? .? n ? 3,1, ?1 是平面 BDC1 的一个法向量. 由已知易得 3 x ? y ? 4 z ? 0 y ? 1 ? ? ? ? ?? m ? ? 0,0,1? 是平面 ABC 的一个法向量. 设平面 BDC1 和平面 ABC 所成二面角的大小为 ? ,则

?

?

?? ? m?n 5 2 5 cos ? ? ?? ? ? .? 0 ? ? ? ? ,? sin ? ? . 5 5 m n

? 平面 BDC1 和平面 ABC 所成二面角的正弦值为

2 5 . 5
1 2 1 x1 , y2 ? x2 2 . 4 4

20. 解: (1) 证明: 根据已知得 l 的方程为 y ? ?1 .设 P ? a, ?1? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,且 y1 ?

由y?

1 2 x y ?1 1 y ?1 1 1 x 得 y ' ? ,从而 kPA ? x1 ,? kPA ? 1 ,? x1 ? 1 , y1 ? x12 ,化简得 x12 ? 2ax1 ? 4 ? 0 . 4 2 2 x1 ? a 2 x1 ? a 4
2

2 同理可得 x2 ? 2ax2 ? 4 ? 0.? x1, x2 为方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的根.

??? ? ??? ? ? x1 ? x2 ? 2a, x1 x2 ? ?4.? PA?PB ? ? x1 ? a, y1 ? 1?? ? x2 ? a, y2 ? 1? ? ? x1 ? a?? x2 ? a? ? ? y1 ?1?? y2 ?1?
16 ??? ? ??? ? ? PA ? PB ,即 PA ? PB ,? 以 AB 为直径的圆经过点 P .
(2)根据已知得

? x1 x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? a

2

?x x ? ? 1 2

2

2 x12 x2 1 ? ? ? 1 ? ?4 ? 2a 2 ? a 2 ? 1 ? ? 4a 2 ? 8? ? ? ?1 ? 0 , 4 4 4

F ? 0,1? .
2 2 ??? ? ??? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? AF ?FB ? ? ? x1 ,1 ? y1 ?? ? ?1 ? x2 , y2 ?1? ? ? x1x2 ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? ? x1x2 ? 16 4 ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 2 2 又由(1)知: x1 ? x2 ? 2a, x1 x2 ? ?4,? AF ?FB ? 4 ? a ,? PF ? a ? 4,? AF ?FB ? PF .

21. 解: (1)?a ? 1 ? 2e , T ? x ? ? F ? x ? ? f ? x ? ,?T ? x ? ? 2e
?1

x?1

? ln x ? 2e?1x ? 2e?1 ? 2 .

1 ? x ? 0, T ' ? x ? ? 2e x ?1 ? 2e ?1 ? .? 2e x ?1 ? 2e ?1 关于 x 单调递增, x x ? 0, T ' ? x ? ? 2e x ?1 ? 2e ?1 ? 1 1 ? ? 0,?T ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增. x x
x ?1

(2)设 H ? x ? ? F ? x ? ? f ? x ? ,则 H ' ? x ? ? 2e

?1?

1 1 ? a .设 h ? x ? ? 2e x ?1 ? 1 ? ? a , x x

则 h ' ? x ? ? 2e

x ?1

?

1 1 .? x ? 1,? 2e x ?1 ? 2, ? 2 ? ?1, h ' ? x ? ? 1.? h ? x ? 在 ?1, ?? ? 内单调递增, 2 x x

? 当 x ? 1 时, h ? x ? ? h ?1? . 即 H ' ? x ? ? 4 ? a ,? 当 a ? 4 时, H ' ? x ? ? 4 ? a ? 0 .
? 当 a ? 4 时, H ? x ? 在 ?1, ?? ? 内单调递增. ? 当 a ? 4 , x ? 1 时, H ? x ? ? H ?1? , 即
F ? x ? ? f ? x ? .? x ? 1,? H ' ? x ? ? 2e x ?1 ? 1 ?
又? 2e
x ?1

1 ? a ? 2e x ?1 ? 2 ? a .当 a ? 4 时, 由 2e x ?1 ? 2 ? a ? 0 得 x

?a ? ? 2 ? a 关于 x 单调递增, ? 当 a ? 4,1 ? x ? 1 ? ln ? ? 1? 时, H ? x ? 单调递减. 设 ?2 ?

?a ? x0 ? 1 ? ln ? ? 1? ,则 H ? x0 ? ? H ?1? ? 0 ,即 F ? x0 ? ? f ? x0 ? . ?2 ? ?a ? ? 当 a ? 4 时, ?x0 ? 1 ? ln ? ? 1? ? 1, F ? x0 ? ? f ? x0 ? 不成立. ?2 ?
综上, 若 ?x ? 1, F ? x ? ? f ? x ? , a 的取值范围 ? ??,4? . 22. 解: (1)? ?ABC 是 ? O 的内接三角形, BT 是 ? O 的切线, B 为切点.??CBT 是弦切角.

??A ? ?CBT ,由已知得 EF ? BC .??PEB ? ?CBT .??PEB ? ?A .又

? ?EPB ? ?APF ,??PEB ? ?PAF .?

PE PB ? .? PE ?PF ? PA?PB . PA PF

(2)延长 BO 与 ? O 交于 D ,连接 AD ,则 BD 是 ? O 的直径, 且 ?BAD ? 90? ,? BT 是 ? O 的切线, B 为 为切点,? DB ? EB.??EBA ? ?ABD ? 90 .??ABD ? 90 ? ?EBA.? cos ?ABD ?
? ?

cos ? 90? ? ?EBA ? ? sin ?EBA ,在 Rt ?BAD 中, cos ?ABD ?
根据已知和 cos ?EBA ?

AB AB .? BD ? . BD cos ?ABD

1 2 2 得 sin ?EBA ? .又 3 3

? AB ? 4 2,? BD ?

AB AB 3 ? ? 4 2? ? 6 .? ? O 的直径为 6.? ? O 的面积为 9? . cos ?ABD sin ?EBA 2 2

23. 解: (1)直线 l 的坐标方程为 4 x ? 3 y ? 15 ? 0 , 圆 A 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 2 3? sin ? ? 5 ? 0 . (2)圆心 A 的直角坐标为 A ?1, 3 , A 直线 l 的距离 d ? 的最小值等于 d ? 3 ?

?

?

19 ? 3 3 ,根据圆的几何意义得 BC 5

4?3 3 4?3 3 .? BC 的最小值为 . 5 5

24. 解: (1)由 f ? x ? ? 4 ? 2a 得 x ? 2a ? 4 ? 2a .? 2a ? 4 ? x ? 2a ? 4 ? 2a ,即 ?4 ? x ? 4 ? 4a . 由已知得 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1,? a ? 1 . (2)由 f ? x ? ? f ? ?2x ? ? x ? m 得 x ? 2 ? 2 x ?1 ? x ? m ,设

??4, x ? ?2 ? g ? x ? ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? x ? ?2 x, ?2 ? x ? 1,? g ? x ? 的最大值为 2 . ??2 x ? 4, x ? 1 ?

? f ? x ? ? f ? ?2x ? ? x ? m 对任意实数 x 都成立,? m ? 2 .
? 实数 m 的取值范围 ?2, ??? .


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