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福建省厦门市2013届高三3月质量检查数学(理科)试卷(word)


厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)试卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 3 , B ? x x ? 2 ? 0 ,则 A ? CU B 等于( A. (??,3] B. (??,3) C. [2,3) D. (?3, 2]

?

?

?

?



2. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为( 4
B. y ? ?4 x



A. y ? ?2 x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?

1 x 4

3. 某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 80 km/h 的汽车视为“超速”,并将受到处 罚. 如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直 方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( A.20 辆
a b

) D.80 辆

B.40 辆

C.60 辆 )

4. “ e ? e ”是 log2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ?R) ( A.是偶函数且为减函数 C.是奇函数且为减函数

B. 是偶函数且为增函数 D. 是奇函数且为增函数
开始

? y ? x, ? 2 6. 若不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 M ,不等式 y ? x 表示的平面区域为 N , ?x ? 1 ?
现随机向区域 M 内投掷一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为( A. )

i=0
输入正整数n n为奇数?


1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3




7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束, 2 假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( 3 8 A. 27 64 B. 81 4 C. 9 8 D. 9

n = 3n+1 i=i+1


n = n/2

n = 1?


1

输出i 结束

8. 在右侧程序框图中,输入 n ? 5 ,按程序运行后输出的结果是( A.3 B.4 C.5 D.6



9.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x 在 (a,6 ? a2 ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. (? 5,1) B. [? 5,1) C. ? ?2,1?



D. (?2,1)

10. ?ABC 中, BC ? 2, A ? 45? , B 为锐角,点 O 是 ?ABC 外接圆的圆心,则 OA ? BC 的取值范围是( A. (?2, 2 2] B. (?2 2, 2] C. [?2 2,2 2] D. (?2, 2)

??? ??? ? ?



第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 11.若 (a ? i ) 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a =
2

.

12.已知 sin(

π 3 ? x) ? , 则 cos 2x = 2 5

.

13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图 是半圆。现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 .. A 点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________. 14.在含有 3 件次品的 10 件产品中,取出 n(n ? 10, n ? N ) 件产品,
*
A 2 正视图 侧视图 B

记 ?n 表示取出的次品数,算得如下一组期望值 E? n :
0 1 1 0 C3 C7 C3C7 3 当 n=1 时, E?1 ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? ; C10 C10 10

俯视图

当 n=2 时, E?2 ? 0 ? 当 n=3 时, E?3 ? 0 ? ……

0 2 C3 C7 C1C1 C 2C 0 6 ? 1? 3 2 7 ? 2 ? 3 2 7 ? ; 2 C10 C10 C10 10 0 3 C3 C7 C1C 2 C 2 C1 C 3C 0 9 ? 1? 3 3 7 ? 2 ? 3 3 7 ? 3 ? 3 3 7 ? ; 3 C10 C10 C10 C10 10

观察以上结果,可以推测:若在含有 M 件次品的 N 件产品中,取出 n(n ? N , n ? N ) 件产品,记 ξn 表示取
*

出的次品数,则 Eξ n = 15.某同学在研究函数 f ( x) ?



x2 ? 1 ? x2 ? 6 x ? 10 的性质时,受到两点间距离公式的启发,将 f (x) 变形为

f ( x) ? ( x ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 1) 2 ,则 f (x) 表示 | PA | ? | PB | (如图) ,下列关于函数 f (x) 的
描述正确的是 . (填上所有正确结论的序号) ② f (x) 的图象是轴对称图形; ④方程 f [ f ( x)] ? 1 ? 10 有两个解.
O P x B(3,-1) y A(0,1)

① f (x) 的图象是中心对称图形; ③函数 f (x) 的值域为 [ 13, ??) ;

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
y P

3 3 sin ? x ? cos ? x ( ? ? 0 )的周期为 4。 2 2
O x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式 ; (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 g ( x) 的图象, 3
P

Q

P 、 Q 分别为函数 g ( x) 图象的最高点和最低点(如图) ,求 ?OQP 的大小。
17. (本小题满分 13 分) 如图,PA,QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O (Ⅰ)求证:OP⊥平面 QBD; (Ⅱ)求二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值;

Q A D O B C

PE (Ⅲ)过点 C 与平面 PBQ 平行的平面交 PD 于点 E,求 的值. ED
18. (本小题满分 13 分)

某城市 2002 年有人口 200 万,该年医疗费用投入 10 亿元。此后该城市每年新增人口 10 万,医疗费用投入每年 新增 x 亿元。已知 2012 年该城市医疗费用人均投入 1000 元。 (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)预计该城市从 2013 年起,每年人口增长率为 10%。为加大医疗改革力度,要求将来 10 年医疗费用总投 .. 入达到 690 亿元,若医疗费用人均投入每年新增 y 元,求 y 的值。 . (参考数据: 1.1 ? 2.85 )
11

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数 g ( x) ? f ( x) ? (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

1 2 x ? bx . 2

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最大值. 2

x2 ? y2 ? 1 . 2
2 2 2

(Ⅰ)我们知道圆具有性质:若 E 为圆 O: x ? y ? r (r ? 0) 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的斜率 k AB 与直线 OE 的斜率 kOE 的乘积 k AB ? kOE 为定值。类比圆的这个性质,写出椭圆 C1 的类似性质,并加以证明; (Ⅱ)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于
3

C,D 两点,求三角形 OCD 面积的最小值; (Ⅲ)如图(2) ,过椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN,切点分别为 M,N.当点 P 8 2

在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
y
D B

y P M N
O

O

C

x

x

图(1)

图(2)

21.本题设有(1) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题 (2) 计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

已知矩阵 A ?

?1 1? ? ? , B ? ?1 2 ? . ? ? ? 2 3? ?2 3 ? ? ?
?1

(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 A ; (Ⅱ)求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 A B 对应的线性变换作用下所得曲线的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程是 ? (Ⅰ)将 C 1 的方程化为普通方程; (Ⅱ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线 C 2 的极坐标方程是 θ ? 求曲线 C 1 与 C 2 交点的极坐标. ... (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知正数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 6 .
2 2 2
?1

? x ? 2 ? 2cos θ , ( ? 为参数). y ? 2sin θ ?

π ( ρ ? R) , 3

(Ⅰ)求 x ? 2 y ? z 的最大值; (Ⅱ)若不等式 a ? 1 ? 2a ? x ? 2 y ? z 对满足条件的 x , y , z 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)评分标准 一.选择题;

BCABD

BACCA
0

10.分析 1:BC=2, ?A ? 45 ,所以 2 R ?

a ? R ? 2 ,如图建系, sin A
y A1

??? ??? ? ? B(?1,0), C (1,0) O(0,1) ,求得圆 O: ( x ?1)2 ? y 2 ? 2 ,设 A( x, y) ,则 OA ? BC ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 分析 2: OA ? BC ?| OA | ? | BC | cos ? OA, BC ?? 4cos ? OA, BC ? …
??? ??? ? ? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 ???? ??? ???? ??? 2 分析 3: OA ? BC ? (OD ? DA) ? BC ? DA ? BC ? ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ? (c ? b ) 2 2 b c 2 ? ? 又 , sin B sin C sin 450
所以

O

A

B

D

C

x

1 2 1 1 (c ? b 2 ) ? [(2 2 sin C ) 2 ? (2 2 sin B) 2 ] = (c 2 ? b 2 ) ? 4(sin 2 C ? sin 2 B) ? ... 2 2 2
11. ?1 12. ?

二.填空题:

7 25

13.

2 ? 6 (或 2 2 ? 3 )
3 2

14.

mn N

15.②③
y A Q O P M B x

15.分析:如图设 P( x1 ,0), Q( x2 ,0) ,当 P,Q 关于 ( ,0) 对称时,即

x1 ? x2 3 ? 2 2

3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f(x)关于 x ? 对称. 2
④设 f ( x) ? t ,则 f (t ) ? 1 ? 10 ,观察出 t1 ? 0 ,则 t2 ? 3 ,由③知无解. 三.解答题:

16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质,考查运用有关勾股定理、余 弦定理求解三角形的能力,考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力.满分 13 分. 解:(1) f ( x) ?

3 3 sin ? x ? cos ? x 2 2
----------------------------------------------------------------1 分

1 3 ? 3( sin ? x ? cos ? x) 2 2
? 3(sin ? x cos

?

? cos ? x sin ) ? 3 sin(? x ? ) -------------------------------------3 分 3 3 3 2? ? = 4 2
-------------------------------------5 分 -------------------------------------6 分

?

?

因为?=4,? ? o, 所以? =
所以f ( x) ? 3sin( x ? ) 2 3
(2)将 f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移

?

?

? 2 个单位得到函数 g ( x ) ? 3 sin x ---------------------------7 分 2 3

因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点, 所以 P(1, 3), Q(3, ? 3) --------------------------------------------------------------------------9 分

5

所以 OP ? 2, PQ ? 4, ----------------------------------------------------------------------------10 分

OQ ? 12,? cos? ?
所以 ? ?

OQ2 ? PQ2 ? OP 2 3 --------------------------------------------------12 分 ? 2OQ ? QP 2

?
6

---------------------------------------------------------------------------------------13 分

法 2: 可以得?POx ? 60o , ?P ? 60o , ?QOx ? 30o 所以? =30o ??? ???? ? QP ? QO (?2, 2 3) ? (?3, 3) 3 ? 法 3:利用数量积公式 cos ? ? ??? ???? ? , 所以? =30o ? 2 4 ? 12 ? 9 ? 3 QP ? QO 17. 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法, 考查空间想象、计算、推理论证等能力.满分 13 分. 解: (Ⅰ)连接 OQ,由题知 PA∥QC,∴P、A、Q、C 共面 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PACQ, ∴BD⊥OP. ------------------------------------------------------1 分 由题中数据得 PA=2,AO=OC= 2 ,OP= 6 ,QC=1,OQ= 3 ∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC, 又∵∠POA+∠OPA=90° ∴∠POA+∠COQ=90° ∴OP⊥OQ (或计算 PQ=3,由勾股定理得出∠POQ=90° ,OP⊥OQ)------------------3 分 ∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O,∴OP⊥平面 QBD--------------------------4 分 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 X,Y,Z 轴建立直角坐标系, ∴各点坐标分别为 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5 分 ∴ BP =(-2,0,2), BQ =(0,2,1),设平面 PBQ 的法向量 n ? ( x, y, z)

? ??? ? ? n ? BP ? ?2 x ? 2 z ? 0 ? x?z ? ∴ ? ? ??? ,得 ? , ? ?2 y ? ? z ? n ? BQ ? 2 y ? z ? 0 ?
不妨设 y ? ?1 , n ? (2,?1,2) --------------------------------------------------------------------------------------------------6 分 ∴ 由(Ⅰ)知平面 BDQ 的法向量 OP ? (?1,?1,2) ,---------------------------------------------------------------------------7 分

??? ? ? OP ? n ?2 ? 1 ? 4 6 ? , cos ? OP , n >= ??? ? ? ? 6 6 ?3 OP ? n
∴二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值为

6 .-------------------------------------------------------------------------------------9 分 6
1? ?

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? 1 (Ⅲ)设 PE ? ? ED ,∴ PD ? PE ? ED ? (1 ? ? ) ED ? ? 0,2, ?2? , ED ?

? 0,2, ?2?

??? ??? ???? ? ? ? ?2 2 ? CE ? CD ? DE ? ? ?2, , ? ,-------------------------------------------------------------------------------------------11 分 1? ? 1? ? ? ? ??? ? ∵CE∥平面 PBQ,∴ CE 与平面 PBQ 的法向量 n ? (2,?1,2) 垂直。

6

? ??? ? 2 4 2 ? 4? n ? CE ? ?4 ? ? ? ? 0 ,----------------------------------------------------------------------------------------12 分 1? ? 1? ? 1? ?
∴? ?

1 PE 1 .∴ ? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------13 分 2 ED 2

(方法二)在平面 PAD 中,分别过 D 点、P 点作直线 PA、AD 的平行线相交于点 M, 连结 MC 交直线 DQ 与点 N,在平面 PQD 中过点 N 作直线 NE∥PQ 交 PQ 于点 E,----------------------------11 分 由题可知 CN∥ PB,NE∥ PQ,CN∩NE=N ∴ 平面 CNE∥ 平面 PBQ,∴ CE∥ 平面 PBQ----------------------------------12 分 ∵ CQ=1,MD=PA=2,∴ ∵ NE∥ PQ,

QN 1 ? ND 2

PE 1 ? ------------------------------------------------------------13 分 ED 2

18.本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力,考查等差等比数列的基本知识,考查数学建模及其应用与计 算的能力,考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力.满分 13 分. 解: )依题意,从 2002 年起,该城市的人口数组成一个等差数列, (Ⅰ 到 2012 年, n ? 11 ,该城市的人口数为 200 ? (11 ? 1) ?10 ? 300 万人, 故 2012 年医疗费用投入为 300 ?10 ?1000 ? 3 ?10 元,即为 30 亿元,
4 9

--------------------------------2 分

由于从 2002 年到 2012 年医疗费用投入也组成一个等差数列,--------------------------------------------------4 分 所以 10 ? (11 ? 1) x ? 30 ,解得 x ? 2 ,--------------------------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ )依题意,从 2013 年起(记 2013 年为第一年) , 该城市的人口数组成一个等比数列 {an } , 其中 a1 ? 300 ? (1 ? 10%) ? 300 ?1.1,公比 q ? 1.1 , an ? 300 ?1.1n ----------------------------------------6 分 医疗费用人均投入组成一个等差数列 {bn } , 其中 b1 ? 1000 ? y ,公差为 y , bn ? 1000 ? ny ;---------------------------------------------------------------7 分 于是,从 2013 年起,将来 10 医疗费用总投入为:

S10 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? a10b10 ,----------------------------------------------------------------------------------------8 分

S10 ? 300(1000 ? y) ?1.1 ? 300(1000 ? 2 y) ?1.12 ? ?? 300(1000 ?10 y) ?1.110 , 1.1S10 ? 300(1000 ? y) ?1.12 ? 300(1000 ? 2 y) ?1.13 ? ?? 300(1000 ?10 y) ?1.111 ,
相减得: ?0.1S10 ? 300[1100 ? 1.1y ? 1.12 y ? ?? 1.110 y ? (1000 ? 10 y) ?1.111 ] ,

?0.1S10 ? 300[1100 ?

1.1 ? 1.111 y ? (1000 ? 10 y) ?1.111 ] ? ?300(11 y ? 1750) , 1 ? 1.1

所以 Sn ? 3000(11y ? 1750) (万元) ,----------------------------------------------------------------------------12 分 由题设, 3000(11y ? 1750) ? 6900000 ,解得 y ? 50 。------------------------------------------------------13 分
7

19. 本题主要考查函数的导数的几何意义,导数知识的应用等基础知识,函数的单调性、考查运算求解能力、推 理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分 13 分. 解: )∵ f ( x) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x) ? 1 ? (Ⅰ

a .------------------------------------------------------------------1 分 x
x?1

∵l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴k ? y? (Ⅱ )∵g ( x) ? ln x ?

? 1 ? a ? 2 ,∴a ? 1 .---------------------------------3 分

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 .---------------------------4 分 x ? (b ? 1) x ,∴g ?( x) ? ? x ? (b ? 1) ? x x 2

由题知 g ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有解,∵x ? 0 ,----------------------------------------------------------------5 分

? b ?1 ?0 ? 设 u( x) ? x ? (b ?1) x ? 1 ,则 u(0) ? 1 ? 0 ∴ 只须 ? 2 ------------------------------7 分 ?? ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 0 ?
2

? b ? 1     ?? ? b ? 3 ,故 b 的取值范围为 (3, ??) .-------------------------------------------------8 分 ?b ? 3或b ? ?1
(Ⅲ )∵g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? ,∴ g ?( x) ? 0 ,得: x2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0 令 x x

∴x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , 法 1:∵g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ln x1 ?

1 2 1 x1 ? (b ? 1) x1 ] ? [ln x2 ? x2 2 ? (b ? 1) x2 ] 2 2

? ln

x1 1 2 x 1 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x2 2 x2 2

? ln

x1 1 2 x 1 x 2 ? x22 x 1 x x ? ( x1 ? x22 ) ? ln 1 ? ( 1 ) ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) ----------------------------10 分 x2 2 x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1
x1 1 1 (0 ? t ? 1) ,令 h(t ) ? ln t ? (t ? ),(0 ? t ? 1) -------------------------11 分 x2 2 t

∵0 ? x1 ? x2 ,∴ t ? 设

1 1 1 (t ? 1) 2 ? 0 ,∴h(t ) 在 (0,1) 上单调递减.-----------------------------------------12 分 则 h?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? t 2 t 2t 2
又∵b ?

7 25 ( x ? x2 )2 1 25 2 ?t ? ?2? ,∴(b ? 1) ? ,即 ( x1 ? x2 )2 ? 1 x1 x2 t 4 2 4
1 15 1 15 , h(t ) ? h( ) ? ? 2ln 2 ,故所求最小值为 ? 2ln 2 --13 分 4 8 4 8

∵0 ? t ? 1 ,∴4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ,∴0 ? t ? 法 2:同上得

8

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?
?

x 1? b ( x1 ? x2 ) ? ln 1 2 x2

b ?1 b ?1 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 ? ln x 2 ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln x 2 2 2

?

(b ? 1) ? (b ? 1) 2 ? 4 b ?1 (b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln 2 2
b ?1 (b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln[( b ? 1) ? (b ? 1) 2 ? 4 ] ? 2 ln 2 --------------------------------------------10 分 2

?

令 t ? b ? 1(t ?

5 t 2 ) ,则 h(t ) ? t ? 4 ? 2 ln(t ? t 2 ? 4) ? 2 ln 2 ----------------------------------------11 分 2 2

h?(t ) ?

1 2 t2 2 t2 ≥0----------------------------------------------------------12 分 t ?4 ? ? ? 2 2 t2 ? 4 t2 ? 4 t2 ? 4
5 2 5 2 15 15 ? 2ln 2. 故所求最小值为 ? 2ln 2 ---------------------13 分 8 8

h(t ) 在 ( , ??) 上为增函数.当 t ? 时, h(t ) ?

20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识,考查类比推理论证能力、运算求解能力,考查一般到特殊的思想方法、 函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分 14 分. 解: )若 A,B 为椭圆 C1 : (Ⅰ

x2 ? y 2 ? 1 上相异的两点, E( x0 , y0 ) 为 A,B 中点,当直线 AB 2
y

的斜率 k AB 与直线 OP 的斜率 kOP 的乘积 kOP ? k AB 必为定值;---------------------------------------------------1 分

?x 2 ? 2 ? y1 ? 1 ? ?(1) ? 证 1:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? ?(2) 2 ? 2 ?
2 1

D B

O

C

x

(2)-(1)得:

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0 ,-----------2 分 2

1 ? 仅考虑斜率存在的情况? : x0 ? 2 y0 ? k AB ? 0 ? kOE ? k AB ? ? ----------------------------------------4 分 2
证 2:设 AB: y ? kx ? b 与椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 联立得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0 2

x1 ? x2 ? ?

4kb ,-----------------------------------------------------------------------------------------------------2 分 1 ? 2k 2 1 y 2kb b 1 ? y0 ? ? kOE ? 0 ? ? ? kOE ? k AB ? ? ----------4 分 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k x0 2k

所以 x0 ? ?

(Ⅱ (ⅰ ) )当点 A 无限趋近于点 B 时,割线 AB 的斜率就等于椭圆上的 B 的切线的斜率 k , 即 k ?kOB ? ?

1 x ,k ? ? 2 2 2 y2

所以点 B 处的切线 QB: y ? y2 ? ?

x2 x ( x ? x2 ) ? 2 x ? y2 y ? 1 ----------------6 分 2 y2 2
9

令 x ? 0 , yD ?

1 2 2 ,令 y ? 0, xC ? ,所以 S ?OCD ? -----------------8 分 y2 x2 x2 y2
2

x 2 又点 B 在椭圆的第一象限上,所以 x2 ? 0, y2 ? 0, 2 ? y2 ? 1 2

x x 2 2 ?1 ? 2 ? y2 ? 2 2 y2 ? 2 x2 y2 2 2
? S?OCD x 2 2 2 ? ? ? 2 ,当且仅当 2 ? y2 ? x2 ? 2 y2 ? 1 2 x2 y2 2 2 ) 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2 -------10 分(没写等号成立扣 1 分) 2
x3 x ? y3 y ? 1 2
2

2

2

所以当 B (1,

(ⅱ )设 P(m, n) ,由(ⅰ )知点 M ( x3 , y3 ) 处的切线为: 又 PM 过点 P(m, n) ,所以 同理点 N ( x4 , y4 ) 在直线

x3 x m ? y3 n ? 1 ,又可理解为点 M ( x3 , y3 ) 在直线 m ? yn ? 1 上 2 2

m x m ? yn ? 1上,所以直线 MN 的方程为: x ? ny ? 1 --------------------------12 分 2 2
y

所以原点 O 到直线 MN 的距离 d ?

1 m2 ? n2 4

2 ,----------13 分 ? 2

P M
O

N x

1 所以直线 MN 始终与圆 x ? y ? 相切. 2
2 2

------------------------14 分

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识,考查书写表达能力、运算求解能力。满分 7 分 解: )? det A ? (Ⅰ
1 1 2 3 ? 1 ? 0 ,? 矩阵 A 可逆. ---------------------------------------------------------------------1 分

且A

?1

??

? 1? ? ?? 2 1 ? ? ? ? ? ?3

-------------------------------------------------------------------------------------------3 分

? 3 ? 1? ?1 2 ? ?1 3 ? ?1 ? ---------------------------------------------------------------------------4 分 ?? ? =? (Ⅱ A B = ? ) ? ? 2 1 ? ? 2 3 ? ? 0 1? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
' ' ' 设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P( x, y) 在矩阵 A B 对应的线性变换作用下得到 P ( x , y ) ,
?1

则?

?1 ? ?0 ?

3? ? ? 1? ?

? x ? ? x? ? ? ? = ? ? ----------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 ? ? ? ? ? y ? ? y?? ? ? ? ?

即: ?

? x? ? x ? 3 y ? x ? x? ? 3 y ? ,从而 ? ------------------------------------------------------------------------------6 分 ? y? ? y ? y ? y?
10

代入 x ? y ? 1 ? 0 得 x? ? 2 y ? ? 1 ? 0 (2)选修 4-4:坐标系与参数方程

即 x ? 2 y ? 1 ? 0 为所求的曲线方程。 -------------------------------------7 分

本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识,考查运算求 解能力,数形结合思想。满分 7 分 解: )C 1 的普通方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ---------------------------------------------------------------------------3 分 (Ⅰ (Ⅱ )法一:如图,设圆心为 A,? 原点 O 在圆上, 设 C 1 与 C 2 相交于 O、B,取线段 OB 中点 C,

y
B C O A

? 直线 OB 倾斜角为

? ,OA=2,-----------------------------------------------4 分 3

? OC=1 从而 OB=2,-------------------------------------------------------------5 分

x

? ? O、B 的极坐标分别为 O (0,0), B (2, ). ------------------------------------7 分 3
法二:C 2 的直角坐标方程为: y ? 3x --------------------------------------4 分 代入圆的普通方程后,得 ( x ? 2)2 ? ( 3x)2 ? 4 ,即: x( x ? 1) ? 0 ,得: x1 ? 0, x2 ? 1

? O、B 的直角坐标分别为 O(0,0), B(1, 3).---------------------------------------------------------------------5 分
从而 O、B 的极坐标分别为 O (0,0), B ( 2, (3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,分 类讨论思想。满分 7 分 解: )由柯西不等式, ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 1 ) ? ( x ? 2 y ? z) (Ⅰ
2 2 2 2 2 2 2

?
3

). ---------------------------------------------------------------------7 分

----------------------------------------------1 分

即有 ( x ? 2 y ? z) ? 36 ,
2

又 x 、 y 、 z 是正数,? x ? 2 y ? z ? 6 即 x ? 2 y ? z 的最大值为 6,-------------------------------------2 分 当且仅当

x y z ? ? ,即当 x ? z ? 1, y ? 2 时取得最大值。-------------------------------------------------3 分 1 2 1

(Ⅱ )由题意及(Ⅰ )得, a ? 1 ? 2a ? ( x ? 2 y ? z)max ? 6 ------------------------------------------------------4 分 即: ?

?a ? ?1 ?a ? ?1 ---------------------------------------------------------------------6 分 或? ?a ? 1 ? 2a ? 6 ?? a ? 1 ? 2a ? 6
7 3
综上,实数 a 的取值范围为 a ? ?

解得: a 无解 或 a ? ?

7 ------------------------------------------7 分 3

11


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