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2012年高中数学联赛上海市预赛试卷


2012 年上海市高中数学竞赛(附答案) 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小 题 8 分) B1 A2 F2 F1 A1 1.如图,正六边形 A1 B1C1 D1 E1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一 个正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积 和是 . C1 B2 E2

C2 D2 E1 2. 已知正整数 a1 , a2 , 小可能值是 3 ? ,1 ? i ? j ? 10 ,则 a10 的最 , a10 满足: ai 2 . aj D1 3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ? 17 4 , cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , cot ? cot ? 6 5 17 . ? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ? ,则 tan ?? ? ? ? ? ? ? 5 A D 4.已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2 lg ? x ? 1? 仅有一个实数解,则实数 k 的取值 范围是 . B E F C 5 . 如 图 , ?AEF 是 边 长 为 x 的 正 方 形 ABCD 的 内 接 三 角 形 , 已 知 ?AEF ? 90? , AE ? a, EF ? b, a ? b ,则 x ? . . 6.方程 2m ? 3n ? 3n ?1 ? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n ? ? 7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的, 依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 答) 8 . 数 列 ?an ? 定 义 如 下 : a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? .(用数字作 2 ? n ? 1? n an ?1 ? an , n ? 1, 2, n?2 n?2 . .若 am ? 2 ? 2011 ,则正整数 m 的最小值为 2012 二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? x , BC ? 1 ,对角线 AC 与 BD 的夹角 ?BOC ? 45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) . 求 h( x) 的表达式,并写出 x 的取值范围. A D C O B 10. (本题满分 14 分)给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x) ? (a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小值. 1 ? sin x 11. (本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ? 4 ; 3 (2) x ? y ? z ? 2 . 12. (本题满分 16 分)给定整数 n(? 3) ,记 f (n) 为集合 1, 2, 件的子集 A 的元素个数的最小值: (a) 1 ? A, 2 ? 1 ? A ; n ? , 2n ? 1? 的满足如下两个条 (b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 . 2012 年上海市高中数学竞赛答案 1、 9 3 4 2、92 4、 ? ??, 0 ? 3、11 ?4? ? 2, 2 ? 5、 a2 a 2 ? ( a ? b)

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