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第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题(2)


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一.复习目标: 1.掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法(代入法) 、参数法(交规法) ; 2.学会用适当的参数去表示动点的轨迹,掌握常见的消参法. 二.知识要点: 1.相关点法(代入法) :对于两个动点 P ( x 0 , y 0 ), Q ( x , y ) ,点 P 在已知曲线上运动 导致点 Q 运动形成轨迹时,只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关 系并化为 ?
? x0 ? f ( x , y ) ? y0 ? g ( x, y )

然后将其代入已知曲线的方程即得到点 Q 的轨迹方程.

2.参数法(交规法) :当动点 P 的坐标 x , y 之间的直接关系不易建立时,可适当地 选取中间变量 t ,并用 t 表示动点 P 的坐标 x , y ,从而动点轨迹的参数方程
? x ? f (t ) ? ? y ? g (t )

消去参数 t ,便可得到动点 P 的的轨迹的普通方程,但要注意方程的

等价性,即有 t 的范围确定出 x , y 的范围. 三.课前预习: 1.已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点为 F

, Q 、 P 分别为椭圆上和椭圆外一点,且 (
2

25

16
C
2

点 Q 分 FP 的比为 1 : 2 ,则点 P 的轨迹方程为
( x ? 6) 75
2


? 4y
2

( A)

?

y

2

? 1 (B)

( x ? 6) 75

2

?

y

2

? 1 (C )

( x ? 6) 225

?

y

2

? 1 (D )

( 2 x ? 3) 225

?1

48

48

144

144

2.设动点 P 在直线 x ? 1 ? 0 上, O 为坐标原点,以 OP 为直角边,点 O 为直角顶 点作等腰直角三角形 OPQ ,则动点 Q 的轨迹是
( A) ( B ) 两条平行直线 ( C ) 抛物线



B



( D ) 双曲线

3.已知点 P ( x , y ) 在以原点为圆心的单位圆上运动,则点 Q ( x ? y , xy ) 的轨迹是 (B )
( A) 圆 (B)

抛物线
2

( C ) 椭圆

( D ) 双曲线

4.双 曲 线

x

?

y

2

?1

关 于 直 线 x? y?2?0 对 称 的 曲 线 方 程 是

4

3

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( y ? 2) 4

2

?

( x ? 2) 3

2

?1

5.倾斜角为

?
4

的直线交椭圆
4 5 5

x

2

? y

2

? 1 于 A, B

两点,则线段 AB 中点的轨迹方

4

程是 x ? 4 y ? 0 (| x |? 四.例题分析:

)

例 1.动圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,过原点 O 作圆的任一弦,求弦的中点的轨迹方程. 解: (一)直接法:设 O Q 为过 O 的任一条弦 P ( x , y ) 是其中点,则 C P ? O Q ,则
??? ???? ? CP ?OQ ? 0

∴ ( x ? 1, y )( x , y ) ? 0 ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
2 1 2

1

1 4

(0 ? x ? 1)

(二)定义法:∵ ? O P C ? 9 0 0 ,动点 P 在以 M ( , 0 ) 为圆心,O C 为直径的圆上, ∴所求点的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
2 1 1 4 (0 ? x ? 1)

(三)参数法:设动弦 P Q 的方程为 y ? kx ,由 ?
(1 ? k ) x ? 2 x ? 0 ,设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 )
2 2

? y ? kx ? ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

得:

, P Q 的中点为 ( x , y ) ,则:
1 1 4 (0 ? x ? 1)

x ?

x1 ? x 2 2

?

1 1? k
2

, y ? kx ?

k 1? k
2

消去 k 得 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
2

例 2.求过点 A (1, 2) ,离心率为 ,且以 x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方
2

1

程. 解:设椭圆下方的焦点 F ( x 0 , y 0 ) ,椭圆的下方的顶点为 由定义
| AF | 2 ? 3 2
y
2

1 2

,∴ | A F |? 1 ,即点 F 的轨迹方程是 ( x 0 ? 1) 2 ? ( y 0 ? 2 ) 2 ? 1 , 轨迹方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 .
2
? 1 ,过点

又 x0 ? x , y0 ?

y ,∴点的 P

3

例 3.设椭圆方程为 x 2 ?

M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋
2 2 1 1

4

是坐标原点,点 P 满足 O P ? 转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程;

??? ?

? ? 1 ??? ??? ( O A ? O B ) ,点 2

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(2) | N P | 的最小值与最大值. (1)解法一:直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 记 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ), 由题设可得点 A、B 的坐标 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 是方程组
? y ? kx ? 1 ? 2 ? 2 y x ? ?1 ? 4 ?

??? ?

① ②

的解.

将①代入②并化简得, ( 4 ? k 2 ) x 2 ? 2 kx ? 3 ? 0 ,所以
2k ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? k 2 , ? 于是 ? 8 ?y ? y ? . 2 2 ? 1 4?k ?
OP ? 1 2 ( OA ? OB ) ? ( x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2 )? ( ?k 4?k
2

,

,

4 4?k
2

).

设点 P 的坐标为 ( x , y ), 则
?k ? ?x ? 4 ? k 2 , ? 消去参数 ? 4 ?y ? . 2 ? 4?k ?

k 得4x2 ? y2 ? y ? 0



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程③,所以点 P 的轨迹 方程为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 . 解法二:设点 P 的坐标为 ( x , y ) ,因 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 在椭圆上,所以
x1 ?
2

y1 4

2

? 1,


1 4 1 4
2 2

x2 ?
2

y2 4

2

? 1.



④—⑤得 x 12 ? x 22 ?
( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ?

( y 1 ? y 2 ) ? 0 ,所以 ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? 0 .
1 4 ( y1 ? y 2 ) ? y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? 0.

当 x 1 ? x 2 时,有 x 1 ? x 2 ?



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? x1 ? x 2 , ?x ? 2 ? y ? y2 ? 并且 ? y ? 1 , 2 ? y1? y 2 ? y ?1 ? . ? x1 ? x 2 ? x



将⑦代入⑥并整理得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 .



当 x 1 ? x 2 时,点 A、B 的坐标为(0,2)(0,-2) 、 ,这时点 P 的坐标为(0,0) 也满足⑧,所以点 P 的轨迹方程为
x
2

(y ? ? 1 4

1 2

)

2

1 16

? 1.

五.课后作业: 1.抛物线 y 2 ? 4 x 经过焦点的弦的中点的轨迹方程是
( A) y
2


(D ) y
2



? x ?1
x
2

(B) y
y
2

2

? 2 ( x ? 1)

(C ) y

2

? x?

1 2

? 2x ?1

2.已知椭圆

?

9

4

? 1 的左、右顶点分别为 A1 和 A 2

,垂直于椭圆长轴的动直线

与椭圆的两个交点分别为 P1 和 P2 ,其中 P1 的纵坐标为正数,则直线 A1 P1 与 A 2 P2 的 交点 M 的轨迹方程
( A)
x
2


y
2


y
2

?

y

2

?1

(B)

?

x

2

?1

(C )

x

2

?

y

2

?1

(D )

?

x

2

?1

9

4

9

4

9

4

9

4

3.已知抛物线 y ? ? x 2 ? mx ? 1( m ? R ) 的顶点为 A ,那么当 m 变化时,此抛物线 焦点 F 的轨迹方程是___________________________. 4.自椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上的任意一点 P

向 x 轴引垂线,垂足为 Q ,则线段 P Q 的中

20

4

点 M 的轨迹方程为 5.已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的两个焦点分别是

F1、F2,△MF1F2 的重心 G 恰为椭圆上的


9

5

点,则点 M 的轨迹方程为 6.如图,
? ? ? 7.设 x , y ? R i , j ? ? ?

为直角坐标平面内 x , y 轴正方向上的单位向量,若
? ? ? ?

| 向量 a ? ( x ? 5) i ? y j b ? ( x ? 5) i ? y j ,a | ? | b |? 8 , 求点 M ( x , y ) 的轨迹 C 的方程.

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7.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观 测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚 4 s ,已 知各观测点到中心的距离都是 1020 m ,试确定该巨响发生的位置. (假定当时声 音传播的速度为 340 m / s ;相关各点均在同一平面上) 8.设双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的离心率为 e

,右准线 l 与两条渐近线交

于 P , Q 两点,右焦点为 F ,且 ? P Q F 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值; (2)若双曲线 C 被直线 y ? ax ? b 截得的弦长 为
b e a
2 2

,求双曲线 C 的方程; (3)设双曲线 C 经过点 (1, 0) ,以 F 为左焦点, l 为

左准线的椭圆,其短轴的端点为 B ,求 B F 中点的轨迹方程. 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

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