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圆的方程 [学生版]


圆的方程
学习目标 1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 知识梳理 1.圆的定义 在平面内,到________的距离等于________的点的________叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是________和________. 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0),其

中________为圆心,____为半径. 4.圆的一般方程

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 __________________ , 其 中 圆 心 为
___________________,半径 r=____________________________. 5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)____________________________________________________________________; (2)______________________________________________________________________; (3)______________________________________________________________________. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0), (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2____r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2____r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2____r2. 自我检测 1.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的条件是( 1 A. <m<1 4 B.m>1 C.m< 1 4 1 D.m< 或 m>1 4 ) )

2.(2011·南平调研)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
-1-

3.点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0

)

4 . 已 知 点 (0,0) 在 圆 : x2 + y2 + ax + ay + 2a2 + a - 1 = 0 外 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ________________. 5.(2011·安庆月考)过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的切线,切点为 A、B,则△APB 的 外接圆方程为________. 知识探究 探究点一 求圆的方程

例 1 求经过点 A(-2,-4),且与直线 l:x+3y-26=0 相切于点 B(8,6)的圆的方程.

变式迁移 1

根据下列条件,求圆的方程.

(1)与圆 O:x2+y2=4 相外切于点 P(-1, 3),且半径为 4 的圆的方程; (2)圆心在原点且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程.

探究点二

圆的几何性质的应用

例 2 (2011·滁州模拟)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点, 且 OP⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.

-2-

变式迁移 2

如图,已知圆心坐标为( 3,1)的圆 M 与 x 轴及直线 y= 3x 分别相切于

A、B 两点,另一圆 N 与圆 M 外切且与 x 轴及直线 y= 3x 分别相切于 C、D 两点.
(1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

探究点三

与圆有关的最值问题

例 3 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. (1)求 y-x 的最大值和最小值; (2)求 x2+y2 的最大值和最小值.

-3-

变式迁移 3

如果实数 x,y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求 的最大值与最小值.

y x

课堂练习 1.(2011·重庆)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和

BD,则四边形 ABCD 的面积为(
A.5 2 B.10 2 C.15 2

) D.20 2

2.(2011·合肥期末)方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ( ) 2 3 2 B.- <a<0 3 C.-2<a<0 D.-2<a< 2 3

A.a<-2 或 a>

3.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0 (a、b∈R)对称,则 ab 的取值范围 是( ) 1? ? B.?0, ? 4? ? ? 1 ? C.?- ,0? ? 4 ? 1? ? D.?-∞, ? 4? ?

1? ? A.?-∞, ? 4? ?

4.已知点 P(2,1)在圆 C:x2+y2+ax-2y+b=0 上,点 P 关于直线 x+y-1=0 的对称点 也在圆 C 上,则实数 a,b 的值为( A.a=-3,b=3 B.a=0,b=-3 ) C.a=-1,b=-1 D.a=-2,b=1

5.(2011·三明模拟)已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点, 则△ABC 面积的最小值是( A.3- 2 B.3+ 2 ) C.3- 2 2 D. 3- 2 2

6.(2010·天津)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+ 3=0 相切,则圆 C 的方程为________________. 7.圆心在直线 2x-3y-1=0 上的圆与 x 轴交于 A(1,0)、B(3,0)两点,则圆的方程为 ______________.
-4-

8.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3, 则 a=________. 9.根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 A(6,5)、B(0,1)两点,并且圆心 C 在直线 3x+10y+9=0 上; (2)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6.

10.(2011·舟山模拟)已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1 上. (1)求 x+y 的最大值和最小值; (2)求 的最大值和最小值; (3)求 x2+y2+2x-4y+5的最大值和最小值.

y x

-5-

11.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度|AB|=20 米,拱高|OP|=4 米,每 隔 4 米需用一支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01 米)( 825≈28.72).

-6-

课后作业 1.已知点 A(1,-1),B(-1,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( A.x2+y2=2 B.x2+y2= 2 C.x2+y2=1 D.x2+y2=4 ).

2 .设圆的方程是 x2 + y2 + 2ax + 2y + (a - 1)2 = 0 ,若 0<a<1 ,则原点与圆的位置关系是 ( ). C.原点在圆内 D.不确定

A.原点在圆上 B.原点在圆外

3.已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方 程为( ) B.(x-2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1

A.(x+2)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1

4.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半 径 r 的取值范围是( A.(4,6) ). B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]

5.已知圆 C:x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值为 ( A.8 ). B.-4 C.6 D.无法确定

? 1 ? 6. 圆心为 C?- ,3?的圆与直线 l: x+2y-3=0 交于 P, Q 两点, O 为坐标原点, 且满足→ OP·→ OQ ? 2 ? =0,则圆 C 的方程为 1? 5 ? A.?x- ?2+(y-3)2= 2? 2 ? 1? 25 ? C.?x+ ?2+(y-3)2= 2? 4 ? 1? 5 ? B.?x- ?2+(y+3)2= 2? 2 ? 1? 25 ? D.?x+ ?2+(y+3)2= 2? 4 ? ) ( ).

7.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

8.平移直线 x-y+1=0 使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1 相切,则平移的最短距离为( A. 2-1 B.2- 2 C. 2 D. 2-1 与 2+1 )

)

9.圆(x+2)2+y2=5 关于直线 y=x 对称的圆的方程为( A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5

C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5

10.若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的 方程是( )
-7-

A.(x- 5)2+y2=5 B.(x+ 5)2+y2=5

C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 )

12.圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是( A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0

C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0

13.若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上相异两点 P、Q 关于直线 kx+2y-4=0 对称,则 k 的 值为( A.1 ) B.-1 C. 1 2 D.2

14.(2014·北京高考)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若 圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( A.7 B.6 C.5 D.4 )

15.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴均相切,则该圆的 标准方程是( ) B.(x-2)2+(y-1)2=1 3 D.(x- )2+(y-1)2=1 2

7 A.(x-3)2+(y- )2=1 3 C.(x-1)2+(y-3)2=1

16. 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,则半径

r 的取值范围是(
A.(4,6)

) C.(4,6] D.[4,6]

B.[4,6)

17.圆(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0 的圆心坐标为________. 18.过两点 A(0,4),B(4,6),且圆心在直线 x-2y-2=0 上的圆的标准方程是________. 19.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(0,-1),B(0,1).P 是圆 C 上的动点,当|PA|2 +|PB|2 取最大值时,点 P 的坐标是________. 20.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(-1,0),B(1,0),点 P 是圆上的动点,则 d= |PA|2+|PB|2 的最大值为________,最小值为________.

?x≥0, 21. 已知平面区域?y≥0, ?x+2y-4≤0

恰好被面积最小的圆 C: (x-a)2+(y-b)2=r2 及其内

部所覆盖,则圆 C 的方程为________. 22.如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0.那么当圆面积最大时,圆心为________. 23.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________.
-8-

24.关于方程 x2+y2+2ax-2ay=0 表示的圆,下列叙述中: ①关于直线 x+y=0 对称;②其圆心在 x 轴上;③过原点;④半径为 2A.其中叙述正 确是________.(要求写出所有正确命题的序号) 25.设 P(x,y)是圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点,若不等式 x+y+c≥0 恒成立,则 c 的取 值范围是________. 26.根据下列条件,求圆的方程. (1)圆心在原点且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1 ? 2 两部分的圆的方程; (2)求经过两已知圆 C1 ? x2+y2-4x+2y=0 与 C2 ? x2+y2-2y-4=0 的交点,且圆心 在直线 l ? 2x+4y=1 上的圆的方程.

27.根据下列条件,求圆的方程. (1)经过坐标原点和点 P(1,1),并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上. (2)过 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3.

-9-

28.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切 于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q, 使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长. 若 存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

29.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点

C 和 D,且|CD|=4 10.
(1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程.

30.已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求 四边形 PAMB 面积的最小值.

- 10 -

31.已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2=0 对 称. (1)求圆 C 的方程; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求→ PQ·→ MQ的最小值.

32.已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M, 求|QM|的最小值.

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