当前位置:首页 >> 数学 >> 人教版高中数学必修4课后习题答案详细版

人教版高中数学必修4课后习题答案详细版


数学必修四答案详解

第 1 页 共 1 页

数学必修四答案详解

第 2 页 共 2 页

数学必修四答案详解

第 3 页 共 3 页

数学必修四答案详解

第 4 页 共 4 页

数学必修四答案详解

r />
第 5 页 共 5 页

数学必修四答案详解

第 6 页 共 6 页

数学必修四答案详解

第 7 页 共 7 页

数学必修四答案详解

第 8 页 共 8 页

数学必修四答案详解

第 9 页 共 9 页

数学必修四答案详解

第 10 页 共 10 页

数学必修四答案详解

第 11 页 共 11 页

数学必修四答案详解

第 12 页 共 12 页

数学必修四答案详解

第 13 页 共 13 页

数学必修四答案详解

第 14 页 共 14 页

数学必修四答案详解

第 15 页 共 15 页

数学必修四答案详解

第 16 页 共 16 页

数学必修四答案详解

第 17 页 共 17 页

数学必修四答案详解

第 18 页 共 18 页

数学必修四答案详解

第 19 页 共 19 页

数学必修四答案详解

第 20 页 共 20 页

数学必修四答案详解

第 21 页 共 21 页

数学必修四答案详解

第 22 页 共 22 页

数学必修四答案详解

第 23 页 共 23 页

数学必修四答案详解
第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 练习(P77) 1、略. 2、 AB , BA . 这两个向量的长度相等,但它们不等.

3、 AB ? 2 , CD ? 2.5 , EF ? 3 , GH ? 2 2 . 4、 (1)它们的终点相同; 习题 2.1 A 组(P77) 1 、
B
45°

(2)它们的终点不同. ( 2 )

O

30°

C

A

D . C A B
3、与 DE 相等的向量有: AF , FC ;与 EF 相等的向量有: BD, DA ; 与 FD 相等的向量有: CE, EB . 4、与 a 相等的向量有: CO, QP, SR ;与 b 相等的向量有: PM , DO ; 与 c 相等的向量有: DC, RQ, ST 5、 AD ?

3 3 . 2

6、 (1)×;

(2)√;

(3)√;

(4)×.

习题 2.1 B 组(P78) 1、海拔和高度都不是向量. 2、 相等的向量共有 24 对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与 AM 同向的共有 6 对,

与 AM 反向的也有 6 对;与 AD 同向的共有 3 对,与 AD 反向的也有 6 对;模为 2 的向量共有 4 对;模为 2 的向量有 2 对
第 24 页 共 24 页

数学必修四答案详解
2.2 平面向量的线性运算 练习(P84) 1、图略. 4、 (1) c ; 练习(P87) 1、图略. 2、 DB , CA , AC , AD , BA . 3、图略. 2、图略. (2) f ; 3、 (1) DA ; (3) f ; (2) CB .

(4) g .

练习(P90) 1、图略. 5 2 2、 AC ? AB , BC ? ? AB . 7 7 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是 BC 与 AB 反向.

7 1 (2) b ? ? a ; (3) b ? ? a ; 4 2 4、 (1)共线; (2)共线. 11 1 5、 (1) 3a ? 2b ; (2) ? a ? b ; (3) 2 ya . 12 3 习题 2.2 A 组(P91)
3、 (1) b ? 2a ; 1、 (1)向东走 20 km; (2)向东走 5 km;

(4) b ?

8 a. 9

6、图略.

(3)向东北走10 2 km;

(4)向西南走 5 2 km; (5)向西北走 10 2 km; (6)向东南走10 2 km. 2、 飞机飞行的路程为 700 km; 两次位移的合成是向北偏西 53°方向飞行 500 km. 3、解:如右图所示: AB 表示船速, AD 表示河水 的流速,以 AB 、 AD 为邻边作□ ABCD ,则

B

C

AC 表示船实际航行的速度.
在 Rt△ABC 中, AB ? 8 , AD ? 2 , 所以 AC ?

AB ? AD ? 8 ? 2 ? 2 17
2 2

2

2

A

D

水流方向

因为 tan ?CAD ? 4 ,由计算器得 ?CAD ? 76? 所以, 实际航行的速度是 2 17 km/h , 船航行的方向与河岸的夹角约为 76°. 4、 (1) 0 ; (2) AB ; (3) BA ; (4) 0 ; (5) 0 ; (6) CB ; (7)

0.

第 25 页 共 25 页

数学必修四答案详解
5、略 6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三 个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段 一定能构成三角形. 7、略. 8、 (1)略; (2)当 a ? b 时, a ? b ? a ? b

9、 (1)?2a ? 2b ; (2)10a ? 22b ? 10c ;

1 (3)3a ? b ; 2

(4)2( x ? y)b .

10、 a ? b ? 4e1 , a ? b ? ?e1 ? 4e2 , 3a ? 2b ? ?3e1 ? 10e2 . 11、如图所示, OC ? ?a , OD ? ?b ,

DC ? b ? a , BC ? ?a ? b .
1 1 3 b , BC ? b ? a , DE ? (b ? a ) , DB ? a , 4 4 4 3 1 1 1 EC ? b , DN ? (b ? a ) , AN ? AM ? (a ? b) . 4 8 4 8

(第 11 题)

12、 AE ?

13、证明:在 ?ABC 中, E , F 分别是 AB, BC 的中点, 所以 EF / / AC 且 EF ? 即 EF ?

1 AC , 2

(第 12 题)

G D

C F

1 AC ; 2 1 同理, HG ? AC , 2
所以 EF ? HG . 习题 2.2 B 组(P92) 1、丙地在甲地的北偏东 45°方向,距甲地 1400 km. 2、不一定相等,可以验证在 a, b 不共线时它们不相等.

H E A
(第 13 题)

B

乙 丙

1 1 AC , AM ? AB , 3 3 1 1 1 1 所以 MN ? AC ? AB ? ( AC ? AB ) ? BC . 3 3 3 3 4、 (1)四边形 ABCD 为平行四边形,证略 (2)四边形 ABCD 为梯形. 1 证明:∵ AD ? BC , 3 ∴ AD / / BC 且 AD ? BC ∴四边形 ABCD 为梯形. D (3)四边形 ABCD 为菱形.
3、证明:因为 MN ? AN ? AM ,而 AN ?


(第 1 题)

C

B

A
(第 4 题(2))

第 26 页 共 26 页

数学必修四答案详解
证明:∵ AB ? DC , ∴ AB / / DC 且 AB ? DC ∴四边形 ABCD 为平行四边形 又 AB ? AD ∴四边形 ABCD 为菱形. 5、 (1)通过作图可以发现四边形 ABCD 为平行四边形. 证明:因为 OA ? OB ? BA , OD ? OC ? CD 而 OA ? OC ? OB ? OD 所以 OA ? OB ? OD ? OC 所以 BA ? CD ,即 AB ∥ CD . 因此,四边形 ABCD 为平行四边形. 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 练习(P100) 1、 (1) a ? b ? (3,6) , a ? b ? (?7, 2) ; (3) a ? b ? (0,0) , a ? b ? (4,6) ; 2、 ?2a ? 4b ? (?6, ?8) , 4a ? 3b ? (12,5) . 3、 (1) AB ? (3, 4) , BA ? (?3, ?4) ; (3) AB ? (0,2) , BA ? (0, ?2) ; 4、 AB ∥ CD . (2) AB ? (9, ?1) , BA ? (?9,1) ; (4) AB ? (5,0) , BA ? (?5,0)
O
(第 5 题)

B C D A

(第 4 题(3))

M

A B

D C

(2) a ? b ? (1,11) , a ? b ? (7, ?5) ; (4) a ? b ? (3, 4) , a ? b ? (3, ?4) .

证明: AB ? (1, ?1) , CD ? (1, ?1) ,所以 AB ? CD .所以 AB ∥

CD .

10 14 ,1) 或 ( , ?1) 3 3 3 3 P ? ?P B 7、 解: 设 P ( x, y ) , 由点 P 在线段 AB 的延长线上, 且 AP ? PB , 得A 2 2
5、 (1) (3, 2) ; (2) (1, 4) ; (3) (4, ?5) . 6、 (

A P? ( x , y )? ( 2 , 3 ? ) x? (

2 y? , , PB 3 )? (4, ?3) ? ( x, y) ? (4 ? x, ?3 ? y)
3 ? x ? 2 ? ? (4 ? x) ? ? 2 ∴? ? y ? 3 ? ? 3 (?3 ? y ) ? ? 2

3 ∴ ( x ? 2, y ? 3) ? ? (4 ? x, ?3 ? y ) 2

第 27 页 共 27 页

数学必修四答案详解
?x ? 8 ∴? ,所以点 P 的坐标为 (8, ?15) . ? y ? ?15
习题 2.3 A 组(P101) 1、 (1) (?2,1) ; (2) (0,8) ; (3) (1, 2) .

说明:解题时可设 B ( x, y ) ,利用向量坐标的定义解题. 2、 F 1?F 2 ?F 3 ? (8,0) 3、解法一: OA ? (?1, ?2) , BC ? (5 ? 3,6 ? (?1)) ? (2,7) 而 AD ? BC , OD ? OA ? AD ? OA ? BC ? (1,5) . 标为 (1,5) . 解法二:设 D( x, y) ,则 AD ? ( x ? (?1), y ? (?2)) ? ( x ? 1, y ? 2) , 所以点 D 的坐

BC ? (5 ? 3,6 ? (?1)) ? (2,7)
?x ?1 ? 2 由 AD ? BC 可得, ? ,解得点 D 的坐标为 (1,5) . ?y ? 2 ? 7
4、解: OA ? (1,1) , AB ? (?2, 4) .

A C?

1 1 AB ?( ? 1, 2 ) AD ? 2 AB ? (?4,8) , AE ? ? AB ? (1, ?2) . , 2 2

C 的坐标为 (0,3) ; ,所以,点 O C? O A ? AC ? (0, 3 )
D 的坐标为 (?3,9) ; ,所以,点 O D? O A ? AD ? ( ? 3, 9 )

OE ? OA ? AE ? (2, ?1) ,所以,点 E 的坐标为 (2, ?1) .
5、由向量 a, b 共线得 (2,3) ? ? ( x, ?6) ,所以

2 3 ? ,解得 x ? ?4 . x ?6

6、 AB ? (4,4) , CD ? (?8, ?8) , CD ? ?2 AB ,所以 AB 与 CD 共线. 7、 OA? ? 2OA ? (2, 4) ,所以点 A? 的坐标为 (2, 4) ;

??3 OB 9 ) OB ? ( ?3 , 9 , ) 所 以 点 B? 的 坐 标 为 (? 3 , ; A?B? ? (?3,9) ? (2, 4) ? (?5,5)
习题 2.3 B 组(P101)



第 28 页 共 28 页

数学必修四答案详解
1、 OA ? (1, 2) , AB ? (3,3) . 当 t ? 1 时, OP ? OA ? AB ? OB ? (4,5) ,所以 P(4,5) ; 当t ?

1 5 7 1 3 3 5 7 时, OP ? OA ? AB ? (1, 2) ? ( , ) ? ( , ) ,所以 P ( , ) ; 2 2 2 2 2 2 2 2

当 t ? ?2 时, OP ? OA ? 2 AB ? (1, 2) ? (6,6) ? (?5, ?4) ,所以 P(?5, ?4) ; 当 t ? 2 时, OP ? OA ? 2 AB ? (1, 2) ? (6,6) ? (7,8) ,所以 P(7,8) . 2、 (1)因为 AB ? (?4, ?6) , AC ? (1,1.5) ,所以 AB ? ?4 AC ,所以 A 、 B 、 C 三 点共线; (2)因为 PQ ? (1.5, ?2) , PR ? (6, ?8) ,所以 PR ? 4PQ ,所以 P 、 Q 、 R 三 点共线; (3)因为 EF ? (?8, ?4) , EG ? (?1, ?0.5) ,所以 EF ? 8EG ,所以 E 、 F 、G 三点共线. 3、证明:假设 ?1 ? 0 ,则由 ?1 e1 ? ?2 e2 ? 0 ,得 e1 ? ?

?2 e . ?1 2

所以 e1 , e2 是共线向量,与已知 e1 , e2 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误, ?1 ? 0 . 4、 (1) OP ? 19 . 定的, 所以向量的坐标表示的规定合理. 2.4 平面向量的数量积 练习(P106) 1、 p ? q ? p ? q ? cos ? p, q ?? 8 ? 6 ? 同理 ?2 ? 0 . 综上 ?1 ? ?2 ? 0 .

(2)对于任意向量 OP ? xe1 ? ye2 , x , y 都是唯一确

1 ? 24 . 2

2、当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为钝角三角形;当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为直角三角形. 3、投影分别为 3 2 ,0, ?3 2 . 图略 练习(P107) 1、 a ? (?3)2 ? 42 ? 5 , b ? 52 ? 22 ? 29 , a ? b ? ?3 ? 5 ? 4 ? 2 ? ?7 . 2、 a ? b ? 8 , (a ? b)(a ? b) ? ?7 , a ? (b ? c) ? 0 , (a ? b)2 ? 49 .

第 29 页 共 29 页

数学必修四答案详解
3、 a ? b ? 1, a ? 13 , b ? 74 , ? ? 88? . 习题 2.4 A 组(P108) 1、 a ? b ? ?6 3 , (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b ? 25 ? 12 3 , a ? b ? 25 ? 12 3 . 2、 BC 与 CA 的夹角为 120°, BC ? CA ? ?20 . 3、 a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 23 , a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 35 . 4、证法一:设 a 与 b 的夹角为 ? . (1)当 ? ? 0 时,等式显然成立; (2)当 ? ? 0 时, ? a 与 b , a 与 ? b 的夹角都为 ? , 所 以
2 2 2 2
2 2

(? a) ? b ? ? a b cos ? ? ? a b cos ?

? (a ? b)? ? a b c o ? s
a ? (? b) ? a ? b cos ? ? ? a b cos ?
所以 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) ; (3)当 ? ? 0 时, ? a 与 b , a 与 ? b 的夹角都为 180? ? ? , 则 (? a) ? b ? ? a b cos(180? ? ? ) ? ? ? a b cos ?

? (a ? b) ? ? a b cos ? ? ? ? a b cos ?
a ? (? b) ? a ? b cos(180? ? ? ) ? ? ? a b cos ?
所以 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) ; 综上所述,等式成立. 证法二:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 那么 (? a) ? b ? (? x1, ? y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ? x1x2 ? ? y1 y2

?(a ? b) ? ?( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ?( x1x2 ? y1 y2 ) ? ? x1x2 ? ? y1 y2
a ? (?b) ? ( x1, y1 ) ? (? x2 , ? y2 ) ? ? x1x2 ? ? y1 y2
所以 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) ; 5、 (1)直角三角形, ? B 为直角.
第 30 页 共 30 页

数学必修四答案详解
证明:∵ BA ? (?1, ?4) ? (5, 2) ? (?6, ?6) , BC ? (3, 4) ? (5, 2) ? (?2, 2) ∴ BA ? BC ? ?6 ? (?2) ? (?6) ? 2 ? 0 ∴ BA ? BC , ? B 为直角, ?ABC 为直角三角形 (2)直角三角形, ? A 为直角 证明:∵ AB ? (19, 4) ? (?2, ?3) ? (21,7) , AC ? (?1, ?6) ? (?2, ?3) ? (1, ?3) ∴ AB ? AC ? 21?1 ? 7 ? (?3) ? 0 ∴ AB ? AC , ? A 为直角, ?ABC 为直角三角形 (3)直角三角形, ? B 为直角 证明:∵ BA ? (2,5) ? (5, 2) ? (?3,3) , BC ? (10,7) ? (5, 2) ? (5,5) ∴ BA ? BC ? ?3 ? 5 ? 3 ? 5 ? 0 ∴ BA ? BC , ? B 为直角, ?ABC 为直角三角形 6、 ? ? 135? . 7、 ? ? 120? .

(2a ? 3b)(2a ? b) ? 4a ? 4a ? b ? 3b ? 61 ,于是可得 a ? b ? ?6 ,
cos ? ?
8、 cos ? ?

2

2

a ?b

1 ? ? ,所以 ? ? 120? . 2 a b

23 , ? ? 55? . 40

9、证明:∵ AB ? (5, ?2) ? (1,0) ? (4, ?2) , BC ? (8, 4) ? (5, ?2) ? (3,6) ,

DC ? (8, 4) ? (4,6) ? (4, ?2)
∴ AB ? DC , AB ? BC ? 4 ? 3 ? (?2) ? 6 ? 0 ∴ A, B, C , D 为顶点的四边形是矩形. 10、解:设 a ? ( x, y) ,

? ? 3 5 3 5 ? x2 ? y 2 ? 9 ?x ? ?x ? ? ? ? ? 5 5 则? ,解得 ? ,或 ? . y x ? 6 5 6 5 ? ?y ? ?y ? ? ? 2 ? ? 5 5 ? ?
第 31 页 共 31 页

数学必修四答案详解
于是 a ? (

3 5 6 5 3 5 6 5 , ) 或 a ? (? ,? ). 5 5 5 5

11、解:设与 a 垂直的单位向量 e ? ( x, y) ,

? ? 5 5 x? ? ?x ? ? ?x ? y ? 1 ? ? 5 5 . 则? ,解得 ? 或? ?4 x ? 2 y ? 0 ?y ? ? 2 5 ?y ? 2 5 ? ? 5 5 ? ?
2 2

于是 e ? (

5 2 5 5 2 5 ,? ) 或 e ? (? , ). 5 5 5 5

习题 2.4 B 组(P108) 1、证法一: a ? b ? a ? c ? a ? b ? a ? c ? 0 ? a ? (b ? c) ? 0 ? a ? (b ? c) 证法二:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , c ? ( x3 , y3 ) . 先证 a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c)

a ? b ? x1x2 ? y1 y2 , a ? c ? x1x3 ? y1 y3


a ?b ? a ?c



x1x2 ? y1 y2 ? x1x3 ? y1 y3





x1 (

? x2

) ?x3

( y? 1

y2) ?

y0 3

而 b ? c ? ( x2 ? x3 , y2 ? y3 ) ,所以 a ? (b ? c) ? 0 再证 a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c 由 a ? (b ? c) ? 0 得 x1 ( x2 ? x3 ) ? y1 ( y2 ? y3 ) ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? x1x3 ? y1 y3 ,因此 a ? b ? a ? c 2、 cos ?AOB ?

OA ? OB OA OB

? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

3、证明:构造向量 u ? (a, b) , v ? (c, d ) .

u? v ? u v cos? u , v ? ,所以 ac ? bd ? a2 ? b2 c2 ? d 2 cos ? u, v ?
∴ (ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )cos2 ? u, v ?? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) 4、 AB ? AC 的值只与弦 AB 的长有关,与圆的半径无关.
第 32 页 共 32 页

C

数学必修四答案详解
证明:取 AB 的中点 M ,连接 CM , 1 则 CM ? AB , AM ? AB 2 又 AB ? AC ? AB AC cos ?BAC ,而 ?BAC ? 所以 AB ? AC ? AB AM ?
2 1 AB 2

AM AC

5、 (1)勾股定理: Rt ?ABC 中, ?C ? 90? ,则 CA ? CB ? AB 证明:∵ AB ? CB ? CA ∴ AB ? (CB ? CA)2 ? CB ? 2CA ? CB ? CA . 由 ?C ? 90? ,有 CA ? CB ,于是 CA ? CB ? 0 ∴ CA ? CB ? AB
2 2 2

2

2

2

2

2

2

(2)菱形 ABCD 中,求证: AC ? BD 证明:∵ AC ? AB ? AD , DB ? AB ? AD, ∴ AC ? DB ? ( AB ? AD ) ? ( AB ? AD ) ? AB ? AD . ∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AB ? AD ,所以 AB ? AD ? 0 ∴ AC ? DB ? 0 ,所以 AC ? BD (3)长方形 ABCD 中,求证: AC ? BD 证明:∵ 四边形 ABCD 为长方形,所以 AB ? AD ,所以 AB ? AD ? 0 ∴ AB ? 2 AB ? AD ? AD ? AB ? 2 AB ? AD ? AD . ∴ ( AB ? AD)2 ? ( AB ? AD)2 ,所以 AC ? BD ,所以 AC ? BD (4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2) (3)的证明即可. 2.5 平面向量应用举例 习题 2.5 A 组(P113) 1、解:设 P ( x, y ) , R( x1 , y1 ) 则 RA ? (1,0) ? ( x1, y1 ) ? (1 ? x1, ? y1 ) , AP ? ( x, y) ? (1,0) ? ( x ?1,0) 由 RA ? 2 AP 得 (1 ? x1, ? y1 ) ? 2( x ?1, y) ,即 ?
2 2
2 2

2

2

2

2

2

2

? x1 ? ?2 x ? 3 ? y1 ? ?2 y
第 33 页 共 33 页

数学必修四答案详解
代入直线 l 的方程得 y ? 2 x . 所以,点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x .
A

2、解: (1)易知, ?OFD ∽ ?OBC , DF ? 所以 BO ?

1 BC , 2
D O F

2 BF . 3

2 2 1 1 AO ? BO ? BA ? BF ? a ? ( b ? a ) ? a ? (a ? b) 3 3 2 3 B 1 (2)因为 AE ? (a ? b) 2 2 AO ?2 所以 AO ? AE ,因此 A, O, E 三点共线,而且 3 OE BO CO AO BO CO ? 2, ? 2 ,所以 ? ? ?2 同理可知: OF OD OE OF OD
3、解: (1) v ? vB ? vA ? (?2,7) ; (2) v 在 vA 方向上的投影为

E
(第 2 题)

C

v ? vA vA

?

13 . 5

(第 4 题)

4、解:设 F1 , F2 的合力为 F , F 与 F1 的夹角为 ? , 则 F ? 3 ? 1 , ? ? 30? ; 习题 2.5 B 组(P113) 1、解:设 v0 在水平方向的速度大小为 vx ,竖直方向的速度的大小为 vy , 则 vx ? v0 cos ? , v y ? v0 sin ? . 设 在 时 刻 t 时 的 上 升 高 度 为 h , 抛 掷 距 离 为 s , 则
1 ? v s ti ?n? ?h ? 0 2 ? ?s ? 0 v c t o? s ? g为重力加速度 ,t ( g )

F3 ? 3 ? 1 , F3 与 F1 的夹角为 150°.

所以,最大高度为

v0 sin 2 ? 2g

2

,最大投掷距离为

v0 sin 2? g

2

.

2、解:设 v1 与 v2 的夹角为 ? ,合速度为 v , v2 与 v 的夹角为 ? ,行驶距离为 d . 则 sin ? ?
v1 sin ? v ? 10sin ? v

,d ?

v 0.5 . ? sin ? 20sin ?



d v

?

1 . 20sin ?

所以当 ? ? 90? ,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、 (1) (0, ?1)

第 34 页 共 34 页

数学必修四答案详解
解:设 P( x, y ) ,则 AP ? ( x ? 1, y ? 2) . AB ? ( 2, ?2 2) . 将 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转
AP ,

?

7 到 AP ,相当于沿逆时针方向旋转 ? 到 4 4

7 7 7 7 于是 AP ? ( 2 cos ? ? 2 2 sin ? , 2 sin ? ? 2 2 cos ? ) ? (?1, ?3) 4 4 4 4
? x ? 1 ? ?1 所以 ? ,解得 x ? 0, y ? ?1 ? y ? 2 ? ?3

(2) y ? ?

3 2x

解:设曲线 C 上任一点 P 的坐标为 ( x, y ) , OP 绕 O 逆时针旋转 标为 ( x?, y?)
? ? ? ? ? x ? x cos ? y sin ? x? ? ? ? ? 4 4 则? ,即 ? ? ? ? y? ? ? y? ? x sin ? y cos ? ? 4 4 ? ? 2 ( x ? y) 2 2 ( x ? y) 2

?
4

后,点 P 的坐

1 1 3 又因为 x?2 ? y?2 ? 3 ,所以 ( x ? y)2 ? ( x ? y)2 ? 3 ,化简得 y ? ? 2 2 2x

第二章 复习参考题 A 组(P118)
1、 (1)√; (2)√; (3)×; (4)×. 2、 (1) D ; (2) B ; (3) D ; (4) C ; 1 1 3、 AB ? (a ? b) , AD ? (a ? b) 2 2 2 1 4、略解: DE ? BA ? MA ? MB ? ? a ? b 3 3 2 2 1 1 AD ? a ? b , BC ? a ? b 3 3 3 3 1 1 1 2 EF ? ? a ? b , FA ? DC ? a ? b 3 3 3 3 1 2 2 1 CD ? ? a ? b , AB ? a ? b 3 3 3 3
CE ? ?a ? b

(5) D ;

(6) B .

(第 4 题)

5、 (1) AB ? (8, ?8) , AB ? 8 2 ; (2) OC ? (2, ?16) , OD ? (?8,8) ; (3) OA ? OB ? 33 .

第 35 页 共 35 页

数学必修四答案详解
6、 AB 与 CD 共线. 证明:因为 AB ? (1, ?1) , CD ? (1, ?1) ,所以 AB ? CD . 所以 AB 与 CD 共线. 7、 D(?2,0) . 8、 n ? 2 . 9、 ? ? ?1, ? ? 0 .

3 4 10、 cos A ? ,cos B ? 0,cos C ? 5 5

11、证明: (2n ? m) ? m ? 2n ? m ? m ? 2cos60? ?1 ? 0 ,所以 (2n ? m) ? m . 12、 ? ? ?1 . 13、 a ? b ? 13 , a ? b ? 1 .
5 19 14、 cos? ? ,cos ? ? 8 20

2

第二章 复习参考题 B 组(P119)
1、 (1) A ; (2) D ; (3) B ; (4) C ; (5) C ; (6) C ; (7)
D.

2、证明:先证 a ? b ? a ? b ? a ? b .
a ? b ? (a ? b)2 ? a ? b ? (a ? b)2 ? a ? b ? 2a ? b .
2 2 2 2

a ? b ? 2a ? b

2

2



因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,于是 a ? b ? a ? b ? a ? b . 再证 a ? b ? a ? b ? a ? b . 由于 a ? b ? a ? 2a ? b ? b , a ? b ? a ? 2a ? b ? b 由 a ? b ? a ? b 可得 a ? b ? 0 ,于是 a ? b 所以 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、证明:先证 a ? b ? c ? d
c ? d ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b
2 2

2

2

2

2

【几何意义是矩形的两条对角线相等】

又 a ? b ,所以 c ? d ? 0 ,所以 c ? d 再证 c ? d ? a ? b . 由 c ? d 得 c ? d ? 0 ,即 (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 0 所以 a ? b
2 2

(第 3 题)

【几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所

第 36 页 共 36 页

数学必修四答案详解
示】
1 1 1 4、 AD ? AB ? BC ? CD ? a ? b , AE ? a ? b 2 4 2 3 1 1 1 1 1 而 EF ? a , EM ? a ,所以 AM ? AE ? EM ? a ? b ? a ? (a ? b) 4 4 4 2 4 2
P3

5、证明:如图所示, OD ? OP 1 ? OP 2 ,由于 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ?0, 所以 OP3 ? ?OD , OD ? 1 所以 OD ? OP 1 ? P 1D 所以 ?OP 1P 2 ? 30? ,同理可得 ?OP 1P 3 ? 30?
P1

O P2

(第 5 题)

D

所以 ?P3 PP 1 2 ? 60? ,同理可得 ?PP 1 2P 3 ? 60? , ?P 2P 3P 1 ? 60? ,所以 ?PP 1 2P 3为 正三角形. 6、连接 AB . 由对称性可知, AB 是 ?SMN 的中位线, MN ? 2 AB ? 2b ? 2a . 7、 (1)实际前进速度大小为 42 ? (4 3) 2 ? 8 (千米/时) , 沿与水流方向成 60°的方向前进; (2)实际前进速度大小为 4 2 千米/时, 沿与水流方向成 90? ? arccos
6 的方向前进. 3

N

M A O S
(第 6 题)

B

8、解:因为 OA ? OB ? OB ? OC ,所以 OB ? (OA ? OC ) ? 0 ,所以 OB ? CA ? 0 同理, OA ? BC ? 0 , OC ? AB ? 0 ,所以点 O 是 ?ABC 的垂心. 9、 (1) a2 x ? a1 y ? a1 y0 ? a2 x0 ? 0 ; (2)垂直;

(3)当 A1B2 ? A2 B1 ? 0 时, l1 ∥ l2 ;当 A1 A2 ? B1B2 ? 0 时, l1 ? l2 , 夹角 ? 的余弦 cos? ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

A1 A2 ? B1B2 A12 ? B12 A22 ? B22



(4) d ?

第 37 页 共 37 页

数学必修四答案详解
第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P127) ? ? ? 1、 cos( ? ? ) ? cos cos? ? sin sin ? ? 0 ? cos? ? 1? sin ? ? sin ? . 2 2 2
cos( ?2 ? ? ?) co ?s 2 ?c ?o s

?s i n? 2 ? s ? i n ??1 ? c o s? ? 0 sin . ?

cos

3 4 3 ? 2、解:由 cos? ? ? ,? ? ( , ? ) ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? (? )2 ? ; 5 5 5 2

? ? ? 2 3 2 4 2 ? (? ) ? ? ? 所以 cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? .
4 4 4 2 5 2 5 10

3、解:由 sin ? ?

15 8 15 , ? 是第二象限角,得 cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? ; 17 17 17
3 3 3 17 2 17 2 34

? ? ? 8 1 15 3 ?8 ? 15 3 ? 所以 cos(? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ? ? ? ? .
2 5 2 3? 4、解:由 sin ? ? ? ,? ? (? , ) ,得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? ; 3 3 3 2 3 7 3 3? 又由 cos ? ? , ? ? ( ,2? ) ,得 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 4 4 4 2


c


? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? o

??

?

. ?

练习(P131) 1、 (1)
6? 2 ; 4

(2)

6? 2 ; 4

(3)

6? 2 ; 4

(4) 2 ? 3 .

3 4 3 ? 2、解:由 cos? ? ? ,? ? ( ,? ) ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? ; 5 5 5 2

? ? ? 4 1 3 3 4?3 3 ? 所以 sin(? ? ) ? sin ? cos ? cos? sin ? ? ? (? ) ? .
3 3 3 5 2 5 2 10

3、 解: 由 sin ? ? ? 所
c

12 5 12 ? 是第三象限角, , 得 cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? ; 13 13 13
? ?

?
6

?? ?

?

?

3

? ?

? ? ?

?

.o

以 ?
6

?

4 ? 3 ? 1 ? ?2 . 4、解: tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 3 ?1 4

?

tan ? ? tan

?

第 38 页 共 38 页

数学必修四答案详解
5、 (1)1;
1 (2) ; 2

(3)1;

(4) ?

3 ; 2

1 (5)原式= ?(cos34? cos26? ? sin34? sin 26?) ? ? cos(34? ? 26?) ? ? cos60? ? ? ; 2 ( 6 ) 原 式

= ? sin 20? cos70? ? cos 20? sin 70? ? ?(sin 20? cos70? ? cos 20? sin 70?) ? ? sin 90? ? ?1 .

? ? ? 6、 (1)原式= cos cos x ? sin sin x ? cos( ? x) ; 3 3 3 3 1 ? ? ? (2)原式= 2( sin x ? cos x) ? 2(sin x cos ? cos x sin ) ? 2sin( x ? ) ;

2 2 6 6 6 2 2 ? ? ? cos x) ? 2(sin x cos ? cos x sin ) ? 2sin( x ? ) ; (3)原式= 2( sin x ? 2 2 4 4 4 1 3 ? ? ? sin x) ? 2 2(cos cos x ? sin sin x) ? 2 2 cos( ? x) . (4)原式= 2 2( cos x ? 2 2 3 3 3 3 7、解:由已知得 sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin ? ? , 5 3 3 即 sin[(? ? ? ) ? ? ] ? , sin(?? ) ? 5 5 3 所以 sin ? ? ? . 又 ? 是第三象限角, 5

于是 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? . 因
s

3 5

4 5


i . ?

??

5? 4

?

5? 4

练习(P135) 1、解:因为 8? ? ? ? 12? ,所以 ? ?

?
8

?

3? 2

? 3 ? 4 2 3 4 ? sin 8 ? 5 3 又由 cos ? ? ,得 sin ? ? 1 ? (? ) ? ? , tan ? ? ? 8 5 5 8 cos ? ? 4 4 8 5 8 5

?

所以 sin

? ? ? 3 4 24 ? sin(2 ? ) ? 2sin cos ? 2 ? (? ) ? (? ) ? 4 8 8 8 5 5 25 ? ? ? ? 4 2 3 2 7 c o s ? c o s? ( 2 ? ) 2 c o? s 2 si ?n ? (? ? ) (? ) 4 8 8 8 5 5 25
3 8 ? 4 ? 3 ? 16 ? 24 tan ? tan(2 ? ) ? 4 8 1 ? tan 2 ? 1 ? ( 3 ) 2 2 7 7 8 4

?

?

?

2 tan

?

2?

3 3 3 16 2、解:由 sin(? ? ? ) ? ,得 sin ? ? ? ,所以 cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? )2 ? 5 5 5 25
第 39 页 共 39 页

数学必修四答案详解
16 3 7 ? (? ) 2 ? 25 5 25 1 3、解:由 sin 2? ? ? sin ? 且 sin ? ? 0 可得 cos ? ? ? , 2

所以 cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?


t



? ?(

?
2

?,

, )



1 3 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? 2 2







3 ? (? . 2 ?) ? 3 2 1 2 t a? n 1 4 、 解 : 由 t an? 2? ,得 ? . 2 3 1 ? t a n? 3

? a ?n

s ? i n ? c ? o s

2 ? ? 6 t? an ? ?1, 0所 以 所以 tan

tan ? ? ? 3?

10

? ? ? 2 1 1 5、 (1)sin15? cos15? ? sin30? ? ; (2)cos 2 ? sin 2 ? cos ? ; 8 8 4 2 2 4 2 1 2tan 22.5? 1 1 (3)原式= ? (4)原式= cos 45? ? . ? tan 45? ? ; 2 2 2 1 ? tan 22.5? 2 2 习题 3.1 A 组(P137) 3? 3? 3? 1、 (1) cos( ? ? ) ? cos cos? ? sin sin ? ? 0 ? cos? ? (?1) ? sin ? ? ? sin ? ; 2 2 2 3? 3? 3? (2) sin( ? ? ) ? sin cos? ? cos sin ? ? ?1? cos? ? 0 ? sin ? ? ? cos? ; 2 2 2

(3) cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?1? cos ? ? 0 ? sin ? ? ? cos ? ; (4) sin(? ? ? ) ? sin ? cos? ? cos ? sin ? ? 0 ? cos? ? (?1) ? sin ? ? sin ? .
3 4 3 2、解:由 cos? ? ,0 ? ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 5

? ? ? 4 3 3 1 4 3 ?3 ? ? ? 所以 cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? .
6 6 6 5 2 5 2 10

2 5 2 ? 3、解:由 sin ? ? ,? ? ( ,? ) ,得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 3 3 3 2 3 7 3 3? 又由 cos ? ? ? , ? ? (? , ) ,得 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? , 4 4 4 2


c


5 3 ?

??

. o

? ?

1 4 3 1 4、解:由 cos ? ? , ? 是锐角,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? 7 7 7

因为 ? , ? 是锐角,所以 ? ? ? ? (0, ? ) ,
第 40 页 共 40 页

数学必修四答案详解
又 因 为
cos(? ? ? ) ? ?
11 2 5 3 ) ? 14 14

11 14







sin(? ? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? 1 ? (?

所以 cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos ? ? sin(? ? ? )sin ?
11 1 5 3 4 3 1 )? ? ? ? 14 7 14 7 2 60 ? ? ? ? 150 ? 90 ? ? 30 ? ? ? ? 180? 5、解:由 ,得 ? (?

3 4 3 又由 sin(30? ? ? ) ? ,得 cos(30? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (30? ? ? ) ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 5 5 5

所以 cos ? ? cos[(30? ? ? ) ? 30?] ? cos(30? ? ? )cos30? ? sin(30? ? ? )sin 30?
4 3 3 1 ?4 3 ? 3 ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 6? 2 2? 6 6、 (1) ? ; (2) ? ; 4 4

(3) ?2 ? 3 .

2 5 2 ? 7、解:由 sin ? ? ,? ? ( ,? ) ,得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 3 3 3 2





c ? o? ? s

3 4



?

















3 7 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? . 4 4

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
5 3 2 7 ? (? ) ? ? (? ) 3 4 3 4 3 5?2 7 ? 12 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?? 2 3 5 7 ? (? ) ? (? ) ? (? ) 3 4 3 4 ?6 ? 35 ? 12 5 3 8、解:∵ sin A ? ,cos B ? 且 A, B 为 ?ABC 的内角 13 5 ? 12 4 ∴ 0 ? A ? ? ,0 ? B ? , cos A ? ? ,sin B ? 2 13 5 12 当 cos A ? ? 时, sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 13 ?
第 41 页 共 41 页

数学必修四答案详解
?
A ? B ? ? ,不合题意,舍去

5 3 12 4 33 ? ? (? ) ? ? ? ? 0 13 5 13 5 65

∴ cos A ?

12 4 ,sin B ? 13 5

∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ?(cos A cos B ? sin A sin B)
12 3 5 4 16 ?( ? ? ? ) ? ? 13 5 13 5 65
3 4 3 ? 9、解:由 sin? ? ,? ? ( ,? ) ,得 cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 5 5 5 2

∴ tan? ?

sin? 3 5 3 ? ? (? ) ? ? . cos? 5 4 4

3 1 ? ? tan ? ? tan ? 4 2 ?? 2 . ∴ tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? (? 3 ) ? 1 11 4 2 3 1 ? ? tan ? ? tan ? 4 2 ? ?2 . tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? (? 3 ) ? 1 4 2

10、解:∵ tan ? , tan ? 是 2 x 2 ? 3x ? 7 ? 0 的两个实数根.
3 7 ∴ tan ? ? tan ? ? ? , tan ? ? tan ? ? ? . 2 2
3 ? tan ? ? tan ? 2 ? ?1 . ∴ tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? (? 7 ) 3 2

11、解:∵ tan(? ? ? ) ? 3, tan(? ? ? ) ? 5 ∴ tan 2? ? tan[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ?
tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) 3?5 4 ? ?? 1 ? tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) 1 ? 3 ? 5 7 tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) 3?5 1 tan 2? ? tan[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? ? ?? 1 ? tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) 1 ? 3 ? 5 8
B D

12、解:∵ BD : DC : AD ? 2 : 3 : 6 BD 1 DC 1 ∴ tan ? ? ? , tan ? ? ? AD 3 AD 2
1 1 ? tan ? ? tan ? ∴ tan ?BAC ? tan(? ? ? ) ? ? 3 2 ?1 1 1 1 ? tan ? ? tan ? 1? ? 3 2

α A

β

又∵ 0? ? ?BAC ? 180? ,∴ ?BAC ? 45?

(第 12 题)
第 42 页 共 42 页

C

数学必修四答案详解
2 7? ? ? x ? 13、 (1) (2) 3 sin( ? x) ; (3) (4) sin( ? x) ; 6 5 sin( x ? ) ; 2sin( ? ) ; 2 12 6 3 2 6 2 1 (5) ; (6) ; (7)sin(? ? ? ) ; (8)? cos(? ? ? ) ; (9)? 3 ; (10) 2 2
tan( ? ? ? ) .

? 14、解:由 sin ? ? 0.8,? ? (0, ) ,得 cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? 0.82 ? 0.6 2 ∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 0.8 ? 0.6 ? 0.96 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0.62 ? 0.82 ? ?0.28
15、 解: 由 cos ? ? ?
3 3 6 ,180? ? ? ? 270? , 得 sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? )2 ? ? 3 3 3

∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? (?

6 ) ? (? 3 3 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (? ) 2 ? (? 3

3 2 2 )? 3 3 6 2 1 ) ?? 3 3

tan 2? ?

sin 2? 2 2 ? ? (?3) ? ?2 2 cos 2? 3

16、解:设 sin B ? sin C ?

5 12 ,且 0? ? B ? 90? ,所以 cos B ? . 13 13 5 12 120 ∴ sin A ? sin(180? ? 2B) ? sin 2B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? 13 13 169 12 5 119 cos A ? cos(180? ? 2B) ? ? cos2B ? ?(cos2 B ? sin 2 B) ? ?(( )2 ? ( )2 ) ? ? 13 13 169 tan A ? sin A 120 169 120 ? ? (? )?? cos A 169 119 119

1 1 3 2? ? 2tan ? 3 tan ? ? tan 2 ? 3 ? ,tan(? ? 2? ) ? 7 4 ?1 . 17、 解:tan 2? ? ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? ( 1 )2 4 1 ? tan ? ? tan 2 ? 1 ? 1 ? 3 3 7 4

18、解: cos(? ? ? )cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ? 又? ?(

1 1 1 ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? ,即 cos ? ? 3 3 3

1 2 2 3? ,2? ) ,所以 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 3 3 2

∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? (?

2 2 1 4 2 )? ? ? 3 3 9 1 2 2 2 7 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ( ) 2 ? ( ? ) ?? 3 3 9



第 43 页 共 43 页

数学必修四答案详解
? ? ? 7 2 4 2 2 ?7 2 ? 8 cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? ? ? ? (? )? ? 4 4 4 9 2 9 2 18 1 19、 (1) 1 ? sin 2? ; (2) cos 2? ; (3) sin 4 x ; (4) tan 2? . 4

习题 3.1 B 组(P138) 1、略. 2、解:∵ tan A, tan B 是 x 的方程 x2 ? p( x ? 1) ? 1 ? 0 ,即 x2 ? px ? p ? 1 ? 0 的两个实 根 ∴ tan A ? tan B ? ? p , tan A ? tan B ? p ? 1 ∴ tan C ? tan[? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) ? ? 由于 0 ? C ? ? ,所以 C ?
tan A ? tan B ?p ?? ? ?1 1 ? tan A ? tan B 1 ? ( p ? 1)

3? . 4 3、反应一般的规律的等式是(表述形式不唯一)

3 (证明略) 4 本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是: 3 sin 2 (? ? 30?) ? cos2 ? ? sin(? ? 30?)cos? ? 4 3 sin 2 (? ?15?) ? cos2 (? ? 15?) ? sin(? ?15?)cos(? ? 15?) ? 4 3 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? ,其中 ? ? ? ? 30? ,等等 4 思考过程要求从角,三角函数种类,式子结构形式三个方面寻找共同特点,从 而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助,证明过程也会促进推理能力、运算能 力的提高. sin 2 ? ? cos2 (? ? 30?) ? sin ? cos(? ? 30?) ?

4、 因为 PA ? PP 则c ( o s ( 1 2 ,

2 ?)?? 1 ) ? n s i(? ) 2c ( ? o s? ?c o s ?) n s ( i?? n s i )? ? 2

??

?

2

即 2 ? 2cos(? ? ? ) ? 2 ? 2cos ? cos ? ? 2sin ? sin ? 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3.2 简单的三角恒等变换 练习(P142) 1、略. 2、略. 3、略. 1 ? ? k? ? k? 4、 (1) y ? sin 4 x . 最小正周期为 ,递增区间为 [? ? , ? ], k ? Z ,最 2 2 8 2 8 2 1 大值为 ; 2 (2) y ? cos x ? 2 . 最小正周期为 2? ,递增区间为 [? ? 2k? , 2? ? 2k? ], k ? Z ,最大值 为 3;
第 44 页 共 44 页

数学必修四答案详解
? ? 5? k? ? k? (3) y ? 2sin(4 x ? ) . 最小正周期为 ,递增区间为 [? ? , ? ], k ? Z ,最 3 2 24 2 24 2 大值为 2. 习题 3.2 A 组( P143) 1、 (1)略; (2)提示:左式通分后分子分母同乘以 2; (3)略;
(4)提示:用 sin 2 ? ? cos2 ? 代替 1,用 2sin ? cos ? 代替 sin 2? ; (5)略; (6)提示:用 2cos 2 ? 代替 1 ? cos 2? ; (7)提示:用 2sin 2 ? 代替 1 ? cos 2? ,用 2cos 2 ? 代替 1 ? cos 2? ; (8)略. 1 1 2、由已知可有 sin ? cos ? ? cos? sin ? ? ……①,sin ? cos ? ? cos? sin ? ? ……② 2 3 (1)②×3-①×2 可得 sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? (2)把(1)所得的两边同除以 cos ? cos ? 得 tan ? ? 5tan ? 注意:这里 cos ? cos ? ? 0 隐含与①、②之中
1 2 ? ( ? ) 1 2 tan ? 2 ??4 3、由已知可解得 tan ? ? ? . 于是 tan 2? ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? (? 1 )2 3 2 2
1 ? ?1 1 4 ? 2 tan(? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? (? 1 ) ? 1 3 4 2

?

tan ? ? tan

?

? ∴ tan 2? ? ?4tan(? ? ) 4
4、由已知可解得 x ? sin ? , y ? cos? ,于是 x2 ? y 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1.

? ? ? k? 7? k? 5、 f ( x) ? 2sin(4 x ? ) ,最小正周期是 ,递减区间为 [ ? , ? ], k ? Z . 3 2 24 2 24 2 习题 3.2 B 组(P143) 1、略.
2、由于 76 ? 2 ? 7 ? 90 ,所以 sin 76? ? sin(90? ? 14?) ? cos14? ? m 即 2cos2 7? ? 1 ? m ,得 cos 7? ? 3、设存在锐角 ? , ? 使 ? ? 2? ?
m ?1 2

2? ? ? ? ,所以 ? ? ? , tan( ? ? ) ? 3 , 3 2 3 2

又 tan

?

? tan ? 2 , tan ? ? 2 ? 3 ,又因为 tan( ? ? ) ? ? 2 2 1 ? tan tan ? 2

?

tan

?

第 45 页 共 45 页

数学必修四答案详解
所以 tan

?

? tan ? ? tan( ? ? )(1 ? tan tan ? ) ? 3 ? 3 2 2 2

?

?

由此可解得 tan ? ? 1 , ? ? 经检验 ? ?

?
4

,所以 ? ?

?
6

.

?
6

,? ?

?
4

是符合题意的两锐角.

1 1 4、线段 AB 的中点 M 的坐标为 ( (cos? ? cos ? ), (sin ? ? sin ? )) . 过 M 作 MM 1 垂 2 2 1 1 y 直于 x 轴,交 x 轴于 M 1 , ?MOM1 ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) . 2 2 B ? ?? ? ?? C 在 Rt ?OMA 中, OM ? OA cos . ? cos M 2 2 A ? ?? ? ?? 在 Rt ?OM1M 中, OM1 ? OM cos ?MOM1 ? cos , cos 2 2 O M1 ? ?? ? ?? . M1M ? OM sin ?MOM1 ? sin cos 2 2 1 ? ?? ? ?? 于是有 (cos? ? cos ? ) ? cos , cos 2 2 2 1 ? ?? ? ?? (sin ? ? sin ? ) ? sin cos (第 4 题) 2 2 2

x

5、当 x ? 2 时, f (? ) ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ; 当 x ? 4 时, f (? ) ? sin 4 ? ? cos4 ? ? (sin 2 ? ? cos2 ? )2 ? 2sin 2 ? cos2 ?
1 1 ? 1 ? sin 2 2? ,此时有 ≤ f (? ) ≤1 ; 2 2 x?6 时
6


f (? ?



)

??

6

s

??

2

i

? ?n

2

3 1 ? 1 ? sin 2 2? ,此时有 ≤ f (? ) ≤1 ; 4 4 1 由此猜想,当 x ? 2k , k ? N? 时, k ?1 ≤ f (? ) ≤1 2 3 4 3 4 6、 (1) y ? 5( sin x ? cos x) ? 5sin( x ? ? ) ,其中 cos? ? ,sin ? ? 5 5 5 5

所以, y 的最大值为 5,最小值为﹣5; (2) y ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ,其中 cos ? ?
a a 2 ? b2 ,sin ? ? b a 2 ? b2

所以, y 的最大值为 a2 ? b2 ,最小值为 ? a2 ? b2 ;

第三章 复习参考题 A 组(P146)
第 46 页 共 46 页

数学必修四答案详解
16 . 提示: ? ? (? ? ? ) ? ? 65 56 5? ? 2、 . 提示: sin(? ? ? ) ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? ? sin[( ? ? ) ? ( ? ? )] 65 4 4 3、1. tan ? ? tan ? 4、 (1)提示:把公式 tan(? ? ? ) ? 变形; 1 ? tan ? tan ?

1、

(2) 3 ; (3)2; 5、 (1)原式=

(4) ? 3 .

提示:利用(1)的恒等式.

cos10? ? 3 sin10? 4sin(30? ? 10?) ? ?4; sin10? cos10? sin 20? sin10? sin10? ? 3 cos10? ? 3) ? sin 40? ? (2)原式= sin 40?( cos10? cos10? ?2sin 40? cos40? ? sin80? = ? ? ?1 ; cos10? cos10? 3 sin 20? 3 sin 20? ? cos 20? ? 1) ? tan 70? cos10? ? (3)原式= tan 70? cos10?( cos 20? cos 20? sin 70? ?2sin10? ? sin 20? = ? cos10?? ? ? ?1 ; cos70? cos20? cos70? 3 sin10? cos10? ? 3 sin10? ) ? sin 50? ? (4)原式= sin 50? ? (1 ? cos10? cos10? 2cos50? sin100? ? sin50?? ? ?1 cos10? cos10? 9 24 6、 (1) ; (2) ; 5 25 2 2 (3) ? . 提示: sin 4 ? ? cos4 ? ? (sin 2 ? ? cos2 ? )2 ? 2sin 2 ? cos2 ? ; 3 17 (4) . 25 sin ? sin ? 1 2 1 ? . 7、由已知可求得 cos? cos ? ? , sin ? sin ? ? ,于是 tan ? tan ? ? cos ? cos ? 2 5 5

8、 (1)左边= 2cos2 2? ?1 ? 4cos2? ? 3 ? 2(cos2 2? ? 2cos2? ? 1)
? 2(cos 2? ? 1)2 ? 2(2cos2 ? )2 ? 8cos4 ? =右边

(2)左边=
?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 2 2cos ? ? 2sin ? cos ? 2cos ? (cos ? ? sin ? )

sin ? ? cos? 1 1 ? tan ? ? =右边 2cos? 2 2 sin(2? ? ? ) ? 2cos(? ? ? )sin ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 2cos(? ? ? )sin ? ? (3)左边= sin ? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin ? sin ? =右边 ? sin ? sin ?
第 47 页 共 47 页

数学必修四答案详解
(4)左边=
3 ? 4cos 2 A ? 2cos 2 2 A ? 1 2(cos 2 2 A ? 2cos 2 A ? 1) ? 3 ? 4cos 2 A ? 2cos 2 2 A ? 1 2(cos 2 2 A ? 2cos 2 A ? 1)
(1 ? cos 2 A) 2 (2sin 2 A) 2 ? ? tan 4 A =右边 (1 ? cos 2 A) 2 (2cos 2 A) 2

?

? 9、 (1) y ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 ? 5? 递减区间为 [ ? k? , ? k? ], k ? Z 8 8
(2)最大值为 2 ? 2 ,最小值为 2 ? 2 .

? 10、f ( x) ? (cos2 x ? sin 2 x)(cos2 x ? sin 2 x) ? 2sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ? ) 4 (1)最小正周期是 ? ; ? ? ? 5? ? 3? (2)由 x ?[0, ] 得 2 x ? ?[ , ] ,所以当 2 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 的 2 8 4 4 4 4 3? 最小值为 ? 2 . f ( x) 取最小值时 x 的集合为 { } . 8 ? 11、 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? cos2x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4
(1)最小正周期是 ? ,最大值为 2 ? 1 ;

? ? (2) f ( x) 在 [? , ] 上的图象如右图: 2 2 ? 12、 f ( x) ? 3sin x ? cos x ? a ? 2sin( x ? ) ? a . 6 (1)由 2 ? a ? 1 得 a ? ?1 ; 2? (2) {x 2k? ≤ x ≤ ? 2k? , k ? Z} . 3 13、如图,设 ?ABD ? ? ,则 ?CAE ? ? , h h AB ? 2 , AC ? 1 sin ? cos ? 1 hh ? 所以 S?ABC ? ? AB ? AC ? 1 2 , (0 ? ? ? ) 2 sin 2? 2 ? ? 当 2? ? ,即 ? ? 时, S?ABC 的最小值为 h1h2 . 2 4

(第 12 (2) 题)

E C
h1 l1

A
h2

D

?
(第 13 题)

B

l2

第三章 复习参考题 B 组(P147)

1 ? 4 ?sin ? ? cos ? ? 5 ,及 0 ≤ ? ≤ ? ,可解得 sin ? ? , 1、解法一:由 ? 5 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?

第 48 页 共 48 页

数学必修四答案详解
1 3 24 7 , cos2? ? ? , cos? ? sin ? ? ? ,所以 sin 2? ? 5 5 25 25 ? ? ? 31 2 sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? . 4 4 4 50 1 1 24 解法二:由 si? 得 (sin ? ? cos? )2 ? , sin 2? ? ,所以 n ? c? o? s 5 25 25 49 . cos2 2? ? 625 ? 2 1 又由 sin ? ? cos? ? ,得 sin(? ? ) ? . 4 10 5 ? ? 3? 因为 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ? ?[? , ] . 4 4 4

? ? ? 而当 ? ? ?[? ,0] 时, sin(? ? ) ≤ 0 ; 4 4 4 ? 2 2 ? ? 3? ? 当 ? ? ?[ , ] 时, sin(? ? ) ≥ . 4 2 10 4 4 4 ? ? ? ? 所以 ? ? ? (0, ) ,即 ? ? ( , ) 4 4 4 2 ? 31 2 ? 7 所以 2? ? ( ,? ) , cos2? ? ? . sin(2? ? ) ? 4 50 2 25 1 1 2、把 cos? ? cos ? ? 两边分别平方得 cos2 ? ? cos2 ? ? 2cos? cos ? ? 2 4 1 1 把 sin ? ? sin ? ? 两边分别平方得 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? 3 9 13 把所得两式相加,得 2 ? 2(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? , 36 13 59 即 2 ? 2cos(? ? ? ) ? ,所以 cos(? ? ? ) ? ? 36 72 ? 4 3 3 3 4 3 ? 4 cos ? ? ? 3、由 sin(? ? ) ? sin ? ? ? 可得 sin ? ? , sin(? ? ) ? ? . 3 5 2 2 5 6 5 ? ? ? ? ? 3 又 ? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? ? ,于是 cos(? ? ) ? . 2 3 6 6 6 5 ? ? 3 3?4 所以 cos ? ? cos[(? ? ) ? ] ?
6 6 10

4、

sin 2 x ? 2sin x 2sin x cos x ? 2sin 2 x 2sin x cos x(cos x ? sin x) ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 1 ? tan x ? ? sin 2x ? sin 2x tan( ? x) 1 ? tan x 4 17? 7? 5? ? ? 3 由 得 ?x? ? x ? ? 2? ,又 cos( ? x) ? , 12 4 3 4 4 5 ? 4 ? 4 所以 sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? 4 5 4 3
2

第 49 页 共 49 页

数学必修四答案详解
? ? ? ? ? ? 2 所以 cos x ? cos[( ? x) ? ] ? cos( ? x)cos ? sin( ? x)sin ? ? ,
4 4 4 10

4 4 4 2 sin 2 x ? 2sin x 28 7 2 7 ?? , sin x ? ? , sin 2 x ? 2sin x cos x ? , 所以 1 ? tan x 75 10 25

5 、 把 已 知 代 入 sin 2 ? ? cos2 ? ? (sin? ? cos? )2 ? 2sin? cos? ? 1 , 得
(2sin ? )2 ? 2sin 2 ? ? 1 .

变形得 2(1 ? cos 2? ) ? (1 ? cos 2? ) ? 1 , 2cos 2? ? cos 2? , 4cos2 2? ? 4cos2 2? 本题从对比已知条件和所证等式开始,可发现应消去已知条件中含 ? 的三角函 数. 考虑 sin ? ? cos ? , sin ? cos? 这两者又有什么关系?及得上解法. 5、6 两题上述解法称为消去法 ? 6、 f ( x) ? 3sin 2x ? 1 ? cos2x ? m ? 2sin(2x ? ) ? m ? 1 . 6 ? ? ? 7? 由 x ?[0, ] 得 2 x ? ?[ , ] ,于是有 2 ? m ? 1 ? 6 . 解得 m ? 3 . 2 6 6 6 ? 的最小值为 f ( x)? 2 s i n x (? 2 ? ) x? 4 (R ) ?2 ? 4 ? 2 , 6 ? 3? 2? 此时 x 的取值集合由 2x ? ? ? 2k? (k ? Z ) ,求得为 x ? ? k? (k ? Z ) 6 2 3 7、设 AP ? x , AQ ? y , ?BCP ? ? , ?DCQ ? ? ,则 tan ? ? 1 ? x , tan ? ? 1 ? y 于是 tan(? ? ? ) ?
2 ? ( x ? y) ( x ? y ) ? xy

又 ?APQ 的周长为 2,即 x ? y ? x2 ? y 2 ? 2 ,变形可得 xy ? 2( x ? y) ? 2 于是 tan(? ? ? ) ? 又 0 ?? ? ? ?
2 ? ( x ? y) ?1 . ( x ? y ) ? [2( x ? y) ? 2]

?
2

,所以 ? ? ? ?

?
4

, ?PCQ ?

?
2

? (? ? ? ) ?

?
4

.

1 ? ?sin ? ? cos ? ? 8、 (1)由 ? 5 ,可得 25sin 2 ? ? 5sin ? ?12 ? 0 2 2 ?sin ? ? cos ? ? 1 ?

4 3 解得 sin ? ? 或 sin ? ? ? (由 ? ? (0, ? ) ,舍去) 5 5 1 3 4 所以 cos ? ? ? sin ? ? ? ,于是 tan ? ? ? 5 5 3

(2)根据所给条件,可求得仅由 sin ? ,cos ? , tan ? 表示的三角函数式的值,
sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? ? 例如, sin(? ? ) , cos 2? ? 2 , , ,等等. 2 tan ? 3sin ? ? 2cos ? 3
第 50 页 共 50 页


更多相关文档:

人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)_图文

人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学必修 4 课后习题答案(截取自教师用书 人教版高中数学必修 4 课后习题...

人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)

人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)_...

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

高中数学B版 必修4 教科... 15页 免费喜欢此文档的还喜欢 高中数学必修1课后习题及... 26页 2下载券 人教A版新课程标准数学必... 12页 免费人...

高中数学B版必修4教科书课后习题参考答案

高中数学B版必修4教科书课后习题参考答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学B版必修4教科书课后习题参考答案_数学_高中教育_教育...

人教版数学必修4三角函数课后习题详解

人教版数学必修4三角函数课后习题详解_高二数学_数学_高中教育_教育专区。新课程标准数学必修 4 第一章课后习题解答第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 练习(...

人教版数学必修4第三章课后习题答案(清晰详解)

人教版数学必修4第三章课后习题答案(清晰详解)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。希望能够帮到大家。今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...

人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)

高中数学必修5课后答案 48页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 人教版高中数学必修4课后习题答案(截...

高中数学人教版必修4全套教案

高中数学人教版必修4全套教案_数学_高中教育_教育专区。第 1,2 课时 1.1.1...②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的 联系与区别. 8.课后作业:...

人教版新课标高中数学必修4 全册教案

人教版新课标高中数学必修4 全册教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人教版...②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系 与区别. 8.课后作业:...

高一数学必修4全册习题(答案详解)

高一数学必修4全册习题(答案详解)_数学_高中教育_教育专区。高一三角同步练习 1...人教版高中数学必修4课后... 50页 免费 新课程高中数学测试题组... 48页 5...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com