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选修2-1向量法求角1(1)


选修 2-1 向量方法求空间角和距离 2014。7
1.两条异面直线的夹角 (1)定义:设 a,b 是两条异面直线,在直线 a 上任取一点作直线 a′∥b,则 a′与 a 的夹角 叫做 a 与 b 的夹角. (2)范围:两异面直线夹角 θ 的取值范围是_____________ (3)向量求法:设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ=|cos〈m1,m2〉|. 2.直线与平面的夹角 定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角. 向量求法: 设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ=|cos〈m,n〉|. 3.二面角的向量求法: 1° 如图①,AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ= → ,CD → 〉. 〈AB

2° 如图②③,n1,n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉. 注意:利用向量求空间角的步骤
第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 4.点面距的求法 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量, → |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离 d= . |n| 注意:求点到平面的距离,若用向量知识,则离不开以该点为端点的平面的斜线段,
1

题型一 求异面直线所成的角 例1 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成 ( 30 10 2 15 C. 10 3 10 D. 10 )

角的余弦值为 A. 10 10 B.

已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,AA1 =2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 ( A. 10 10 1 B. 5 ) 3 10 C. 10 3 D. 5

题型二 求直线与平面所成的角 例2 如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,

AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 的中点. (1)证明:PE⊥BC; (2)若∠APB=∠ADB=60° ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键,本题可通过建立坐标系,利用待 定系数法求出平面 PEH 的法向量. (1)证明 以 H 为原点,HA,HB,HP 所在直线分别为 x,y,z 轴, 线段 HA 的长为单位长度,建立空间直角坐标系(如图), 则 A(1,0,0),B(0,1,0). 1 m ? 设 C(m,0,0),P(0,0,n) (m<0,n>0),则 D(0,m,0),E? ?2, 2 ,0?. 1 m → ? → 可得PE=? ?2, 2 ,-n?,BC=(m,-1,0). → → m m 因为PE· BC= - +0=0,所以 PE⊥BC. 2 2
2

(2)解 由已知条件可得 m=- 故 C?-

3 ,n=1, 3

?

3 3 ? 3 ? ? ? ?1 ,0,0 ,D 0,- ,0 ,E ,- ,0 , 3 3 6 ? ? ? ?2 ?

P(0,0,1). 设 n=(x,y,z)为平面 PEH 的法向量, → ? ? HE=0, ?1x- 3y=0, ?n· 6 则? 即?2 → ? ? HP=0, ?n· ?z=0. → 因此可以取 n=(1, 3,0).又PA=(1,0,-1), 2 → 所以|cos〈PA,n〉|= . 4 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 2 .{ 4

(2013· 湖南)如图,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC, ∠BAD=90° , AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

题型三 求二面角 例3 (2013· 课标全国Ⅱ)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别 2 AB. 2

是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

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思维启迪 根据题意知∠ACB=90° ,故 CA、CB、CC1 两两垂直,可以 C 为原点建立空间直角坐标系, 利用向量求二面角. (1)证明 连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. 又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解 由 AC=CB= 2 AB 得,AC⊥BC. 2

→ → 以 C 为坐标原点,CA的方向为 x 轴正方向,CB的方向为 y 轴正方 → 向,CC1的方向为 z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), → → → CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1=(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, → ? ? CD=0, ?n· ?x1+y1=0, 则? 即? 可取 n=(1,-1,-1). ?2x1+2z1=0. → ? ?n· CA1=0, ? 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量, → ? CE=0, ?m· 则? 可取 m=(2,1,-2). → ?m· CA1=0. ? 从而 cos〈n,m〉= n· m 3 6 = ,故 sin〈n,m〉= . |n||m| 3 3 6 . 3

即二面角 D-A1C-E 的正弦值为

思维升华 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面 的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 训练:1。如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,C 是 AB 的中点,D 为 AC 的中点. (1)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B-PA-C 的余弦值.

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2. (2013· 江西)如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, E 为 BD 的中点, 3 G 为 PD 的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA= ,连接 CE 并 2 延长交 AD 于 F.

(1)求证:AD⊥平面 CFG; (2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

题型四 求空间距离 例4 已知正方形 ABCD 的边长为 4,CG⊥平面 ABCD,CG=2,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则点 C

到平面 GEF 的距离为________. 思维启迪 所求距离可以看作 CG 在平面 GEF 的法向量的投影. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz, → 则CG=(0,0,2),由题意易得平面 GEF 的一个法向量为 n=(1,1,3), → |n· CG| 6 11 所以点 C 到平面 GEF 的距离为 d= = . |n| 11 思维升华 求点面距一般有以下三种方法: ①作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;②等体积法;③向量法.其中向量法在易建立 空间直角坐标系的规则图形中较简便. (2012· 大纲全国改编)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,AB=2, CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则点 A 到平面 BED 的距离为 A.2 B. 3 C. 2 D.1 ( )

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9 练习 1.(2013· 山东)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是 4 边长为 3的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大 小为 ( )

5π A. 12

π B. 3

π C. 4

π D. 6

2.已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为________.

3. 如图所示,在几何体 ABCDE 中,△ABC 是等腰直角三角形,∠ABC=90° , BE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 BE=AB=2,CD=1,点 F 是 AE 的中点.求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值.

4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别为 BB1、CD 的中点,则点 F 到平面 A1D1E 的距离为________.

6

5.(2013· 天津)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (1)证明:B1C1⊥CE; (2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值; (3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 2 ,求线段 AM 的长. 6

6. 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC = 90° ,PA⊥平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB=2 3,BC=6. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的大小.

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7.(2013· 北京)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方 形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; BD (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值. BC1

8.如图,在三棱锥 S—ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90° ,O 为 BC 中点. (1)证明:SO⊥平面 ABC; (2)求二面角 A—SC—B 的余弦值.

9.(2011· 山东)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB=90° ,EA⊥平面 ABCD,EF ∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF. (1)若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM∥平面 ABFE; (2)若 AC=BC=2AE,求二面角 A-BF-C 的大小.

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10.(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S-ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三角形,AB =BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

11.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

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