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1.1.1算法的概念1


计算机与算法: 在现代社会里,计算机已经成为人 们日常生活和工作不可缺少的工具 .听音乐、看电影、玩游戏、画卡 通画、处理数据…计算机几乎可以 是一个全能的助手,你可以用它来 做你想做的任何事情.那么,计算 机是怎样工作呢?要想弄清楚这个 问题,就需要学习算法.

什么是算法?

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假如你的朋友不会发电子邮件,你怎么教

会他? 发电子邮件的方法很多,下面是其中的一种 操作步骤:

第一步 第二步 第三步 第四步 第五步

登录电子信箱; 点击 “写信” ; 输入收件人地址; 输入主题; 输入信件内容;

第六步 点击“发送”.

背景
假设家中生火泡茶有以下几个步骤: a.生火 b.将水倒入锅中 c.找茶叶 d.洗茶壶茶碗 e.用开水冲茶 请选出一个最优方案( ) A.abcde B.bacde C.cadbe D.dcabe

广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那 么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机 的算法,菜谱是做菜的算法等等.

我们做任何事情都是在一定条件下按某种 顺序执行的一系列操作。解决数学问题也是如 此。例如用加减消元法解二元一次方程组时, 就可以按照某一步骤进行操作。

请你写出解下面二元一次方程组的详细过程. ? x ? 2 y ? ?1 ①

② ③ 解:第一步, ① +②×2得 5x=1; 1 第二步, 解③得 x ? ; 5 第三步, ② -① ×2得 5y=3; ④ 3 第四步, 解④得 y ? ; 1 ? x? , 5 ? ? 5 第五步, 得到方程组的解为 ?
?y ? 3. ? 5 ?

? ?2 x ? y ? 1

你能写出解一般的二元一次方程组的步骤吗?

?a1 x ? b1 y ? c1 ? ?a2 x ? b2 y ? c2
第一步,

(1) (2)

? a1b2 ? a2b1 ? 0 ?

c1b2 ? c2b1 . 第二步,解(3)得 x ? a1b2 ? a2b1

第三步,

? a2b1 ? a1b2 ? y ? a2c1 ? a1c2.
第四步,解(4)得

(1) ? a2 ? (2) ? a1 得:

(4)

a2c1 ? a1c2 y? . a2b1 ? a1b2
c1b2 ? c2b1 ? ?x ? a b ? a b , ? 1 2 2 1 ? a c ? a c 2 1 1 2 ?y ? . ? a2b1 ? a1b2 ?

第五步,得到方程组的解为

探究新知 1.算法的定义
在数学中,算法通常是指按照一定规则 解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在, 算法通常可以编成计算机程序,让计算机执 行并解决问题.

2.算法的要求
(1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任 意一个二元一次方程组),并且能重复使用; (2) 算法过程要能一步一步执行,每一步执行的 操作,必须确切,不能含混不清,而且在有限步之 内完成后能得出结果.

3.算法的基本特征:
?明确性:算法对每一个步骤都有确切的、非二 义性的规定,即每一步对于利用算法解决问题的 人或计算机来说都是可读的、可执行的,而不需 要计算者临时动脑筋.

?有效性:算法的每一个步骤都能够通过基本运 算有效地进行,并得到确定的结果;对于相同的 输入, 无论谁执行算法 , 都能够得到相同的最终 结果.
?有限性:算法应由有限步组成,至少对某些输入 ,算法应在有限多步内结束,并给出计算结果.

?数据输入:算法一定要根据输入的初始数据或 给定的初值才能正确执行它的每一步骤. ?信息输出 : 一个算法至少要有一个有效的信 息输出,这就是问题求解的结果. ?不唯一性 : 求解某一个题的解法不一定是唯 一的, 对于一个问题可以有不同的算法.

练习题 1.下面的四种叙述不能称为算法的是( ) C (A)广播的广播操图解 (B)歌曲的歌谱 (C)做饭用米 (D)做米饭需要刷锅、淘米、添水、加 热这些步骤

2.下列关于算法的说法正确的是( D ) (A)某算法可以无止境地运算下去 (B)一个问题的算法步骤可以是可逆的 (C)完成一件事情的算法有且只有一种 (D)设计算法要本着简单、方便、可操

作的原则

3.下列关于算法的说法中,正确的是( ). C A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止

4.下列运算中不属于我们所讨论算法范 畴的是( B ). A. 已知圆的半径求圆的面积 B. 从一副扑克牌随意抽取3张扑克牌抽到 24点的可能性 C. 已知坐标平面内的两点求直线的方程

D. 加减乘除运算法则

5.下列语句表达中是算法的有( C ). ① 从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐 飞机抵达; ②利用公式 S = ah÷2 计算底为1高为2的 1 三角形的面积; ③ x>2x +4; 2 ④求M(1,2)与N(3,5)两点连线的方程可 先求MN的斜率再利用点斜式方程求得. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

问题1:“一群小兔一群小鸡,两群 合

到一群中,腿一共有48条,脑
袋共有17个,问一共有多少小 鸡?多少小兔?

我有2条腿 一个脑袋

我有4条腿 一个脑袋

解决步骤: 1.设未知数:设有x只小鸡,y只小兔 X+Y=17 2.列方程组;2X+4Y=48 3.解方程组; X=10 y=7 4.得到实际问题的答案。小鸡10只,小兔7只

例题
?例 2:(1)设计一个算法,判断7是否为质
数。
第一步,用2除7,得余数1,因为余数不是0,所以2不能除7. 第二步,用3除7,得余数1,因为余数不是0,所以3不能除7. 第三步,用4除7,得余数3,因为余数不是0,所以4不能除7. 第四步,用5除7,得余数2,因为余数不是0,所以5不能除7. 第五步,用6除7,得余数1,因为余数不是0,所以6不能除7.

变式:设计一个算法,判断35是否为质数。
第一步,用2除35,得余数1,因为余数不是0,所以2不能除35. 第二步,用3除35,得余数2,因为余数不是0,所以3不能除35.

第三步,用4除35,得余数3,因为余数不是0,所以4不能除35. 第四步,用5除35,得余数0,因为余数是0,所以5能除35. 因此,35不是质数.

例题

?变式: 任意给定一个大于2的整数n,
试设计一个程序或步骤对n是否为质数 做出判断。

第一步:给定大于2的整数n. 第二步:令i=2 第三步:用i除n,得到余数r. 第四步:判断”r=0”是否成立,若是, 则n不是质数,结束算法;否则,将i的 值增加1,仍用i表示,即:i=i+1. 第五步:判断”i>(n-1)”是否成立,若 是,则n是质数,结束算法;否则,将 返回第3步.

练习
1.任意给定一个正实数a,试设计一个算 法求以a为直径的圆的面积. 解:第一步:输入a的值. a
计算 r ? 第二步:________________________.

2 2 第三步:________________________. 计算 S ? ? ? r
第四步:输出圆的面积的值.

例2:用二分法设计一个求方程 x2 ? 2 ? 0 ? x ? 0? 的近似根的算法 分析:
2 2

令f ( x) ? x ? 2, 则方程x ? 2 ? 0的解就是函数f ( x)的零点。

二分法的基本思想:

对于区间[a,b ]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在 的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点或其近似值的方法叫做二分法。

算法步骤:
第一步, 令 f ( x) ? x ? 2 ,给定精确度d.
2

第二步, 给定区间[a,b],满足f(a) · f(b )< 0 . a?b 第三步, 取中间点 m ? . 2 第四步, 若f(a) · f(m) < 0,则含零点的区间为 [a,m];否则,含零点的区间为[m, b]. 将新得到的含零点的仍然记为[a,b]. 第五步,判断f(m)是否等于0或者[a,b]的长 度是否小于d,若是,则m是方程的近似解;否 则,返回第三步.

当d=0.005时,按照以上算法,可得下面表和图. a 1 1 1.25 1.375 1.375 1.406 25 1.406 25 1.414 625 1.414 062 5 b 2 1.5 1.5 1.5 1.437 5 1.437 5 1.421 875 1.421 875 1.417 968 75 |a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25

y=x2-2

1

1.25 1.375

1.5

2

于是,开区间(1.4140625,1.41796875)中 的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近 似解.


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