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2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第51讲 空间距离及计算 Word版含答案]


第 51 讲 空间距离及计算、展开与折叠问题

1.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D—ABC 的 体积为( ) a2 A. 6 C. a3 B. 12 D. 2 3 a 12 )

3 3 a 12

2.若长方体的三个面的对角线长分别是 a,b,c,则长方体体对角线长

为( 1 A. a2+b2+c2 B. a2+b2+c2 2 C. 2 2 3 2 a +b2+c2 D. a +b2+c2 2 2

3.三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点 O,点 P 到三个平面的距离比为 1∶2∶3,PO=2 14,则 P 到这三个平面的距离分别是( ) A.1,2,3 B.2,4,6 C.1,4,6 D.3,6,9 4.平面 α,β ,γ 两两互相垂直,且交于点 A,点 B 到 α,β ,γ 的距离均为 1,则 A、 B 两点之间的距离|AB|=( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

5.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都 2,E、F 分别是 AB、A1C1 的中点,则 EF 的长是________.

6.已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开图如图所示,则该凸 多面体的体积 V=__________.

7.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且 a>b>c >0.求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长.

1.如图,现有一块边长为 2 的正方形铁皮,其中 E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,做成一个垃圾铲,则它的体积为( ) A. 3 3 B. 3 2

C.1 D.2 2.在正方形 ABCD 中,E,F 分别是边 AB,BC 的中点,沿 DE,DF,EF 把这个正方 形折成一个四面体,使 A,B,C 三点重合,重合后的点记为 P,那么在四面体 P-DEF 中 DF 与平面 PEF 所成的角的余弦值为____________. 3.如图(甲),在直角梯形 ABED 中,AB∥DE,AB⊥BE,AB⊥CD,且 BC=CD,AB =2,F、H、G 分别为 AC、AD、DE 的中点,现将△ACD 沿 CD 折起,使平面 ACD⊥平面 CBED,如图(乙).

(1)求证:平面 FHG∥平面 ABE; (2)记 BC=x,V(x)表示三棱锥 B-ACE 的体积,求 V(x)的最大值.

第 51 讲 巩固练习 1.D 2.C 3.B

4.C 解析:由题意构造如图所示的棱长为 1 的正方体, 则|AB|= 12+12+12= 3.故选 C. 5. 5 6.1+ 2 6

7.解析:将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所示.

三个图形甲、乙、丙中 AC1 的长分别为: (a+b)2+c2= a2+b2+c2+2ab, a2+(b+c)2= a2+b2+c2+2bc,

(a+c)2+b2= a2+b2+c2+2ac, 因为 a>b>c>0,所以 ab>ac>bc>0. 故最短线路的长为 a2+b2+c2+2bc. 提升能力

1.A 解析:所得的垃圾铲如图所示,取 CD 的中点 O,连接 OE、OP, 则 OE=2,OC=1,PC=PD=2, 所以 OP= 22-12= 3,又 PE=1, 则∠OPE=90°, 1 3 所以 S△OPE= PE·OP= , 2 2

1 1 所以 VP-CDE= S△OPE·OC+ S△OPE·OD 3 3 1 3 = S△OPE·CD= . 3 3 2. 5 5

3.解析:(1)证明:由图(甲)结合已知条件知四边形 CBED 为正方形. 如图(乙)因为 F、H、G 分别为 AC、AD、DE 的中点, 所以 FH∥CD,HG∥AE. 因为 CD∥BE,所以 FH∥BE. 因为 BE?平面 ABE,FH?平面 ABE, 所以 FH∥平面 ABE,同理可得 HG∥平面 ABE, 又因为 FH∩HG=H, 所以平面 FHG∥平面 ABE. (2)因为平面 ACD⊥平面 CBED 且 AC⊥CD, 所以 AC⊥平面 CBED, 1 所以 V(x)=VA-BCE= S△BCE·AC, 3 因为 BC=x,所以 AC=2-x(0<x<2), 1 1 1 所以 V(x)= × x2(2-x)= x2(2-x) 3 2 6 = 1 x·x·(4-2x). 12

x+x+4-2x 3 64 解法 1:因为 x· x· (4-2x)≤( )= , 3 27 1 64 16 所以 V(x)≤ × = , 12 27 81 4 当且仅当 x=4-2x,即 x= 时取“=”, 3 16 所以 V(x)的最大值为 . 81 1 4 解法 2:因为 V′(x)= (4x-3x2),令 V′(x)=0 得 x=0(不合,舍去)或 x= , 6 3 4 当 x> 时 V′(x)<0, 3 4 当 0<x< 时 V′(x)>0, 3 4 4 16 所以当 x= 时 V(x)有最大值,V(x)max=V( )= . 3 3 81


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