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中学数学思想方法专题


中学数学思想方法
主讲人: 李 云 霞 ?: 3136752 e-mail: liyunx@cxtc.edu.cn

中学数学思想方法
? ? ? ? ? ? ? 基本概念 数学思想方法研究的内容、目的和意义 中学数学中的基本数学思想方法 几种重要的数学思想方法 数学推理方法和证明方法 数学思想方法的教学 案例分析

一、基本概念
1、什么是数学方法、数学思想和数学思想方 法? 目前没有明确的定义,尚未达成共识。 只能给出一种解释或界定。

数学方法的内容

宏观 微观

宏观的数学方法包括:数学模型、变换方法、对称方法、 无穷小方法、公理划分法、结构方法、实验方法等。 微观的数学方法大致可分为三类: 1、逻辑学中的方法 2、数学中的一般方法 3、数学中的特殊方法。

数学方法的四个层次
? ? ? ? 第一、基本和重大的数学思想方法; 第二、与一般科学方法相应的数学方法 第三、数学中特有的方法; 第四、中学数学中的解题技巧。

数学方法是指在数学的提出问题、
解决问题(包括数学内部问题和实际 问题)过程中,所采用的各种方式、 手段、途径等,其中包括变换数学形 式。 ? 数学思想和数学方法是紧密联系的, 一般来说,强调指导思想时称数学思 想,强调操作过程说称数学方法。

数学思想是对数学知识的本质认识,是某
些具体的数学活动和对数学的认识过程中提炼上升 的数学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普 遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指 导思想。例如:模型思想、极限思想、统计思想、 分类思想、化归思想、最优化思想等。

在中学数学活动中,数学思想方法主要体 现为一向三个层次: ? (1)数学各个分科的具体解题方法和解题 模式。 ? (2)适用面很广的一些“通法” ? (3)数学观念

二、研究中学数学思想方法目的 和意义。
1、研究中学数学思想的目的 九年制义务教育数学大纲规定: 国内外的研究一致认为: 从教材内容上看

研究数学思想方法的意义
数学思想方法是学生能力的重要组成部 分,是数学素质教育的主要内容。是深化数 学教学改革的突破口 。

三、中学数学中的基本数学思想 方法
? 在中学数学中,除了有观察、实验、归纳、 类比、分析、综合、抽象、概括、划分与比较等形 成的数学理论的方法,有一般的逻辑推理、证明 方法,以及化归、递推、等价转换、推广与限定等 常用的一般数学思想方法之外,还有着特有的一些 基本的数学思想方法: ? (1)用字母代替数的思想方法 ? (2)集合的思想方法 ? (3)数形结合思想方法

? (4)函数、映射、对应的思想方 法 ? (5)最优化的思想方法(极大、 极小、最 大、最小等) ? (6)分类的思想方法 ? (7)参数的思想方法 ? (8)统计思想和数据处理方法

观察与实验

试验(实验)就是按照科学研究目的,
根据研究对象的自然状态和自身发展规律, 人为地设置条件,来引起或控制事物现象 的发生或发展过程,并通过感观来认识对 象和规律的方法。 任何试验都和观察相联系,观察是试验 的前提,试验是观察的证实和发展。

观察就是人们对事物或问题的数学特
征通过视觉获取信息,运用思维辨认其形 式、结构和数量关系,从而发现某些规律 或性质的方法。 在数学知识的发现和解决问题的过程中, 观察法是常用的有效的方法。

观察法和试验法的作用及其在中学 数学教学中的体现
1、观察法在教学中的体现 (1)观察法在数学概念教学中的作用 如中学的有关数、形、函数的概念。 引如正、负数的概念,平行四边形, 等腰三角形等等。

(2)观察法在发现数学定理、 公式中的作用

如: 有理数的加法、乘法法则,指数 函数的性质,等腰三角形,平行四边形的 形式定理,勾股定理等等。

(3)观察是一种有效的解题方法
数学解题是一种需要透过观察去认识本 质,找出问题的内在联系和规律。 例1: 分解因式

?x

2

? 3x ? 4 x ? 3x ? 5 ? 14
2

??

?

2、实验法在数学教学中的体现
? (1)特例实验 是指在解决数学问题过程中,按照一定的 方向,取特例进行探索、试验,从中探求解 决问题的方向和途径,并发现其中的规律。 如:1、正多面体的面数、棱数和顶点数的关 系的探索。 ? f ? v ? e ? 2? ( 七年级上) 2、勾股定理的结论的探索(北师大版新教本) 八年级(上)

(2)定性实验
是探索研究对象的质的规定性的方法, 它往往用来检验对象具有某些性质,某种 因素是否存在,因素之间存在什么关系等, 换言之,其目的在于验证和修正猜想,使 猜想更趋于数学真理。 例:对于哥德巴赫猜想:“任何一个大于4的 偶数均可表示成两奇数之和”。 如:考察偶数28,28=23+5。

(3)定量实验
是以探索数学对象的量的变化和其规律为直接 目的的实验,即是用来测定对象的数值、数量之间 的实验。其主要目的在于形成猜想。一般而言,定 性实验是基础;定量实验是定性实验的精确化,其 结果更具说服力。

例:证明“三角形的内角和定理” 讲授时,一般通过定性实验发现定理再证明。

划分与比较

一、划分的标准、意义及规则
划分是指按照事物间的异同,将相同性
质的对象归为一类,不同性质的对象归入不 同类别的思维方法。每一种分类都按照一定 的标准进行。其标准应根据研究的目的或观 察问题的角度来确定。划分的意义在于使知 识条理化,并进而系统化,促进认知结构的 发展。

数学上的划分包括对概念的划分、对性质 的划分、方法的整理以及解题中分域讨论等。 任何划分都包含了3个部分:划分的母项、 划分的子项以及划分的标准。 1、对概念的划分 (1)划分的几种形式
一次划分,连续划分,复分,二分法 (2)划分的基本要求 划分必须是相称的,划分的各个子项之间的关系必须是不 相容关系,每次划分必须按同一标准,划分不能越级。

2、对对象的划分

比较
比较是确定有关事物的共同点和不同点的 思维方法。 比较的过程是:先对有关事物进行分析, 得出哪些方面具有共同点,哪些方面又有区 别性,从而鉴别事物间的异同。比较包括量 的比较、形式的比较、性质的比较等。比较 的目的是认识有关事物的区别和联系,明确 相互之间存在的同一性和相似性。

例: 一元一次不等式的教学与一元一次 方程的教学比较等

分析与综合
分析是指对研究对象的整体进行分解、剖 析,以达到认识对象的各个部分的性质或各 个部分在整体中的作用所采用的思维方法。 例如:研究数的概念时,把实数分为有理 数和无理数,把有理数分为整数、零和负数, 再把正数分为正整数和正分数来逐一研究, 从而认识各种数的实际意义及其运算等,这 种研究方法就是分析法。

有时分析法还特指从结果出发追溯其产生 原因的思维方法,即执果索因法。

数学中的分析法一般有:筛选法、矛盾分 析法、可溯分析法。

综合方法
综合法是在分析的基础上把对研究对象 的各个部分或要素的认识有机地结合起来,以 形成对研究对象整体认识的思维方法。 综合是以已知性质和分析为基础的,从已 知出发逐步推求未知的思考方法,即由因导果。

用字母代替数的思想方法
中学数学中最基本的方法之一

集合的思想方法

数形结合思想方法
实质是将抽象 ? 的数学语言与直观 ? 图形结合起来,使 抽象思维与形象思 ? 维结合起来,发挥 数与形两种转换及 ? 其优势互补与整合 。
关于数与形,华罗庚 教授评价: 数与形,本是相倚依,焉 能分作两边飞; 数无形时少直觉,形少数 时难入微; 数形结合百般好,隔离分 家万事休; ? 切莫忘,几何代数流一体, 永远联系切莫分离。

四、几种重要的数学方法
1、数学解决问题的一般方法-------化归 方法:(转化与归结的简称)
基本思想: 人们在解决数学问题说,常常将待解 决的问题A,通过某种转化手段,归结为另 一个问题B,而问题B是相对较易解决或已 有固定解决程式的问题,且通过对问题B解 决可得原问题A的解答。

化归的一般原则:
? ? ? ? ? (1)化归简单化原则; (2)和谐统一性原则; (3)具体化原则; (4)标准形式化原则; (5)低层次原则。

2、数学模型方法
(通过建立数学模型来解决问题的方法即是数学模型方法。)

数学模型: ? 从广义理解,凡一切数学概念、 数学公式、关系式、几何图形、定 理、原理以及由公式系列构成的算 法系、理论体系都是数学模型。

?

从狭义理解(作为研究解决原 型问题工具的数学模型)数学模型 只指那些反映特定问题或待定具体 事物系统的形式化的数学符号关系 结构,即联系一个系统中各量间内 在关系的数学表征。如可用代数方 程表示一类应用题的数学模型。

数学模型方法:
? 是指通过建立数学模型来解决实际问题 的一种方法。一般分三步进行: ? (1)对现实问题进行抽象,建立数学模型; ? (2)对建立的模型进行推算和演算,数学 地求得模型的解; ? (3)把模型的解返回到现实问题中去,检 验数学模型的符合程度或获得现实问题的 解。

建立数学模型的基本原则:
? (1)简化原则 ? (2)可推演原则 ? (3)反映性原则

现实原形问题

数学抽象 简化原则

数学模型


检 验

推 演 原 则 反映性原则 返回解释

数 学 推 导

现实原形问题的解

数学模型的解

中学数学解题中的模型:
? ? ? ? 例:二次函数 中学数学里常见的应用模型: 例: 单利、复利和折旧问题(249页) 例: 利润函数问题(251页)

运用数学模型方法的五个环节:
? 第一环节:对现实原形要分析其对 象及关系结构的性质,以确定所要 建立数学模型的类别和所要选用的 数学方法 。

? 第二环节:确定能够反映所要研究 问题的基本量和关系,分辩哪些量 和量的关系是主要的,哪些次要的, 可略而不计的。 ? 第三环节:进行数学抽象。 ? 第四环节:对模型进行数学推导和 计算,得出数学结果或参数估计 ? 第五环节:检验模型。

数学模型能力的培养:
? 逐步培养学生的以下诸能力: ? (1)理解实际问题的能力。 ? (2)洞察能力,即善于抓住系统要点的能 力。 ? (3)抽象分析问题的能力 。 ? (4)“翻译”能力。 ? (5)运用数学知识的能力 ? (6)通过实际加以检验的能力

3、公理化方法
就是从一组原始概念和一组公理出发, 运用逻辑推理,吧一门学科理论建成演绎 系统的方法,具体形态有三种:实体性公 理化方法、形式公理化方法、和纯形式公 理化方法。 1、 公理化方法的逻辑特征:无矛盾性 (相容性或协调性),独立性和完备性。

公理化方法的意义和作用
(1)对数学的发展起到了巨大的作用。
(2)公理化方法的“整理”作用及其理论构 建逻辑演绎体系的功能,有助于培养学生 的逻辑思维能力。

五、数学推理方法和证明方法
1、推理与推理方法
推理规则: (1)三段论推理规则(2)联言推理规则 (3)选言推理规则 (4)分离规则 (5)否定推理规则 (6)逆否规则

数学推理
(按推理形式分)

演绎法 归纳法 类比法

数学推理
(按结论的可信度分)

必真推理 似真推理

2、证明与证明方法
证明要求论题真实,论据确凿,论证严密。 证明方法:讨论两种特殊的方法:数学归纳法 与反证法。 反证法:当证明论题 p ? q 时,不去直接证明 它,而把 作为前提,加进原论题的前提,并根 据已知真命 题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前 提相矛盾的结论,或者导出自相矛盾的结论,从而 确立论题的真实性,这种证明命题的方法叫反证法。 这是一种间接证法。

q

反证法:当证明论题 p ? q 时,不去 直接证明它,而把 作为前提,加进原 论题的前提,并根据已知真命题和推理 规则推出与另一已知真命题或原论题的 前提相矛盾的结论,或者导出自相矛盾 的结论,从而确立论题的真实性,这种 证明命题的方法叫反证法。 这是一种间接证法。
q

反证法的五种形式:
第一种形式:是通过证明逆否命题来证 明原命题。
第二种形式:是把 作为前提,与已知 前 提 p合取推出前提 p 互相矛盾的结果 。

q

q

第三种形式:是把 作为前提,与已知 前提 p 合取推出 互相矛盾的两个命题与。其中包括与公 理、定理、 已知真命题相矛盾的情形。

q

第四种形式:是把 作为前提,与已 知 p 前提合取推出 与矛盾的命题q 。

第五种形式:是把 与原命题的前提 p 中的合取推出与 前提中的 p ?相矛盾的 命题 ? 。

p

q

q q

综合五种形式可以看出: 推出的矛盾大致有:与已知条 件矛盾,与假设矛盾、自相矛盾、 与已知真命题或事实矛盾。

六、数学思想方法的教学:
? 如何贯彻数学思想方法的教学?
? (1)充分挖掘教材中的数学思想方法; ? (2)有目的有意识地参透、介绍有关数学 思想方法; ? (3)有计划有步骤地渗透、介绍有关的思 想方法。

(一)、数学思想方法的教学的原理: ? 1、数学思想方法教学的体现: ? (1)数学思想方法的教学是素质教育 的体现; ? (2)数学思想方法的教学有待提高;

2、数学思想方法的教学有待加强
? 当前数学思想方法的教学水平并不平 衡,存在不少误区: ? 重知识的记忆,轻思想的指导; ? 重知识的获取,轻知识探索; ? 重题型套路,轻思想方法的总结提高。

(二)数学思想方法的教学的原则:
? 1、同步并进原则 (1)思想方法蕴涵与基础知识中; (2)数学思想方法在教学中得到传播; (3)教学难点随着新方法的引入而出现。

? 2、螺旋上升原则 (1)同一教学方法概括着不同的数学知识 (2)数学思想方法的运用水平要逐步提高 ? 3、区别对待原则 ? 4、系统安排原则 (1)数学思想方法应体现在每节课教学中 (2)数学思想方法应贯穿与教学的全过程
? 5、自我构建原则

(三)符号化意识的培养:
? 1、数学符号意识有待 发展 ? 2、数学符号的阅读与 理解 ? 3、数学符号的鉴赏与 体会 ? 4、数学符号的探究与 挖掘 ? 5、数学符号的适当选 择 ? 6、数学符号的灵活应 用 ? 7、符号意识的阶段发 展 ? 8、符号错误的成因探 析 ? 9、符号意识应长期培 养 ? 10、符号能力宜综合 训练

? ? ? ? ?

(四)化归意识的培养 1、联系与转化——实现化归的条件 2、学会联想与想象,是寻找化归的 通途 3、从特殊化入手,是取得化归的启示 4、在解决问题中锻炼,提高化归纳能力

? (五)整体化意识的培养 ? 1、在概念与命题教学中培养整体意识 ? 2、在解题教学中培养整体意识

? ? ? ? ? ? ? ?

(六)帮助学生形成正确的数学观 1、全国数学课程重视正确学科观念的培养 2、中学生的数学观存在诸多片面性 3、培养正确数学观的策略: (1)统筹安排,及早培养; (2)明暗结合、逐步培养; (3)内外联系,交错培养; (4)面向全体,个别培养;

案例分析:
初中一年级(七年级 上册) (北京师反大学出版社) 所包含的数学思想方法及其教学


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