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高考数学复习不等式易错题精选及解析


高考数学复习不等式易错题精选及解析
三、解答题:
1.是否存在常数 c,使得不等式 恒成立? 错解:证明不等式

x y x y 对任意正数 x,y ? ?c? ? 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y

x y x y 恒成立,故说明 c 存在。 ? ? ? 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y


正 解 : 令

x=y

2 2 ?c? , 故 猜 想 3 3

c=

2 , 下 证 不 等 式 3

x ? 2x ? y
要证不等式

y 2 x y ? ? ? 恒成立。 ? x2 y 3 ? x 2 y 2? x y x y 2 因为 x,y 是正数, 即证 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2 (2 x+y) ? ? , 2x ? y x ? 2 y 3

(x+2y),也即证 3x2 ? 12 xy ? 3 y 2 ? 2(2x2 ? 2 y 2 ? 5xy) ,即 2xy≤ x 2 ? y 2 , 而此不等式恒 成立,同理不等式

2 2 x y ? ? 也成立,故存在 c= 使原不等式恒成立。 3 3 x ? 2 y 2x ? y

2 2.已知适合不等式 x ? 4 x ? p ? x ? 3 ? 5 的 x 的最大值为 3,求 p 的值。

错解:对此不等式无法进行等价转化,不理解“x 的最大值为 3”的含义。
2 正解:因为 x 的最大值为 3,故 x-3<0,原不等式等价于 x ? 4 x ? p ? ( x ? 3) ? 5 ,

即 ? x ? 2 ? x2 ? 4x ? p ? x ? 2 ,则 {

x 2 ? 5x ? p ? 2 ? 0(1) , x 2 ? 3x ? p ? 2 ? 0(2)

设(1) (2)的根分别为 x1、x2 ( x2 ? x1 ), x3、x4 ( x4 ? x3 ) ,则 x2 ? 3或x4 ? 3 若 x2 ? 3 ,则 9-15+p-2=0,p=8 若 x4 ? 3 ,则 9-9+p+2=0,p=-2 当 p =-2 时,原方程组无解,则 p=8

3. 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ,且 1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4 ,求 f ( ?2) 的取值范围。 解:令 f ( ?2) ? mf ( ?1) ? nf (1) 则 4a ? 2b ? m(a ? b) ? n(a ? b)

? 4a ? 2b ? (m ? n)a ? (m ? n)b
比较系数有 ?

? ?m ? n ? 4 ? ?m ? n ? 2

? ?m ? 3 ?? ? ?n ? 1 ? f ( ?2) ? 3 f ( ?1) ? f (1) ? 1 ? f ( ?1) ? 2 , 2 ? f (1) ? 4 ? 5 ? 3 f ( ?1) ? f (1) ? 10
即 5 ? f ( ?2) ? 10 说明:此题极易由已知二不等式求出 a、b 的范围,然后再求 4a ? 2b 即 f ( ?2) 的范 围,这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同,它们表示的区域也不一 定相同,用待定系数法则容易避免上述错误。 4.若 m ?R ,解关于 x 的不等式: (?m2 ? 3m ? 3) x ? ?m2 ? 3m ? 3 。 解:令 u ? ?m ? 3m ? 3
2

? u( x ? 1) ? 0

则 ux ? u

u( m) 的判别式 ? ? 9 ? 4 ? ( ?1) ? ( ?3) ? 0

?u ? 0 恒成立 ?x ?1 ? 0 ?原不等式的解为 x ? 1 说明:此题容易由 ux ? u 得出 x ? 1的错误结论。解有关不等式的问题,一定要注意
含参数的表达式的符号,否则易出错误。
|x |

5.解不等式: 2

? 2x ? 2 2

x 解:当 x ? 0 时,原不等式为 2 ?

2

?x ?

1 2
?x

当 x ? 0时,原不等式为 2

? 2x ? 2 2

? (2 x )2 ? 2 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ? 2 x ? 2 ? 1或 2 x ? 2 ? 1
又x ? 0

? 2x ? 1 ? 2x ? 2 ? 1 ? x ? l o g( 2 ? 1) 2
1 或x ? log 2 ( 2 ? 1) 2

?原不等式的解为 x ?

x 说明:此题易在 x ? 0 时 2 ?

2 ? 1 处出错,忽略了 x ? 0 的前提。这提醒我们分段

求解的结果要考虑分段的前提。 6.若 a ? 0 且 a ? 1 ,解不等式:

x loga x ? x 2 ? a ?2 解:若 a ? 1 ,两边取以 a 为底的对数

9

9 log a x ? ( ?2) 2 ? 2 log 2 a x ? 9 log a x ? 4 ? 0 log a x ? log a x ? ? log a x ? 4或 log a x ?
1

1 2

? x ? a 4 或x ? a 2
若 0 ? a ? 1 ,同样有,
2 2l o g a x ? 9l o g a x ?4 ? 0 1 ? ?log a x ? 4 2 1

? a4 ? x ? a 2 又x ? 0

?当 a ? 1 时不等式的解为 x ? a 或0 ? x ? a
4

1 2

当 0 ? a ? 1 时不等式的解为 a ? x ? a
4

1 2

说明:此题易在 a ? 1 时的解中出错,容易忽略 x ? 0 这个条件。解决对数问题要注意 真数大于 0 的条件。 7.方程 x 2 ? ( k ? 2) x ? 5 ? k ? 0 的两根都大于 2,求实数 k 的取值范围。 解:设方程的两根为 x1,x 2 ,则必有

?? ? 0 ? ?( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 0 ?( x ? 2)( x ? 2) ? 0 2 ? 1 2 ?( k ? 2) ? 4(5 ? k ) ? 0 ? ? ?? ( k ? 2 ) ? 4 ? 0 ?(5 ? k ) ? 2( k ? 2 ) ? 4 ? 0 ? ? ?5 ? k ? ?4
说明:此题易犯这样的错误:

? x1 ? 2,x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 4
且 x1 x 2 ? 4 和判别式 ? ? 0 联立即得 k 的范围 原因是 x1 ? 2和x2 ? 2 只是 x1 ? x2 ? 4 的充分条件 即 x1 ? x2 ? 4 不能保证 x1 ? 2和x2 ? 2 同时成立 2 2 2 , ],f(x)=2x +mx-1,若 x∈N,m∈M, 2 2

8.设集合 M=[-1,1],N=[- 8 求证|f(x)|≤ 9

证明:|f(x)|=|2x +mx-1|= |(2x -1)+mx|≤|(2x -1)|+|mx|= (2x -1)+|mx|≤(2x - 1)+| x| 1 8 8 2 =-2(| x|- ) + ≤ 4 9 9

2

2

2

2

2

错因:不知何时使用绝对值不等式。


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