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四川省泸州市2014届高三数学第三诊断考试试题 理


四川省泸州市 2014 届高三第三次教学质量诊断性考试 数 学(理工类)

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) 。第一部分 1 至 2 页,第二部分 3 至 4 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。 第一部分 (选择题 共 50 分) 注意事项: 用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答 案,不能答在草稿子、试题卷上。 一、本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项,只有一项是符合 题目要求的。

? (M ? N ) 是( 1、若 U ? {1, 2,3, 4} , M ? {1, 2} , N ? {2,3} ,则 U
A、 {1, 2,3} B、 {2} C、 {1,3, 4}

) D、 {4}

4 ??? ? z? z 对应的复数是( 2、如图,向量 OZ 对应的复数为 z ,则
A、 1 ? 3i 3、命题 B、 ?3 ? i ) B、 是假命题; D、 是真命题; C、 3 ? i

O
) D、 3 ? i

1

y 1 x

-1

Z

p : ?x ? (??, 0] , 2x ? 1 ,则( ? p :?x ? (??, 0] ,2 x ? 1 ? p :?x ? (??, 0] ,2 x ? 1

A、 是假命题; C、 是真命题;

p p

p p

? p :?x ? (??, 0] ,2x ? 1 ? p :?x ? (??, 0] ,2x ? 1

? 2 sin(? ? ) ? 4 10 ,则 sin ? 的值是( 4、已知 ? 为锐角,
3 A、 5



4 2 C、 10 D、 5 ?? ?? y [0,1] m ? ( x , y , z ) | m |? 1 发生的概率 x 5、在区间 上任取三个数 , , z ,若向量 ,则事件

7 2 B、 10

?

是(



? A、 12

1?
B、

? 6

1?
C、

?
12

? D、 6


1 ,2 ,3 , 6、 用0 , ?,9 这 10 个数字, 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 (
A、 324 B、 328 C、 360 D、 648

7、某厂生产甲、乙两种产品,生产甲种产品每单位需 A 种原料 8 克, B 种原料 24 克,每
1

单位利润 60 元;生产乙种产品每单位需 A 种原料和 B 种原料各 16 克,每单位利润 80 元。 现有 A 种原料 2400 克, B 种原料 2880 克,如果企业合理搭配甲、乙两产品的生产单位, 工厂可获得最大利润为( A、 12600 元 ) B、 12630 元 C、 12680 元 D、 13600 元

x2 y 2 3 ? 2 ?1 2 2 2 b 8、已知椭圆 C : a ( a ? b ? 0 )的离心率为 2 ,双曲线 x ? y ? 1的渐近线
与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 ,则椭圆 C 的方程( )

x2 y 2 ? ?1 2 A、 8
A、 28 ? 6 5 C、 56 ? 12 5

x2 y 2 ? ?1 B、12 6

x2 y 2 ? ?1 C、16 4
) B、 30 ? 6 5 D、 60 ? 12 5

x2 y 2 ? ?1 D、 20 5

9、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

4
正(主)视图 侧(左)视图

2

3

4

10、已知 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调函数, f '( x) 是 f ( x ) 的导函

x 数, 若对 ?x ? (0, ??) , 都有 f [ f ( x) ? 2 ] ? 3 , 则方程

f '( x) ?

4 ?0 x

侧视图

的解所在的区间是(



1 (0, ) 2 A、

1 ( ,1) B、 2

C、 (1, 2)

D、 (2,3)

第二部分 (非选择题 共 100 分) 注意事项: 必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答, 作图题可先用铅笔绘 出,确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、 二次函数

f ( x) ? x2 ? (2 ? log2 m) x ? m 是偶函数, 则实数 m ? _________。
2

12、在面积为 4cm 的扇形中,扇形周长的最小值为____________ cm 。 13、 已知 b 为如图所示的程序框图输出的结果, 则在 (1 ? y ) 的展开式中 y 的
b 19

系数为____________(用具体数字作答) 。

2

14、 抛物线 C :y ? 8x 的准线与 x 轴相交于点 P , 过点 P 斜率 k 为正的直线交 C 于两点 A 、
2

B , F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? ____________。
15、在 ?ABC 中, O 是其外接圆的圆心,其两边中线的交点是 G ,两条高线的交点是 H , 给出下列结论或命题:

??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? ??? ? ) AP ? ? ( ??? | AB | | AC | (? ? 0) ,则动点 P 的轨迹一定过点 H ; P (1)动点 满足
(2)动点 P 在 ?ABC 所在平面内,则点 G 与 P 重合时,使 PA ? PB ? PC 的值最小;
2 2 2

??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? AP ? ? ( ??? ? ??? ) | AB | cos B | AC | cos C (? ? 0) ,则点 P 的轨迹一定过点 O ; (3)动点 P 满足
(4) GH ? 2OG 。 其中正确结论或命题的序号是____________。 (填上所有正确结论或命题的序号)

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分)

f ( x) ? 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 2 2 已知函数 。
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)在面积为

?

3 的 ?ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 若

b ? f (? ) a sin B ? 3b cos A , 3 ,求 a 的值。

?

17、(本小题满分 12 分) 某市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试” ,测试成绩满分为 100 分,规 定测试成绩在 [85,100] 之间为体质优秀;在 [75,85) 之间为体质良好;在 [60,75) 之间为体 质合格;在 [0, 60) 之间为体质不合格。现从某校高三年级的 300 名学生中随机抽取 30 名学 生体质健康测试成绩,其茎叶图如下:

(Ⅰ)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数; (Ⅱ)根据以上 30 名学生体质健康测试成绩,现采用分层抽样的方法,从体质为优秀和良 好的学生中抽取 5 名学生,再从这 5 名学生中选出 3 人,记 ? 为选出的 3 名学生中体质为良 好的人数,求 ? 的分布列及数学期望。

4

18、(本小题满分 12 分) 已知 (Ⅰ)求

Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 68 , a7 ? 16 。 {an } 的通项公式;
{bn } 中, b1 ? a3 , b2 ? a1 , b3 ? a2 ,设 Tn ? b1 ? b2 ? b 3 ???? ? bn ,

(Ⅱ)在等比数列

rn ? Tn ?

1 Tn (n ? N ? ) ,求数列 {rn } 的最大项与最小项的值。

5

19、(本小题满分 12 分) 已 知 AB ? 平 面 A C D , DE ? 平 面 A C D , ?ACD 为 等边 三 角形 ,

B

F

AD ? DE ? 2 AB , F 在线段 CD 上。

A C F D

D ?2 F C (Ⅰ) 若F

, 试判断直线 AF 与平面 BCE 的位置关系, 并加以证明;

CF 5 (Ⅱ)当二面角 B ? AF ? E 的平面角的正弦值为 5 时,求 CD 的值。

20、(本小题满分 13 分)

?e2 x ? me x , x ? [ ? ln 2, 0] f ( x) ? ? x ? (0, ??) ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 ), ? ln x, 已 知 函 数
g ( x) ? 1 2 ax ? bx 2 。

(Ⅰ)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 内是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)当 x ?[? ln 2,0] 时,求函数 f ( x ) 的最小值;

C C (Ⅲ) 当 x ? 0 时, 设函数 f ( x ) 的图象 1 与函数 g ( x) 的图象 2 交于点 P 、Q , 过线段 PQ
的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 线与

C1 、 C2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切

C2 在 N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由。

21、(本小题满分 14 分)

A (0, 2) , B1 ( 6,0) , M (2,1) ,直线 l : 已知点 1

x?

4 6 3 ,若曲线 C 上的动点 P 到

6



B1 的距离等于 P 到直线 l 的距离的 a 倍且曲线 C 过点 A1 。

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设平行于 OM ( O 为坐标原点)的直线 1 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,且 1 交曲线

l

l

C 于两点 A 、 B 。
(ⅰ)求证:直线 MA 、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形; (ⅱ)若点 A 、 B 均位于 y 轴的右侧,求直线 MA 的斜率

k1 的取值范围。

7


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