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第2章---第5节


2012 ·优 化 探 究 ·高 考 总 复 习·数 学
课前知 识预习 课堂热 点精讲 高考考 向探究 课时知 能评估

一、指数幂的概念与性质

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有理指数 幂的运算

(1)ar·as=a r+s (a>0,r,s ∈Q),
(2)(ar)s= a rs (a>0,r,s ∈Q),

性质

(3)(ab)r= a r b r

(a>0,b>0,r ∈Q).

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二、指数函数

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答案:B 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

解析:对于A,1-x ∈R,∴y=31-x ∈R+. 答案:A
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3.已知f (x)=2x,则f-1(8)的值为(
A.-3 答案:B B.3 C.-2

)
D. 2

4.函数 f(x)=
答案:[0,1)

1 1-? ?x的值域为________. 2
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5.函数y=a x(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和是3,

则a的值是________.
答案:2

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【自主解答】

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解析:

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1 已知函数 y=( )|x+1|. 3 (1)作出函数的图象(简图); (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值,并求出最值.
【自主解答】 (1)解法一 由函数解析式可得

1 x+1 ? ? ? ? ?x≥-1?, 1 y=( )|x+1|=? 3 3 ? ?3x+1 ?x<-1?.
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解法二
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1 ①由 y=( )|x|可知函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称, 故 3

1 先作出 y=( )x 的图象保留 x≥0 的部分,当 x<0 时,其图象是将 y 3 1x 1 |x| =( ) (x≥0)图象关于 y 轴对折,从而得出 y=( ) 的图象. 3 3 1 1 + ②将 y=( )|x|向左平移 1 个单位,即可得 y=( )|x 1|的图象,如 3 3 图所示. (2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是 减函数. (3)由图象知当 x=-1 时,有最大值 1,无最小值.

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2.函数f (x)=ax-b的图象如图所示,其中a、b为常数,则下列结论正
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确的是(

)

A. a> 1, b< 0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

D.0<a<1,b<0
解析:所给图象是由f (x)=ax的图象左移得到的,故b<0,又因递 减性知,0<a<1,选D. 答案:D
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【自主解答】

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(2)原函数可看成以下三个函数的复合v=x2+1, u=av,y=u2-2u. 其中v=x2+1,在(-∞,0]上递减,在[0,+∞)上递增. a>1时,u=a v递增,

0<a<1时,u=a v递减.
y=u2-2u在(-∞,1)递减,[1,+∞)递增. 因此,a>1时,函数的增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0],值 域为[a2-2a,+∞); 0<a<1时,函数的增区间为(-∞,0],减区间为[0,+∞),值域为 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

[a2-2a,0).
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解析:
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∵μ=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8. 1μ 18 1 ∴y=( ) ≤( ) = . 2 2 256 1μ 又( ) >0, 2 1 ∴所求函数的值域是(0, ]. 256

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(12 分)定义在[-1,1]上的奇函数 f(x),已知当 x∈[-1,0]时, 1 a f(x)= x- x(a∈R). 4 2 (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值; (3)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围.

【思路分析】

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【规范解答】

(1)设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0],

1 a f(-x)= -x- -x=4x-a· 2x 4 2 ∴f(x)=a· 2x-4x,x∈[0,1]. · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 (2)∵f(x)=a· 2x-4x,x∈[0,1], 令 t=2x,x∈[1,2], a 2 a2 ∴g(t)=a· t-t =-(t- ) + . · · · · · · · · · · · · · ·5 分 2 4
2

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a 当 ≤1,即 a≤2 时,g(t)max=g(1)=a-1; 2 a a a2 当 1< <2,即 2<a<4 时,g(t)max=g( )= ; 2 2 4 a 当 ≥2,即 a≥4 时,g(t)max=g(2)=2a-4. 2 综上:当 a≤2 时,f(x)最大值为 a-1, a2 当 2<a<4 时,f(x)最大值为 , 4 当 a≥4 时,f(x)最大值为 2a-4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

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(3)因为函数f (x)在[0,1]上是增函数,

所以f ′(x)=a ln 2· 2x-ln 4· 4x
=2xln 2(a-2· 2x)≥0恒成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10分 ∴a-2· 2x≥0恒成立,a≥2· 2x恒成立. ∵2x∈[1,2],∴a≥4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12分 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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1 4.已知函数 f(x)=2 - |x|. 2
x

(1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取值范围.

1 解析:(1)当 x<0 时, f(x)=0,当 x≥0 时,f(x)=2x- x. 2 1 由条件可知 2x- x=2,即 22x-2· 2x-1=0, 2 解得 2x=1± 2. ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2).
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1 1 t (2)当 t∈[1,2]时,2 (2 - 2t)+m(2 - t)≥0, 2 2
t 2t

即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).

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近两年高考对指数和指数函数的考题主要是以其性质及图象为依 托,常与其他函数进行复合,试题以选择题、填空题为主,考查学 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

生计算能力和数形结合能力,属低档题.
预测2012年高考主要以指数函数的性质为主,利用性质比较大小

和解不等式为重点,同时关注解答题与导数的融合.

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ex+e x 1.函数 y= x -x的图象大致为( e -e


)

e2x+1 2 解析:y= 2x =1+ 2x . e -1 e -1 当 x>0 时,y>1,排除 C、D.又当 x>0 时,为减函数.

答案:A
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解析:

答案:[-3,1]

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3.定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(x)=f(x-2k)(k∈Z),且当 x∈(0,1) 2x 时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数; (3)当 m 取何值时,方程 f(x)=m 在(0,1)上有解?
解析:(1)当 x∈(-1,0)时, 2x f(x)=-f(-x)=- -x =- x . 4 +1 4 +1 2 ∵f(-x)=-f(x), ∴f(0)=-f(0), ∴f(0)=0.
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-x

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又 f(-1)=-f(1), ∴f(-1)=0,f(1)=0.

f(-1)=f(1-2)=f(1),

x 2 ? ?-4x+1 x∈?-1,0?, ? x ∴f(x)=? 2 ?4x+1 x∈?0,1?,

? ?0 x=0,±1

故 f(x)=f(x-2k)(k∈Z) 2 ? ?-4x-2k+1 x∈?2k-1,2k?, ? x-2k =? 2 ?4x-2k+1 x∈?2k,2k+1?, ? ?0 x=2k±1或2k.
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x -2 k

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