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福建省厦门一中2014届高三上学期期中数学理试题 Word版含答案


福建省厦门第一中学 2013—2014 学年度
第一学期期中考试

高三年数学试卷(理科)
2013.11

第Ⅰ卷(共 50 分)
一. 选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 已 知 集 合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0, x ? R}, B ? {x | x

? 5 x ? 0, x ? N } , 则 满 足 条 件
2 2 ?

A ? C ? B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 x 2. 由曲线 f ( x) ? e 与直线 y ? 1, x ? 1 所围成的图形面积是
A. e B. e ? 1
x 2

D.4 D. e ? 1
2

C. e ? 2
3

3.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? x ;命题 q : ?x ? R , x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的是 A. p ? q B. (?p ) ? q C. p ? (?q ) D. (?p ) ? (?q ) 4.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? (2,1) ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ?
?
?

?

?

3 3 B. ? 3 3 6. 函数 f ( x) ? x ? 2sin x 的图象大致是
A.

2 ,则 cos A ? sin A = 3 15 C. D. ? 3

15 3

? 7.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, an ?1 ? 3S n (n ? N ) ,则 S 6 ?

1 1 D. ? (45 ? 1) 3 3 8.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 ???? ? ??? ? ? ??? ? CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? 1? 1? 2? 1? 1? 1? 1? 2? A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 4 2 3 3 2 4 3 3 2 ? x ? 2 x, x ? 0 ? 2 9.若函数 f ( x) ? ? ,若 f (a ? 6) ? f (a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 2 ?2 x ? x , x ? 0 ? A. (??, ?2) ? (3, ??) B. (?2,3) C. (??, ?3) ? (2, ??) D. (?3, 2) 10.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于任意实数 x 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ,当
A. 4
4

B.

45

6 C. ? ( 4 ? 1 )

x ? [0,1] 时, f ( x) ? x 2 。若在区间 [?1,3] 内, g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有且只有 4 个零点,则实 1 1 1 1 数 m 的取值范围是 A. [ ? , 0) B. ( ? , 0) C. (0, ] D. (0, ) 4 4 4 4
第 1 页(共 4 页)

第Ⅱ卷

(非选择题共 100 分)
。 。 。 。 。

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.若 ΔABC 的面积为 2 3 , BC ? 2 , C ? 60? ,则角 A 为

? ? ? ? ? ? 12. 已知向量 a , b 夹角为 45? , a ? 1, 2a ? b ? 10 ; b ? 且 则
5? ? ) 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离是 6 3 14.已知函数 f ( x) ? lg(| x ? 2 | ? x ? a) 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是
13.在极坐标系中,点 (2, 15.已知函数 f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x 的图象为 C ,则如下结论中正确的序号是 ①图象 C 关于直线 x ?

11 2π π 对称; ②图象 C 关于点 ( , 对称; ③函数 f ( x) 在区间 0) 12 3 π 5π π [? , ] 上是增函数;④将 y ? 2sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . 12 12 6
16.某数表中的数按一定规律排列,如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限的.此表 中,主对角线上数列 1,2,5,10,17,?的通项公式 an ? 。 1 1 1 1 1 1 ? 1 2 3 4 5 6 ? 1 3 5 7 9 11 ? 1 4 7 10 13 16 ? 1 5 9 13 17 21 ? 1 6 11 16 21 26 ? ? ? ? ? ? ? ? 三.解答题:本大题共 6 小题,共 76 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题 12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ;等比数列 {bn } 中, b1 ? 1 .若

a3 ? S3 ? 14 , b2 S2 ? 12

? (I)求 an 与 bn ; (Ⅱ)设 cn ? an ? 2bn (n ? N ) ,数列 {cn } 的

前 n 项和为 Tn .若对一切 n ? N ? 不等式 Tn ? ? 恒成立,求 ? 的最大值.

π π , ?? ? ) 2 2 其部分图像如图所示. (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)已知横坐标分别为 ? 1 、1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上,记 ?MNP ? ? ,求 cos 2? 的值.
18. 本题 12 分) ( 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ,x ?R(其中 A ? 0, ? ? 0, ?

y
1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5 6

x

第 2 页(共 4 页) 19. (本题 12 分)某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到难共 12 关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币) .该 软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励 40 慧币;第二种,闯过第一关奖励 4 慧币,以后每一关比前一关多奖励 4 慧币;第三种,闯过第一关奖励 0.5 慧币,以后每一关 比前一关奖励翻一番 (即增加 1 倍) 游戏规定: . 闯关者须于闯关前任选一种奖励方案. (Ⅰ) ? 设闯过 n ( n ? 12 且 n ? N )关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为 An , Bn , Cn ,试求出

An , Bn , Cn 的表达式; (Ⅱ)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖
励方案?

20. (本题 12 分)如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90? . (Ⅰ) 求证:平面 PBC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ? 1 , AB =2 ,当三棱锥 P ? ABC 的体积最大 ? 时,在线段 AC 上是否存在一点 D ,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30 ?若存在,求 出 CD 的长;若不存在,说明理由。 (参考公式:棱锥的体积公式 V ? 1 Sh ,其中 S 表示底 3 P 面积, h 表示棱锥的高)

B C

A

第 3 页(共 4 页)

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 右焦点 F 是抛物线 C2 : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 2 a b 2 5 焦点, M ( , m) 是 C1 与 C2 在第一象限内的交点,且 MF ? 。 (Ⅰ)求 C1 与 C2 的方 3 3
21.(本题 14 分)已知椭圆 C1 : 程; (Ⅱ)设 A(0, t )(t ? 0) 为 y 轴上的动点,过点 A 作直线 l 与直线 AF 垂直,试探究直线 l 与 椭圆 C1 的位置关系。

Ks5u

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e , x ? R 的图象与 g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称。
x

(Ⅰ) 若直线 y ? kx ? 1 与 g ( x) 的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 判断曲线 y ? f ( x) 与曲线

f (a) ? f (b) 1 2 f (b) ? f (a) x ? x ? 1 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a ? b ,比较 与 的大小, 并 2 b?a 2 说明理由.
y?

Ks5u

第 4 页(共 4 页)

2013—2014 学年度第一学期期中考理科数学试题答题卷
题号 得分 二.填空题: 11. 三.解答题: 17.(本题满分 12 分) Ks5u 解: ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. 。 选择题 填空题 17 18 19 20 21 22 总分

姓名

准考证号

18.(本题满分 12 分) 解: 座号 班级

第 1 页(共 4 页)

座位号

19.(本题满分 12 分) 解:

20.(本题满分 12 分) 解: P

B C

A

第 2 页(共 4 页)

21.(本题满分 14 分) 解:

1

第 3 页(共 4 页)

22. (本题满分 14 分) 解:

Ks5u

第 4 页(共 4 页)

厦门一中 2013—2014 学年度第一学期期中考 高三年理科数学试题参考解答
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分.
1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A

二、填空题:每小题 4 分,满分 24 分.
11. 30? 12. 2 13. 1 14. a ? 2 15. ①② 16. n2 ? 2n ? 2

三、解答题(本大题共六小题,满分 76 分)
17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q ,
n ?1 则 an ? 1 ? (n ? 1)d , bn ? q ,由题意得: ?

?(1 ? 2d ) ? (3 ? 3d ) ? 14 ,?????2 分 ?q (2 ? d ) ? 12

解得 ?

?d ? 2 n ?1 ,?????4 分 ∴ an ? 2n ? 1, bn ? 3 ?????6 分 q?3 ?

(Ⅱ) ∵ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn )

? (1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1) ? 2(1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ?1 ) ? n 2 ? 3n ? 1
?????10 分 ∵ {Tn } 是递增数列,∴ Tn 的最小值为 T1 ? 3 , ?????11 分 Ks5u

又∵ Tn ? ? 恒成立,∴ ? ? 3 ,故所求的 ? 的最大值为 3 ?????12 分 18.解: (Ⅰ)由图可知, A ? 1 , ???1 分
-2 -1

y
1 O -1 1 2 3 4 5 6

x

∵ f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, ∴T ?



?

? 8,? ?

π . 4

?????????3 分

π π π π 3π ∴ ? ? ?? ? , ?? ? 2 2 4 4 4 π π π π ? ? ? , ? ? . ∴ f ( x) ? sin ( x ? 1) 。????????6 分 4 2 4 4 π π (Ⅱ) 解法一:∵ f (?1) ? sin (?1 ? 1) ? 0, f (1) ? sin (1 ? 1) ? 1, 4 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1,∴ M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,????????9 分 4
又 f (1) ? sin( ? ? ) ? 1 ,且 ?

π 4

∴ MN ? 5, MP ? 37, PN ? 即 cos ? ? ?

20 ,∴ cos ?MNP ?

5 ? 20 ? 37 3 ?? , 5 2 5 ? 20

3 7 ???(11 分) 于是 cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? ? , . ????(12 分) 5 25 π π 解法二: ∵ f (?1) ? sin (?1 ? 1) ? 0, f (1) ? sin (1 ? 1) ? 1, 4 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1,∴ M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,?????9 分 4 ???? ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? NM ? (?2, ? 1), NP ? (4, ? 2) , NM ? NP ? ?6 , NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,

???? ??? ? ? 3 NM ? NP ?6 3 则 cos ?MNP ? ???? ??? ? ? ? ,即 cos ? ? ? ?????11 分 ? ? 5 5 5?2 5 NM ? NP
于是 cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? ?

7 . ?????12 分 Ks5u 25

19.解: (Ⅰ)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列,∴ An ? 40n ,-------2 分 第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 4,公差也为 4 的等差数列, ∴ Bn ? 4n ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? 2n , 2

------------------------4 分

第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 0.5 ,公比为 2 的等比数列,

1 (1 ? 2n ) 1 ∴ Cn ? 2 -------------------------6 分 ? (2n ? 1) . 1? 2 2 2 (Ⅱ)令 An ? Bn ,即 40n ? 2n ? 2n ,解得 n ? 19 , ∵ n ? N , 且 n ? 12 ,∴ An ? Bn 恒成立. -----------------------------------8 分

1 n (2 ? 1) ,可得 n ? 10 , -------------------------------10 分 2 ∴当 n ? 10 时, An 最大;当 10 ? n ? 12 时, Cn ? An ,-----------------------------11 分
令 An ? Cn ,即 40n ? 综上,若你是一名闯关者,当你能冲过的关数小于 10 时,应选用第一种奖励方案; 当你能冲过的关数大于等于 10 时,应选用第三种奖励方案. -------------------12 分 20.解: (Ⅰ)∵ ?PAB ? ?PAC ? 90? ,∴ PA ? AB , PA ? AC . ∵ AB ? AC ? A ,∴ PA ? 平面 ABC ------------------------1 分 ∵ BC ? 平面 ABC ,∴ BC ? PA .------------------------2 分 ∵ ?ACB ? 90? ,∴ BC ? CA .∵ PA ? CA ? A ,∴ BC ? 平面 PAC .------------3 分 ∵ BC ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PAC .------------4 分 (Ⅱ)由已知及(Ⅰ)所证可知, PA ? 平面 ABC , B C ? C A , ∴ PA 是 三 棱 锥 P ? A B C 高 . ∵ PA ? 1 , AB =2 , ?ACB ? 90? , 设 的

?? ? ?ABC ? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 B C? A B o ? ? 2 c? , A C? A Bi n ? 2 s? . s ? in c s os 2? ?
Ks5u

1 ? ,此时 BC ? 2 c o s ? .------------7 分 2 4 3 4 ??? ? ??? ? )P ( 2, 0 , 1 ) , 以 C 为原点,建立如图的空间直角坐标系 C ? x y ,则 C B? ( 0 , 2 , 0C ,? z
∴当 ? ? , VP ?
A B 有最大值 C

1 S△ABC ? ? 2 c o? ? s 2

2 s i? ? n

? ? i n 2VP ? A B C s ,∴

?

1 S △ 3

ABC

1 ? 2 ? P A s i n ? ------6 分 3

P ? ) 设 n ? ( x, y, z是平面 PBC 的法向量, ??? ? ? ?CB ? n ? 0 ? 2? y ? 0 ? ? 则 ? ??? ? , ?? ? B A CP ? n ? 0 ? 2 x ? z ? 0 ? ? ? ? ? 2) 取 x ? 1 ,得 n ? ( 1 , 0 , ,------------9 分 C ? ? ?? , ? 设线段 AC 上的点 D 的坐标为 D(t , 0 , 0 ) B D? ( t ? 2 , 0 ) ( 0t ? ,2 ) ,则 ? ???? ? | n ? BD | t ? ???? ? ? ∵ sin 30 ? ? ,解得 t ? 6 ? [ 0 , 2 ] , ------------11 分 | n | ? | BD | 3 ? t2 ? 2 ? ∴在线段 AC 上不存在点 D ,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30 。------------12 分 2 5 p 21.解: (Ⅰ)∵点 M ( ,m ) 在抛物线上,且 MF2 ? ,抛物线准线为 x ? ? ,所以, 2 3 3 2 p 5 ? ? ,解得: p ? 2 , ∴抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,???????????3 分 3 2 3 2 6 2 2 6 2 2 ), 点 M ( , m) 代入 y ? 4 x 得 m ? ,所以点 M ( , 3 3 3 3

由它在椭圆上及椭圆右焦点为 F (1, 0) 得

?a ? b 2 ? 1 ? ?a 2 ? 4 x2 y2 ? 2 ? 2 6 2 2 ? ? 1 .??????7 分。 ,解得 ? ,所以,椭圆方程为 ?( ) ( ) 2 4 3 ?b ? 3 ? 3 ? 3 ? ?1 ? a2 b2 ? 1 1 (Ⅱ) 由 k AF ? ?t 得 kl ? ,则直线 l 的方程为 y ? x ? t 即 x ? t ( y ? t ) ,代人椭圆方程为 t t 2 2 x y ? ? 1 得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 6t 3 y ? 3t 4 ? 12 ? 0 ?????9 分 4 3 6 2 4 2 则 ? ? 36t ? 4(3t ? 4)(3t ? 12) ? ?48(t ? 1)(t ? 2)(t ? 2) ?????11 分
2

∵ t ? 0 ,∴ t ? 2 ? 0 , t 2 ? 1 ? 0 ∴当 0 ? t ? 2 时, ? ? 0 ,此时直线 l 与椭圆 C1 相交;当 t ? 2 时, ? ? 0 ,此时直线 l 与椭 圆 C1 相切;当 t ? 2 时, ? ? 0 ,此时直线 l 与椭圆 C1 相离。?????14 分

Ks5u

22.解:(Ⅰ) 由题意知 g ( x) ? ln x . ?????1 分,设直线 y ? kx ? 1 与 g ( x) ? ln x 相切

?kx 0 ? 1 ? lnx 0 ? 2 ?2 与点 P(x 0, y 0 ), 则? 1 ? x 0 ? e , k ? e 。∴ k ? e ?2 ?????4 分 k ? g' (x 0 ) ? ? x0 ? 1 (Ⅱ) 证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x 2 ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下。 2 1 1 令h( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2

h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, ' ' (0) ? 0 , ,h 当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减;当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增 ? y ? h '( x) ? h '(0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一个零点x ? 0
∴曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点 (0,1) .?????8 分 2 f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? (Ⅲ) 解法一:∵ 2 b?a 2 ? (b ? a)

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ? ? e ?????9 分 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a) x x x 令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e ? 1 ? ( x ? 1) ? e 。 ?
g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在(0, ?)上单调递增 ?

,且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 而g (0) ? 0, , ∴ 在(0, ??)上g ( x) ? 0 ,∴ ∴ 当a < b时,

(b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb ? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? ?????14 分 2 b?a f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ) ? (e a ? e b ) ? 2 ? (e b ? e a ) ? ? 解法二: ?????9 分 2 b?a 2 ? (b ? a) x a x a 以 b 为主元,并将其视为 x ,构造函数 h( x) ? ( x ? a) ? (e ? e ) ? 2 ? (e ? e )( x ? a) ,则 h?( x) ? ( x ? a ? 1) ? e x ? ea ,且 h?(a) ? 0 ?????10 分 x ∵ h??( x) ? ( x ? a) ? e 且 x ? a ? 0 ,∴ h?( x) 在 (a, ??) 上单调递增, ∴当 x ? a 时 h?( x) ? h?(a) ? 0 ,∴ h( x ) 在 (a, ??) 上单调递增, ∴当 x ? a 时, h( x) ? h(a) ? 0 ?????10 分 f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? ∴ 当a < b时, ?????14 分 2 b?a


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