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求解圆锥曲线离心率的取值范围


求解圆锥曲线离心率的取值范围
求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点,也是一个难点,求离心率的难点在于 如何建立不等关系定离心率的取值范围. 一、直接运用不等关系建立 a , c 不等关系求解 例 1:已知双曲线
x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的半焦距为c,若 a2 b2
b 2 ? 4ac ? 0

>,则

双曲线的离心率范围是 A. 1 ? e ? 2 ? 5 变式: 已知双曲线 到直线



) C. 2 ? 5 ? e ? 2 ? 5 D.
3 ?e?2 2

B. 2 ? e ? 2 ? 5

x2 y2 ? ?1 ( a ? 1, b ? 0 ) 的焦距为 2c , 离心率为 e , 若点 (?1,0) 和 (1,0) a2 b2

x y 4 ? ? 1 的距离之和 S ? c ,则 e ?_________. a b 5

二、借助平面几何关系建立 a , c 不等关系求解 例 2:设 F1,F2 分别是椭圆
x2 y 2 a2 a ? b ? 0 x ? ? ? 1 ( )的左、右焦点,若在直线 上存 c a 2 b2

在 P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是(
2 A. (0, ] 2 3 B. (0, ] 3



C. [

2 , 1) 2

D. [

3 , 1) 3

三、利用圆锥曲线相关性质建立 a , c 不等关系求解. 例 3: 双曲线
x2 y 2 ? ?1 (a>0,b>0) 的两个焦点为 F1、 F2,若 P 为其上一点, 且|PF1|=2|PF2|, a 2 b2

则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) 例 4:已知椭圆 B. ?1,3?

) C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ? :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆上存在点 P a2 b2

(异于长轴的端点) ,使得 c sin?PF1 F2 ? a sin?PF2 F1 ,则椭圆离心率的取值范围是 ______________.

1

例 5:椭圆 G :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,椭圆上存在点 M 使 a 2 b2

F1M ? F2 M ? 0 .求椭圆离心率 e 的取值范围;
变式:在椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 有 一 点 M , F1 , F2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 若 a 2 b2

MF1 ? MF2 ? 2b 2 ,求椭圆离心率的取值范围.
例 6:已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右顶为 A,点 P 在椭圆上,O 为坐标原点,且 OP 垂直 a 2 b2

于 PA,求椭圆的离心率 e 的取值范围。 四、运用数形结合建立 a , c 不等关系求解 例 7:已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线 a 2 b2

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A (1, 2] 变式:双曲线 B (1, 2) C [2, ??) D (2, ??)



x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两条渐近线将平面分为“上、下、左、右” a2 b2

四个区域(不含边界) ,若点 (1,2) 在“上”区域内,则双曲线离心率的取值范围是 ______________. 五、运用判别式建立不等关系求解离心率 例 8:设双曲线 C:
x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B.求双曲 2 a

线 C 的离心率 e 的取值范围。 六、运用函数思想求解离心率 例 9:设 a ? 1 ,则双曲线 A. ( 2 ,2)

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1)2
C. (2,5) D. (2, 5 )



B. ( 2 , 5 )

2


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