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山东省诸城一中2012届高三下学期阶段测试数学(理)试题


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诸城一中 2012 届高三阶段测试
数学试题(理科)

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号

、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题 卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 3.考试结束后,考生将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x| y ? x ? 1 },集合 B= y | y ? x 2 , x ? R ,则 A?B ? A.? B. [0,?? ) C. [1,?? )
1 B. y ? ( ) x ( x ? R) 2

?

?

D. [?1,??)

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
1 A. y ? ( x ? R且x ? 0) x

C. y ? x( x ? R) 3.已知函数 f (x) ?

D. y ? ? x 3 ( x ? R)
2 x, x ? 0 ,若 f(a) ? f(1) ? 0 ,则实数 a 的值等于 x ? 1, x ? 0

A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.当 a ? b ? c ,下列不等式恒成立的是 A. ab ? ac B. a | c |? b | c | C. | ab |?| bc | D. (a ? b) | c? b |? 0 5.函数 y ? f(x) 在定义域( ? ,3 )内的图象如图所示,记 y ? f(x) 的导函数为 y ? f ' (x) ,则不 等式 f ' ( x) ? 0 的解集为
3 1 A. [? , ] ? [1,2) 2 2
3 2

1 4 8 B. [?1, ] ? [ , ] 2 3 3 1 C. [? ,1] ? ?2,3? 3 3 1 1 4 4 D. (? ,? ] ? [ , ] ? [ ,3) 2 3 2 3 3

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6.以下有关命题的说法错误的是 A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 D.对于命题 p : ? x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 7.函数 y ? sin(2x 2 ? x) 的导数是 A. y'? cos(2x 2 ? x) C. y'? (4 x ? 1) cos(2x 2 ? x) B. y'? 2 xsin(2x 2 ? x) D. y'? 4 cos(2x 2 ? x)

15.已知函数 f(x) ? x ? 2 x , g(x) ? x ? lnx , h(x) ? x ? x ? 1 的零点分别为 x 1 , x 2 , x 3 则 x 1 , x 2 ,
x 3 的大小关系是

A. x 1 ? x 2 ? x3 9.已知 f (x) ? A.(1,+ ? )
(3 ? a) x ? a loga x

B. x 2 ? x 1 ? x 3

C. x 1 ? x 3 ? x 2

D. x 3 ? x 2 ? x 1

(x ? 1) 是( ??,?? )上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 (x ? 1)
3 2

B. ( ,3)

C. [ ,3)

3 2

D.(1,3)

12.函 数 f(x) ? a x ?1 ? 3(a ? 0,且a ? 1) 的 图 象 过 一 个 点 P , 且 点 P 在 直 线
mx ? ny? 1 ? 0(m ? 0 且n ? 0) 上,则

1 4 ? 的最小值是 m n

A.12 B.13 C.24 D.25 11.已知函数 f(x ? 1) 是奇函数, f(x ? 1) 是偶函数,且 f(0) ? 2,则 f(4) = A.-2 B.0 C.2 D.3
1 12.具有性质: f ( ) ? ? f ( x) 的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: x
1 1 ? y ? x? ;? y ? x ? ;?y= x x
x, (0 ? x ? 1) 0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是 1 ? ( x ? 1) x

A.??

B.??

C.??

D.只有?

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题两个大题。 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上。 (1)填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卷中对应题号后的横线 上) 13.设 m ? e x dx, n ?
0

?

1

? x dx ,则 m 与 n 的大小关系为
e

1

; ;

1

14.若 f(x) 是幂函数,且满足

1 f(4) =3,则 f ( ) = 2 f(2)

15.若命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ;

x ? y? 5 ? 0 16. 若 实 数 x,y 满 足 约 束 条 件 x ? 3 , 且 z ? 2 x ? 4 y 的 最 小 值 为 -6 , 则 常 数 x ? y? k ? 0
k= . (2)解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) mx ? 1 已知两个集合 A ? {x | ? 0} , B ? {x | log1 x ? 1} ;命题 P:实数 m 为小于 6 的正整数,命 x 2 题 q:A 是 B 成立的必要不充分条件,若命题 p? q 是真命题,求实数 m 的值.

一、(本小题满分 12 分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图 、 、 、 案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正 方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f(n) 个小正方形.

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(Ⅰ)求出 f(5) ; (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n ? 1) 与 f(n) 的关系式,并根据你得到的关 系式求 f(n) 的表达式. 19.(本小题满分 12 分)
1 1 已知函数 f(x) ? x 3 ? x 2 ? cx? d 有极值. 3 2

(Ⅰ)求 c 的取值范围;
1 (Ⅱ)若 f(x) 在 x=2 处取得极值,且当 x ? 0 时, f(x) ? d 2 ? 2 d 恒成立,求 d 的取值范围. 6

20.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x) ? x 2 ? | 2 x ? a | (x ? R, a 为实数). (Ⅰ)若 f(x) 为偶函数,求实数 a 的值; (Ⅱ)设 a ? 2 ,求函数 f(x) 的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相 等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (Ⅰ)设 AD=x(x ? 0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式,并 注明函数的定义域; (Ⅱ)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位 置应在哪里? 如果 DE 是参观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里? 请给予证明.

22.(本小题满分 14 分) 已知 a>0,函数 f(x) ? ln(2? x) ? ax . (Ⅰ)设曲线 y ? f(x) 在点(1,f(1))处的切线为 l ,若 l 与圆 (x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)求函数 f(x)在[0,1]上的最小值.

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高三数学试题(理科)参考答案及评分标准
2.选择题: BDADC CCACD AB 3.填空题: 13.m>n 14.
1 3

15. (??,?1) ? (3,??)

16.0

4.解答题 17.解:? 命题 p? q 是真命题,? 命题 p 和 q 都是真命题 ????????? 2 分 ? 命题 p 是真命题,即 0 ? m ? 6, m ? N ? ?

mx ? 1 1 ? 0} ? {x | 0 ? x ? } ??????????????????? 4 分 x m 1 B={ x | log1 x ? 1 }={ x ? 0 ? } ????????????????????? 6 分 2 2
? A= {x | ? 命题 q 是真命题,? B
? ?

A,?????????????????????? 8 分



1 1 ? m 2

?????????????????????????????? 10 分

由??得 m=1.????????????????????????????? 12 分 (1) 解: (Ⅰ)? f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ? f(5)=25+4×4=41.?????????????????????????? 4 分 (Ⅱ)? f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n.???????????????????? 8 分 ? f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, ???? f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ???????????????????????? 10 分 ? f(n)-f(1)=4[1+2+?+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n, ? f(n)=2 n 2 ? 2 n ? 1 .?????????????????????????? 12 分
1 1 19.解: (Ⅰ)? f(x)= x 3 ? x 2 ? cx? d ,? f' (x) ? x 2 ? x ? c , ????????? 2 分 3 2

因为 f(x)有极值,则方程 f' (x) ? x 2 ? x ? c ? 0 有两个相异实数解, 从而△=1-4c>0,? c<
1 . ???????????????????????? 4 分 4

(Ⅱ)? f(x)在 x=2 处取得极值, ? f' (2) ? 4 ? 2 ? c ? 0 ,
? c=-2. ???????????????????????????????6 分
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? f(x) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2 x? d , 3 2

? f ' (x) ? x 2 ? x ? 2 ? (x? 2)(x? 1) , ? 当 x ? (??,?1) 时, f ' (x) ? 0 ,函数单调递增,

当 x ? (?1,0) 时, f ' (x) ? 0 ,函数单调递减.??????????????? 8 分
? 当 x ? 0 时,f(x)在 x-1 处取得最大值 ? x ? 0 时, f(x) ? ?

7 ?d , 6

1 2 d ? 2 d 恒成立, 6

7 1 ? d ? d 2 ? 2 d ,即 (d? 7)(d? 1) ? 0 , ???????????????? 10 分 6 6

? d ? ?7 或 d ? 1 ,

即 d 的取值范围是 (??,?7) ? (1,??) . ????????????????? 12 分 20.解: (Ⅰ)? 函数 f(x) 是偶函数, ? f( ? x) ? f(x) ,即 | 2 x ? a |?| 2 x ? a | ,解得 a ? 0 ;????????????? 3 分
1 a 2 ,??????????????????? 5 分 1 x 2 ? 2 x ? a, x ? a 2 x 2 ? 2 x ? a, x ?

(Ⅱ) f(x) =

1 ?当 x ? a 时, f(x) ? x 2 ? 2 x ? a ? (x? 1)2 ? (a ? 1) , 2

1 由 a ? 2, x ? a ,得 x ? 1 , 2
1 a a2 故 f(x) 在 [ a,??) 时单调递增, f(x) 的最小值为 f ( ) ? ;????????? 8 分 2 2 4 1 ?当 x ? a , f(x) ? x 2 ? 2 x ? a ? (x? 1)2 ? (a ? 1) , 2 a 时, f(x) 单调递增,当 x ? 1 时, f(x) 单调递减, 2 则 f(x) 的最小值为 f(1) ? a ? 1 ;????????????????????? 11 分

故当 1 ? x ?

由于

a2 (a ? 2)2 ? (a ? 1) ? ? 0 ,故 f(x) 的最小值为 a?1 . ?????????? 12 分 4 4

21.解: (Ⅰ)在△ADE 中,由余弦定理得: y 2 ? x 2 ? AE2 ? 2 x? AE? cos60?
y 2 ? x 2 ? AE2 ? x? AE ,???????????????????????? 1 分

1 3 1 2 又 SΔADE ? SΔABC ? ? x? AE? sin60? ? x? AE ? 2 ? AE ? . ? 2 2 2 x 2 把?代入?得 y 2 ? x 2 ? ( ) 2 ? 2(y ? 0) , x

???? 2 分

∴ y ? x2 ?

4 ? 2 ??????????????????????????4 分 x2

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x?2



AE ?

2 ?2 x

∴1 ? x ? 2

即函数的定义域为 {x | 1 ? x ? 2} .???????????????????? 6 分 (Ⅱ)如果 DE 是水管,则 y ? x 2 ? 当且仅当 x 2 ?
4 ? 2 ? 2?2 ? 2 ? 2 , x2

4 ,即 x ? 2 时“=”成立,故 DE//BC,且 DE= 2 .?????? 8 分 x2 4 8 ,则 f ' (x) ? 2 x ? 3 2 x x

如果 DE 是参观线路,记 f(x) ? x 2 ?

∴函数 f(x) 在 [1, 2 ) 上递减,在 [ 2 ,2] 上递增 故 f(x) max ? f(1) ? f(2) ? 5 . ??????????????????????? 10 分 ∴ y max ? 5 ? 2 ? 3 . 即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长.????????????????? 12 分

22.解: (Ⅰ)依题意有

x ? 2, f ' ( x) ? a ?

1 x?2

过点 (1, f (1)) 的切线的斜率为 a?1 , 则过点 (1,a) 的直线方程为 y? a ? (a ? 1)(x? 1) ??????????????? 2 分 又已知圆的圆心为(-1,0) ,半径为 1 ∴
| 1? a?1 | (a ? 1)2 ? 1 ? 1 ,解得 a ? 1 ????????????????????? 4 分

(Ⅱ) f ' ( x) ?

ax ? 2a ? 1 1 1 ? a[ x ? (2 ? )] ? x?2 a x?2

1 ∵ a ? 0 ,∴ 2 ? ? 2 a 1 1 令 f ' (x) ? 0, 解得 x ? 2 ? ,令 f ' (x) ? 0 ,解得 2 ? ? x ? 2 a a

1 1 所以 f(x) 的增区间为 (??,2 ? ) ,减区间是 (2 ? , 2) ????????????8 分 a a
1 1 (Ⅲ)?当 2 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 时, f(x) 在[0,1]上是减函数 2 a 所以 f(x) 的最小值为 f(1) ? a ??????????????????????9 分

?当 0 ? 2 ?

1 1 ? 1即 ? a ? 1 时 2 a

1 1 f(x) 在 (0, 2 ? ) 上是增函数,在 (2 ? , 1) 是减函数?????????????10 分 a a

所以需要比较 f(0) ? ln 2 和 f(1) ? a 两个值的大小 因为 e 2 ? 3 2 ? 2 ? e ,所以
1 1

1 ? ln 3 ? ln 2 ? lne ? 1 2
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∴当

1 ? a ? ln 2 时最小值为 a, 2

当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 ln 2 ?????????????????????12 分
1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f(x) 在[0,1]上是增函数 a 所以 f(x) 最小值为 ln 2 ?????????????????????????13 分

?当 2 ?

综上,当 0 ? a ? ln 2 时, f(x) 为最小值为 a 当 a ? ln 2 时, f(x) 的最小值为 ln 2 .????????????????????14 分

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