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对一道高考试题的评析及探究


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中学数学杂志 ( 高 中) 2 0 0 7 年第 4 期 

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对 一 道 高 考试 题 的评 析及 探 究 
山东省高青县第二中学  山东省鱼台县 第一中学   2 0 0 7 年高考 山东卷第 
2 0题 为 :   题目   如图

1 , 甲船  以每小 时 3 O   海 里 的 速 

2 5 6 3 0 0   2 7 2 3 0 0  

董  林  张  丽 

1 O   海里 , 且  A 2 A 1 B 2=  

6 o 。 . 因此 , 在 △A 1  1  2中 ,  


Al   B1= 4 5。, A1 B1=2 0  

海里 , A   B :=1 0   海里 , 由  余弦定 理 得 B 1 B 2   =A I B1  
+   1   一 2  1  1   ‘  

度向正北方 向航行 , 乙船  按 固 定 方 向 匀 速 直 线 航 
行.当 甲船 位 于 A  处 时 ,   乙船 位 于 甲船 的北 偏 西 

图1  

A1 B2 C O S   LB2 A1  1  f   2 O  +  

图2  

1 0 5 。 方 向的  处 , 此 时两船 相距 2 0 海 里. 当 

( 1 o  

一 2× 2 0×1 0 d  ̄ " ×   =2 0 o , 即B 1 B 2  

甲船航行 2 0 分钟到达  : 处时 , 乙船航行到 甲   船的北偏西 1 2 0 。 方向的   处, 此时两船相距 
1 0   海里 , 问 乙船 每小 时航 行多少 海里 ?  

=1 O√  海 里 , 那 么 乙船每 小时航 行 3 O   海 
里.  

我 们把 B   “ 归 ”到 △A   B  中 去 , 通  过解 三 角 形 解 决 了 问 题.那 么 , 还 能 不 能 

这个题 目, 对 于考 生来说 , 背景 比较熟  悉, 是在备考复习中比较常见的航海问题. 其  数学模型是常见的 四边形 ( 实质上是解三角   形 )问题 , 况且 题 目已经 给出 了 图形 , 降低 了 

“ 归”到其它三角形中呢? 最容易想到 的是能 
否连结 A   .  

解法2 连结A   ( 如 
图3 ) , 在 △A   A  中 , 有 
A 1 B 1=2 0海 里 , A 1 A 2=1 0   海里,   A 1 B 1=1 0 5 。 ,  

考生的建模难度. 题 目所给 的条件较多, 信息  量较大 , 因此, 考生处理起来也会左右逢源.  
根据题 目的 已知 条件 可得 A   B  =2 0海 
里, A 1 A 2=1 0   海里, A 2 B 2=1 0   海 里,  

根 据余 弦定 理得 


/ _ A 1 A 2 B 2=6 0 。 ,  A 2 A 1 B 1= 1 0 5 。 . 乙船 的时 

Bl   = Al Bl   +Al A2  
图 j  

间和甲船从 A   航行到 A   一样是 2 o分钟 , 因  
此, 要求 乙船 的速 度 , 只要求出  可. 要求  的长 度即  的长度 , 最好 把 它“ 归 ”到一个 



2 r A1 BI。 AI A2 C OS L A2 AI   B1  



2 0  +( 1 0 u f 2 - )  +2×2 0   x   1 04 ' 2 - ×   4  

三角形中去 , 我们很 自然的便想到连结 A   .   解法 1   连结 A   ( 如图2 ) , 由于甲船 


4 0 0+2 0 0   , 则A 2 B 1=1 0 (   +1 ) .  
在 △A   B   A   中, 根 据 正 弦 定 理 得 
AI BI  
1  

的航行速度是每小时 3 0   海里 , 从  到 
航行 了2 0 分钟 , 所以A   A  =1 0   海里 , 已知 
A 2 B 2= 1 0   海里 ,  A 1 A 2 B 2= 1 8 0 。一1 2 0 。  
—  

s i n  AA   B  
2   1  



s i n l 0 5   ,有 s n  A A 2 B 1  =   。’   …i …  1 一  


A2   BI

=6 0 。 , 所 以 △A 1 A 2  2 为 正三 角形 , 则A 1 B 2=  

×   l O (   +1 )

4  

:   , 所 以 LA   A   2… … ’   一 

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= 45。 .  

中学数学杂志 ( 高中) 2 0 0 7年第 4期 

在 △A 2  l  2 中, A 2 B l= 1 0 (   +1 )海  里, A 2 B 2=1 0   海里 ,   2 A 2 B l=1 5 。 , 根 据 

解答完后 , 萦绕我们 的问题是 乙船 的航  向是什么, 作为一个高考题 , 这一点我认为应 
该 问 到 ,从 解 法 4 可 以 看 出 来 是 东 偏 北 

余弦定理得 l B 2  = A 2 B l  + A 2 B 2   一 2 A 2 B l ?   A 2 B 2 c o s / _ B l A 2 B 2-[ 1 O (   +1 ) ]  +  
( 1 o   ) : 一2×l  (   +1 )×l o   ×   _ ± _
A 

6 o 。 ( 或北偏东 3 O 。 ) . 说到这个地方 , 我认为  原题叙述方位角有些别扭 , 我们说的方位角 
般小于9 o 。 ( 甚至小于4 5 。 ) . 如甲船位于A 。   处时, 乙船方位叙 述为位 于 甲船 的南偏 西 


7 5 。 方 向的 。 处( 或 西偏南 l 5 。 方 向的 , 处)   =2 0 0 , 即 。 B :=1 0   海里 , 那 么 乙船 每小  时航行 3 O   海里.   解法 3   在 四 边 形  l A l A 2  2中 ,  l   =  
————— ‘ ' ^

更好 一些 .  

航行问题我们还可 以考虑到相遇 问题 ,   那么这两条船能否相遇?   分别延 长 A 。 A : 和  。  :  
交 于 E( 如图5 ) , 两船 能否相 

+A   I A 2+A   2 B 2 , 平方得 I   B   I B 2   1   =I  
————_ ^ ——— ——, ^ —————+ ————_  

Al   I   +I   Al A2   I   +I   A2  2   I   +2  l Al?Al A2   l

+2   A 1 A 2? A 2  2+2  1 A 1? A 2  2 , 由于 <  


遇关键是看他们是否能同时 
到达 E点.  

Al ,Al A2  > = 7 5。,   < Al A2 ,A2 B2  > =  

1 2 0 。 ,<B l A l , A 2 B 2>=1 6 5 。 , 代人上式得  I   I   =2 0 0 , 有I   B — I B 2   1 =1 0   那 么 乙 


由解 法 4可 以知道  E  

=3 0 。 , 那么 △ A 2   2 E 是等腰  三角形 , 故A : E =1 0   海  里, 由于甲船 的速度是 每小  图5  

船 每小时航行 3 O   海里 , 解法3 与解法 l 类  似, 比解法 2 简单 .   对于与方向有关的问题 , 我们通 常把它  分解 成正南 正北 、 正东 正西 去解决.   解法4   分别过 。 、   :   作A 。 A :的 垂 线 交 A 。 A :于 
C l 、 C 2 , 过B 2 作B 1   C l 的 垂  线 交 。 C 。 于 D( 如 图4 ) , 在  AA l  l C l 中, A l B l=2 0海 
里,  C l A l B l= 7 5 。 , 所 以 


时3 O   海里 , 所 以, 它到达 E点需要 2 0分  钟. 在 △ A :   : E中运用余 弦定理可算得 : E  
=1 0   海里, 而 乙船 的速 度 为每小 时航行 3 O  

海里( 两船的速度相等) , 它到达 E点需要  小时( 约3 5 分钟 ) , 所以他们不可能相遇.  
J 

通过以上分析探究 , 笔者斗胆将此题作  如下修改 , 请专家批评.  
图4  

C 1=2 0 s i n 7 5 o=5 (   +  

题 目: 有甲、乙两艘船 ,甲船以每小时 
3 O   海里 的速度 向正北 方 向航 行 , 乙船按 固 

√ 2 ) , A l   C l=2 0 c o s 7 5 。=5 ( √ 6一√ 芝 ) . 同理 ,  
在 △A :  : c 2中 ,  :   =5   , A : C :=5   .   男   么 。 D =B 。 c 。一B : c 2=5   ,  


定方向匀速直线航行.当甲船位于 A 。 处时 ,   乙船位于甲船的南偏西 7 5 。 方向的 。 处, 此  时两船相距 2 O 海里.当甲船航行 2 O分钟到  达A : 处时, 乙船航行到甲船的南偏西 6 O 。 方  向的 B : 处, 此时两船相距 1 O   海里 , 问:  
( 1 )乙船 每小时航 行 多少海里 ?  

D =C l   =A l A 2 +A   C — A 2   c 2=5   , 根 

据 勾股定理 有  l B 2  =B l D  +B 2 D  =2 0 0 ,   即  。 B := 1 0   海里 , 那 么 乙船 每 小 时航 行 
3 O   海里.  

( 2 ) 乙船航行的方向是什么?   ( 3 ) 两船能相遇吗? 请说 明理由.  

解法 4虽然辅助线多, 但“ 切” 成 了“ 横  平竖直” , 运算起来较省事.  


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