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复数的几何意义导学案


3.1.2 复数的几何意义 教学目标: 1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应 关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 学法指导: 通过类比实数可用数轴上的点来表示,认识复数用点和向量表示的合理性,体会 数形结合思想在理解复数中的作用.复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法 几何意义的基础,所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用. 导入:看书 P104-105 基础梳理: 1.复数的几何意义 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ________ , x 轴叫做 ______ , y 轴叫做 ______.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数与点、向量间的对应 ①复数 z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点______; ②复数 z=a+bi(a,b∈R) 平面向量___________. 2.复数的模 复数 z=a+bi(a, b∈R)对应的向量为, 则的模叫做复数 z 的模, 记作|z|, 且|z|=_________. 探究一 复数与复平面内的点 问题 判断下列命题的真假: ①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; ②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; ③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; ④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数; ⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.

例 1 在复平面内,若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 对应的点(1)在虚轴上;(2) 在第二象限;(3)在直线 y=x 上,分别求实数 m 的取值范围.

小结 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对 应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点 的位置判断复数实部、虚部的取值. 跟踪训练 1 实数 m 取什么值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i (1)对应的点在 x 轴上方; (2)对应的点在直线 x+y+4=0 上.

探究点二 复数与向量 问题 1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系?

问题 2

怎样定义复数 z 的模?它有什么意义?

例2

已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围.

当堂检测: 1.在复平面内,复数 z=i+2i2 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 2.当3<m<1 时,复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在复平面内,O 为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点 A 关于直线 y=-x 的对 称点为 B,则向量对应的复数为 ( ) A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 4.在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 mi 的点在直线 y=x 上,则实数 m 的值为

小结 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件,是一种复数问题实 数化思想;根据复数模的意义,结合图形,可利用平面几何知识解答本题. 1 跟踪训练 2 求复数 z1=3+4i,z2=-2- 2i 的模,并比较它们的大小.

________. 5.

(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求 x 与 y. (2)设 z1=1+sin θ-icos θ,z2=1+sin θ +(cos θ-2)i, 若 z1=z2,求 θ 和|z1|.
1

跟踪训练 3 设 z∈C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1)|z|=2;(2)|z|≤3. 课堂小结: 1.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为 起点的向量一一对应; 2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题,也可以结 合图形利用几何关系考虑. 课后作业: 试卷


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