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中职数学8.4.2向量内积的坐标运算


向 量

向量 向量

8.4.2 向量内积的坐标运算

? ? ? ? 1.已知非零向量 a与 b,则 a与 b 的内积表达式是怎样的?

? ? 由内积表达式怎样求 cos 〈a , b 〉 ?

? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos 〈a, b 〉

/>? ? ? ? a ?b cos 〈a, b 〉 ? ? ? a b ? ? ? ? 2. a ? b ? a ? b ? 0

? ? ? ? a a ? 3. 与 a ? a 有何关系?

? ? a ?a

? ? ? e e a ? (a1 , a2 ), 已知 1 , 2是直角坐标平面上的基向量, ? ? ? b ? (b1 , b2 ) ,你能推导出 a ? b 的坐标公式吗?

探究过程: ? ? ? ? ? ? a ? b ? (a1e1 ? a2e2 ) ? (b1e1 ? b2e2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 b1 e1 ? e1 ? a1 b2e1 ? e2 ? a2b1 e2 ? e1 ? a2b2e2 ? e2. ? ? ? ? ? ? ? ? e ? e ? e ? e ? 1 e1 ? e2 ? e2 ? e1 ? 0, 因为 1 1 , 2 2 ? ? 所以 a ? b ? a1b1 ? a2b2.

定理

在直角坐标平面 轴, 轴的基向量, y x xoy ? ? a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ) ,则
? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2.

? ? e2 为 内,e1,

推论
⑴ 两向量垂直的充要条件 ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0 . ⑵ 两向量夹角余弦的计算公式
? ? ? ? a ?b cos 〈a, b 〉 ? ? ? ? a b a1b1 ? a2b2 a12 ? a2 2 b12 ? b2 2 .

向量内积的坐标 运算公式

定理

在直角坐标平面 轴, 轴的基向量, y xoy x ? ? a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ) ,则 ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2.

? ? e1 , e2 为 内,

问题
? ? ⑴ 若已知 a ? (a1 , a2 ) ,你能用上面的定理求出 a 吗? ?2 ? ? 解:因为 a ? a ? a ? ( a1,a2 ) ? ( a1,a2 )
?a
2 1

? a2 .
2 2

2

所以

? a ?

a1 ? a2 .

向量的长度公式

定理

在直角坐标平面 轴, 轴的基向量, ? ? a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ) ,则

? ? e2 为 e1 , 内,

问题

? ? a ? b ? a1b . 1 ? a2b2

x

⑵ 的 如 长 果 ,y1 ) ,B( x2,y 2 ) , 解:因为 A(y x1 度 吗 则 AB ? ( x2 ? x1,y2 ? y1 ). 两点间距离公式 ? 由向量的长度公式得:
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2.

A(x1, y1),B(x2, y2) AB

例1

? ? 已知 a ? (3,?1), b ? (1,?2)

? ? ? ? ? ? 求 a ?b , a, b ,〈a,b 〉 .

解:由已知条件得 ? ? a ? b ? 3?1 ? (?1) ? (?2) ? 3 ? 2 ? 5, ? ? ? a ? a ? a ? 3 ? 3 ? (?1) ? (?1 )? 10 , ? ? ? b ? b ? b ? 1? 1 ? (?2) ? (?2) ? 5.
? ? ? ? a ?b cos 〈a, b 〉 ? ? ? ? ab

因为

5 10 ? 5

?

2 , 2

? ? π 所以 〈a, b 〉 ? . 4

例2

? 4),B(?2, 3), 已知 A(2, 求 AB .

解:由已知条件得

AB ? (?2, 3) ? (2, ? 4) ? (?4, 7),
所以 AB ?

(?4) 2 ? 7 2 ?

65 .

例3

, 2),B(3 , 4),C (5, 0). 已知 A(1

求证:△ABC是等腰三角形. 证明:因为 AB ? (3 ?1 , 4 ? 2) ? (2, 2),

AC ? (5 ?1 , 0 ? 2) ? (4, ? 2), BC ? (5 ? 3 , 0 ? 4) ? (2, ? 4),
AC ? BC ?
所以

42 ? (?2) 2 ? 22 ? (?4) 2 ?

20 , 20 ,

AC ? BC.

即△ABC是等腰三角形.

例4

, 2),B(2, 3),C (?2,5). 已知 A(1

求证: . AB ? AC 证明:因为

AB ? (2, 3) ? (1 , 2) ? (1 , 1), AC ? (?2, 5) ? (1 , 2) ? (?3, 3),
可得

AB ? AC ? (1 , 1) ? (?3 , 3) ? 0.
所以 AB ? AC .

1 .已知 A(1 , 2),B(2, 3),C (?2, 5). 求证: ?BAC ?
π 2

2.已知点P的横坐标是7,点P到点N(-1,5)的距离 等于10,求点P的坐标.

本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距 离公式,常见的题型主要有: 1.直接用两向量的坐标计算内积; 2.根据向量的坐标求模; 3.根据两点的坐标求两点间的距离; 4.运用内积的性质判定两向量是否垂直.

必做题:教材 P72 练习第 1 题;
选做题:第 4题.


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