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求函数值域


函数的值域
一、函数值域基本知识 1.定义:在函数 y ? f ( x) 中,与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做 函数的值域(或函数值的集合) 。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数 y ? f ( x) 用表格给出时,函数的值域是指表格中实数 y 的集合; ②当函数 y ? f ( x) 用图象给出时,函数的值域是指图象在 y 轴上的

投影所覆盖的实数 y 的集合; ③当函数 y ? f ( x) 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数 y ? f ( x) 由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。一般地, 常见函数的值域: 1.一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R.

(3)最值法: 对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。 例 5 求函数 y = 3 - 2 x - x2 的值域。

例 6:求函数 y ? ?2 x2 ? 5x ? 6 的值域。

(4)反表示法(逆求或反求法) : 例 7、求函数 y ?

? 4ac ? b 2 ? , ?? ? ,当 a ? 0 时的值域为 2.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? ,当 a ? 0 时的值域为 ? ? 4a ?
2

x2 ?1 的值域 x2 ?1

? 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? ., 4a ? ? k 3.反比例函数 y ? ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x
三、函数值域求法 (1)直接法(俗名分析观察法) : 有的函数结构并不复杂, 可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。 即从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域 的方法。注意此法关键是定义域。 例 1:已知函数 y ? ?x ? 1? ? 1 , x ? ?? 1,0,1,2? ,求函数的值域。
2

(5)分离常数法: 例 8:求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5

(6)换元法: 例 9:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 例 2:求函数 y ?

x ? 1的值域。
例 10.求函数 y = x - 5x + 4 的值域。
4 2

例 3:求函数 y ?

x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。
(7)判别式法: 例 11:求函数 y ?

(2)配方法: 例 4.求函数 y ?

x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

? 2 x ? x 2 ? 3 的值域。

(8)函数单调性法: 例 12:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

2、二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在区间 ?m, n? 上的值域(最值)

例 13.求函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,???上的值域。 x

b 与区间 ?m, n? 的位置关系 2a b b ? ? m, n ? ,则当 a ? 0 时, f ( ? ) 是函数的最小值,最大值为 f (m), f (n) 中较大者; (1)若 ? 2a 2a b ) 是函数的最大值,最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 当 a ? 0 时, f ( ? 2a b ? ? m, n ? ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大(小)值。 (2)若 ? 2a
首先判定其对称轴 x ? ? 特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是 ?a, ??? , ? ??, b? , ? a, ??? , ? ??, b? 等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 题型三:一次分式函数的值域

例 14:求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。

(9)图象法: 例 14:求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域。

k (k ? 0) 的定义域为 ? x x ? 0? ,值域为 ? y y ? 0? x cx ? d 2、形如: y ? 的值域: ax ? b
1、反比例函数 y ? (1)若定义域为 ? x ? R x ? ? ? 时,其值域为 ? y ? R y ?

? ?

(10)“平方开方法” 例 15 求函数 f ( x) =

? d ? by (2)若 x ? ?m, n? 时,我们把原函数变形为 x ? ,然后利用 x ? ?m, n? (即 x 的有界性),便 ay ? c
可求出函数的值域。 例 4:当 x ? ? ?3, ?1? 时,函数 y ? (2)已知 f ? x ? 1? ?

b? a?

?

c? ? a?

5- x +

x - 3 的值域.

1 ? 3x 的值域 2x ? 1

。 。

三、求解函数值域的 7 种题型 题型一:一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 的值域(最值) 1、一次函数: y ? ax ? b ? a ? 0? 当其定义域为 R ,其值域为 R ; 2、一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 在区间 ?m, n? 上的最值,只需分别求出 f ? m? , f ? n ? ,并比较它们的大

x?3 ,且 x ? ? ?3, 2? ,则 f ? x ? 的值域为 2? x dx 2 ? ex ? c 题型四:二次分式函数 y ? 2 的值域 ax ? bx ? c

一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方 程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时 的 x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。 1: y ?

小即可。若区间的形式为 ? ??, n? 或 ? m, ??? 等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的值域(最值)

x2 ? x ? 1 ; x2 ? x ? 6

? 4ac ? b 2 y? ? ? 4a 2 R 1、二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) , 当其 定义域为 时,其值域为 ? 2 ? y ? 4ac ? b ? 4a ?

? a ? 0? ? a ? 0?

2: y ?

x2 ? x ? 2 ; x2 ? 1

7: y ? ? x 2 ? 4 x ? 1

3: y ?

3x ; x ?4
2

题型七:复合函数的值域

4:求函数 y ?

x ?1 x ? 2x ? 1
2

x ? ? ?1, ?? ? 的值域

对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的 值域逐层向外递推。 8: y ?

x ?1 ? ?1 ? x ? 1? 2? x

题型五:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域 问题,然后求其值域。 5: 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 在 x ? ? ?8,1? 时的值域

9、 y ? 题型六:分段函数的值域: 一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函 数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 6: y ? x ?1 ? x ? 2

? x 2 ? 3x ? 4


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