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定积分及其应用习题课


定积分及其应用习题课

n

1.求极限: lim
n ??

n! ; n

2.设 f ( x) 为 [0, a ] 上的非负单调增加的连续函数,又 x ? g ( y ) 是它的反函数,试用定积 分的几何意义证明:

?

a

/>0

f ( x)dx ? ?

f (a)

f ( 0)

g ( y)dy ? af (a) 。
x ? ??

3. 设 f ( x) 为 [0,??) 上的单调增加的连续函数, f (0) ? 0 , lim f ( x ) ? ?? , 又 x ? g ( y) 是 它 的 反 函 数 , 试 用 定 积 分 的 几 何 意 义 说 明 : 对 任 意 的 a ? 0, b ? 0 , 总 有

?

a

0

f ( x)dx ? ? g ( y)dy ? ab ,并进一步说明等号成立的条件。
0

b

4.设 f ( x) 在 [ a, b] 恒正, f ?( x) ? 0 , f ??( x) ? 0 ,将下列积分值按大小顺序排列:

I1 ? ? [ f (a) ?
a

b

b b f (b) ? f (a) ( x ? a)] dx , I 2 ? ? f ( x) dx , I 3 ? ? f (a) dx 。 a a b?a

5.计算 6.计算

?

?

2 0

1 ? sin 2 x dx 。


? x | x ? a |dx
0

1

7.设 f ( x) ?

?

x

0

e?y

2

?2 y

dy ,求 ? ( x ? 1) 2 f ( x) dx 。
0

1

8.设 f ( x) ? x 2 ? x

?

2 0

f ( x) d x ? 2? f ( x) d x ,求 f ( x) 。
0

1

9.设 f ( x) 及其反函数 g ( x) 都可微且有关系式 10.求多项式 f (x) 使它满足方程 11.设 f ( x ) ?

?
0

f ( x)

1

1 g (t )dt ? ( x 2 ? 8) ,求 f ( x) 。 3

3

?

1

0

f ( x t ) d t ? ? f (t ? 1) d t ? x 3 ? 2x 。

x

?

x

1

ln t 1 dt ,其中 x ? 0 ,求 f ( x ) ? f ( ) 。 1? t x

广义积分中值定理:设 f ( x) 在 ?a, b? 连续, g ( x) 在 ?a, b? 可积并且不变号,则在 ?a, b? 上 至少存在一点 ? ,使得:

?

b

a

f ( x)g ( x)dx ? f (? )? g ( x)dx 。
a

b

12.证明下面极限: (1) lim

n ?? n

?

n ?1

sin x dx ? 0 ; x

(2) lim

xne x dx 。 n ?? ?0 1 ? e x
1

1

13.设 f ( x) 在 [ A, B] 上连续,且 A ? a ? b ? B ,求证:

lim ?
14.证明恒等式:

b

h ?0 a

f ( x ? h) ? f ( x ) dx ? f (b) ? f (a) h td t??
cos 2 x 0

?

sin 2 x

0

arcsin

arccos

tdt?

?
4

(0 ? x ?

?
2

)。

15. 设 f ( x) 在 [0,??) 上连续,且单调增加,试证明对任何 b ? a ? 0 ,皆有

?

b

a

a 1 b xf ( x)dx ? [b ? f ( x)dx ? a ? f ( x)dx ] 。 0 2 0

16.设 f ?( x) 在 ?0, a ? 连续, f (a ) ? 0 ,证明 17.设 f ( x) 在 ?0,1? 连续,在 (0,1) 可导,且 3 一点 ? ,使 f ?(? ) ? 0 。 18.设 f ( x) 在 ?0,1? 可微,且满足 f (1) ? 2 使 f ?(? ) ? ?

?
1 2 3

a

0

f ( x)dx ?

Ma 2 ,其中 M ? max f ?( x) 。 0? x ? a 2

?

f ( x)dx ? f (0) ,证明:在 (0,1) 内至少存在

?

1 2 0

xf ( x)dx ,证明:在 (0,1) 内至少存在一点 ? ,

f (? )

?


1 2 0

19.设 f ( x) 在 ?0,1? 可微,且满足 f (1) ? 2

?

e1? x f ( x)dx ,证明:在 (0,1) 内至少存在一点

2

? ,使 f ?(? ) ? 2?f (? ) 。
20. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续, 在 (0,1) 可微, 且满足 f (1) ? k 内至少存在一点 ? ,使 f ?(? ) ? (1 ? ? ?1 ) f (? ) 。 21 .设 f ( x), g ( x) 在 ?a, b? 上连续,且 g ( x) ? 0 ,试证:至少存在一点 ? ? (a , b) ,使得

?

1 k 0

xe1? x f ( x)dx (k ? 1) , 证明: 在 (0,1)

? ?

b

a b a

f ( x) d x g ( x) d x

?

f (? ) g (? )

2

22.设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 f ?( x) ? 0 ,若 lim?
x ?a

f (2 x ? a) 存在, x?a

证明: (1)在(a, b) 内 f (x) > 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 ? , 使

b2 ? a2

?

b a

?

f ( x) d x

2? ; f (? )
2 2

(3)在(a, b) 内存在与 ? 相异的点? ,使 f ?(? )(b ? a ) ?

2? b f ( x) d x 。 ? ? a ?a

23.设 f ( x) 在 (??,??) 上连续,证明: f ( x) 是周期为 T 的函数的充分必要条件为:积分 值

?

T

0

f ( x ? y)dx 与 y 无关。

24.试确定常数 c 的值,使反常积分

?

??

0

? 1 c ? ? ?dx 收敛,并求出积分值。 ? ? 2 ? x ? 2 ? x ?4 ?

25. 在区间 [1, e] 上求一点 ? ,使曲线 y ? ln x 与 x ? ? , y ? 1 及 y ? 0 所围图形面积最小。 26. 设 f ( x) 在 ?a, b? 上连续, 且严格增加, 证明在 ( a, b) 内存在一点 ? , 使曲线 y ? f ( x) 与 两直线 y ? f (? ), x ? a 所围图形的面积 S1 是曲线 y ? f ( x) 与两直线 y ? f (? ), x ? b 所围图形的面积 S 2 的三倍。
2 2 27.设平面图形 A 由 x ? y ? 2 x 与 y ? x 所确定,求图形 A 绕直线 x ? 2 旋转一周所得

旋转体的体积。 28.证明曲边扇形 0 ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? (? ) 绕极轴旋转而成的体积为

Vox ?

2? 3

?? r

? 3

(? ) sin ? d ?

29.半径为 R , 密度为 ? 的球沉入深为 H ( H > 2 R ) 的水池底, 水的密度 ? 0 ?

? ,现将其

从水池中取出, 需做多少功 ? 30.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口,已知井深 30 m ,抓 斗自重 400N ,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为 3m /s,在提 升过程中污泥以 20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 问克服重力需作多少焦耳( J ) 功? 31.一半径为 R 米的圆形水闸门垂直立于水中,求水面与闸顶同样高时,闸门所受侧压力。

3


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