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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 正弦定理和余弦定理


§4.7

正弦定理和余弦定理

[高考调研 考纲解读

明确考向] 考情分析

?利用正、余弦定理求三角形中 ?掌握正弦定理、余 的边、角及其面积问题是高考考 弦定理,并能解决 一些简单的三角形 度量问题. 查的热点. ?常与三角恒等变换相结合,综 合考查三角形中的边与角、三角 形形状的判断等.

知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 1 □ ______________ 内容 =2R(R为△ABC外 接圆半径) 余弦定理 2 a2=□______________; 3 b2=□______________; 4 c2=□______________.

定理

正弦定理 5 ①a=□______________, 6 b=□______________, 7 c=□______________.

余弦定理

12 cosA=□_____;

变形 13 8 ②sinA=□____________, cosB=□_____; 形式 9 sinB=□____________, cosC=□______. 14 10 sinC=□____________. 11 ③a∶b∶c=□________.

2.在△ABC中,已知a,b和A解三角形时,解的情况 A为钝角 A为锐角 图 形 或直角

A为钝角 A为锐角 关系 式 解的 个数 a<bsinA a=bsinA BsinA <a<b a≥b a>b a≤b 或直角

15 16 17 18 19 20 □____ □____ □____ □____ □_ □__

3.三角形常用的面积公式 1 (1)S= a·a(ha表示a边上的高). h 2 1 1 1 abc (2)S=2absinC=2acsinB=2bcsinA= 4R . 1 (3)S=2r(a+b+c)(r为内切圆半径). 1 (4)设p=2(a+b+c),则S= p?p-a??p-b??p-c?.

1 答案: □

a b c sinA = sinB = sinC

2 3 □ b2+c2-2bccosA □

a2+c2-2accosB 2RsinB

4 5 6 □ a2+b2-2abcosC □ 2RsinA □ 8 □ a 2R 9 □ b 2R 10 □ c 2R 11 □ sinA∶

7 □ 2RsinC

b2+c2-a2 12 sinB∶sinC □ 2bc

a2+c2-b2 13 □ 2ac

a2+b2-c2 14 □ 2ab

15 16 17 18 19 20 □无解 □一解 □两解 □一解 □一解 □无解

名 师 微 博 ●一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值 也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B?a >b?sinA>sinB.

●两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:①已知两角 及任一边,求其他边或角;②已知两边及一边的对角,求其 他边或角.情况②中结果可能有一解、两解、无解,应注意 区分,余弦定理可解决两类问题:已知两边及夹角求第三边 和其他两角;已知三边,求各角.

●两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:① 化边为角;②化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换.

基础自测 1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中,A=60° ,B= 75° ,a=10,则c等于( A.5 2 ) 10 6 C. 3 D.5 6

B.10 2

解析:由A+B+C=180° ,知C=45° ,由正弦定理得: a c 10 c 10 6 = .即 = .∴c= . sinA sinC 3 3 2 2 2

答案:C

sinA cosB 2.在△ABC中,若 a = b ,则B的值为( A.30° C.60° B.45° D.90°

)

sinA cosB 解析:由正弦定理知: sinA = sinB ,∴sinB=cosB,∴B =45° .

答案:B

3.在△ABC中,a= 3,b=1,c=2,则A等于( A.30° C.60° B.45° D.75°

)

b2+c2-a2 1+4-3 解析:由余弦定理得:cosA= = = 2bc 2×1×2 1 2, ∵0<A<π,∴A=60° .

答案:C

1 4.在△ABC中,a=3 2,b=2 3,cosC=3,则△ABC 的面积为( A.3 3 C.4 3 ) B.2 3 D. 3

1 2 2 解析:∵cosC=3,0<C<π,∴sinC= 3 , 1 1 2 2 ∴S△ABC=2absinC=2×3 2×2 3× 3 =4 3.

答案:C

5.已知△ABC三边满足a2+b2=c2- 3 ab,则此三角形 的最大内角为__________.

解析:∵a2+b2-c2=- 3ab, a2+b2-c2 3 ∴cosC= =- , 2ab 2 故C=150° 为三角形的最大内角.

答案:150°

考点一

利用正弦定理解三角形

[例1] c.

在△ABC中,a= 3,b= 2,B=45° .求A,C和边

a b 3 2 解析:由正弦定理得 sinA = sinB , sinA = sin45° ,∴sinA 3 =2. ∵a>b,∴A=60° 或A=120° . bsinC 当A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= sinB = 6+ 2 2 ;

bsinC 当A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c= sinB = 6- 2 2 .

方法点睛

①已知两角一边可求第三角,解这样的三角

形只需直接用正弦定理代入求解即可;②已知两边和一边对 角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨 论该角,这是解题的难点,应引起注意.

变式训练1

π (2011· 北京)在△ABC中,若b=5,B= 4 ,

tanA=2,则sinA=__________;a=__________.

sinA 解析:因为△ABC中,tanA=2,所以A是锐角,且 cosA 2 5 =2,sin A+cos A=1,联立解得sinA= 5 ,再由正弦定理
2 2

a b sinA=sinB,代入数据解得a=2 10.

2 5 答案: 5 2 10

考点二

利用余弦定理解三角形

[例2]

在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,

cosB b 且cosC=- . 2a+c (1)求角B的大小; (2)若b= 13,a+c=4,求△ABC的面积.

a2+c2-b2 解析:(1)由余弦定理知:cosB= ,cosC= 2ac a2+b2-c2 2ab . a2+c2-b2 cosB b 2ab 将上式代入 cosC =- 得: ·2 2 2= 2ac 2a+c a +b -c b - ,整理得:a2+c2-b2=-ac. 2a+c

a2+c2-b2 -ac 1 ∴cosB= 2ac = 2ac =-2. 2 ∵B为三角形的内角,∴B=3π.

(2)将b=

2 13 ,a+c=4,B= 3 π代入b2=a2+c2-

2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,
? 1? ∴13=16-2ac?1-2?, ? ?

∴ac=3. 1 3 3 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4

方法点睛

①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将

角化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练运用余弦定 理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程 中的运用.

变式训练2

(2013· 桂林调研)已知A,B,C为△ABC的三
2A

个内角,其所对的边分别为a,b,c,且2cos +cosA=0. 2 (1)求角A的值; (2)若a=2 3,b+c=4,求△ABC的面积.

解析:(1)由2cos +cosA=0,得1+cosA+cosA=0,即 2 1 2π cosA=-2,∵0<A<π,∴A= 3 . 2π (2)由余弦定理得a =b +c -2bccosA,A= 3 ,则
2 2 2

2A

a2=(b+c)2-bc, 又a=2 3,b+c=4,有12=42-bc,则bc=4, 1 故S△ABC=2bcsinA= 3.

考点三

利用正、余弦定理判断三角形形状

[例3]

在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,

试判断△ABC的形状.

解析:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 得b2[sin(A-B)+sinC]=a2[sinC-sin(A-B)], 即b2sinAcosB=a2cosAsinB, 即sin2BsinAcosB=sin2AcosAsinB,所以sin2B=sin2A. 由于A,B是三角形的内角.故0<2A<2π,0<2B< 2π, π 故只可能2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= . 2 故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

方法点睛

判断三角形的形状的基本思想是:利用正、

余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数 关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或 将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得 出三边的关系.

变式训练3 ABC是( )

a b c 在△ABC中,若 cosA = cosB = cosC ,则△

A.直角三角形 C.钝角三角形

B.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析:由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c= 2RsinC(R为△ABC外接圆半径). sinA sinB sinC ∴ = = ,即tanA=tanB=tanC,∴A=B= cosA cosB cosC C.

答案:B

考点四

正、余弦定理的综合应用

[例4]

(2012· 课标全国)已知a,b,c分别为△ABC三个内

角A,B,C的对边,acosC+ 3asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为 3,求b,c.

解析:(1)由acosC+

3 asinC-b-c=0及正弦定理得

sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为B=π-A-C,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+ cosAsinC,所以 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. 由于sinC≠0, 所以
? π? 1 3sinA-cosA-1=0,即sin?A-6?= . ? ? 2

π 又0<A<π,故A=3.

1 (2)△ABC的面积S=2bcsinA= 3,故bc=4. 而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.

方法点睛

正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任

意三角形都成立,通过这些等式就可以把有限的条件纳入到 方程中,通过解方程组获得更多的元素,再通过这些新的条 件解决问题.

变式训练4

(2012· 江西)在△ABC中,角A,B,C的对边

?π ? ?π ? π 分别为a,b,c.已知A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ?

π (1)求证:B-C=2; (2)若a= 2,求△ABC的面积.

解析:(1)由bsin

?π ? ? +C? ?4 ?

-csin

?π ? ? +B? ?4 ?

=a,应用正弦定

?π ? ?π ? 理,得sinBsin?4+C?-sinCsin?4+B?=sinA, ? ? ? ? ? sinB? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? -sinC? sinB+ cosB?= 2 , 2 sinC+ 2 cosC? 2 ? ? 2 ?

整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B-C)=1, 3 π 由于0<B,C<4π,从而B-C=2.

3π 5π π (2)B+C=π-A= 4 ,因此B= 8 ,C=8. π asinB 5π asinC 由a= 2 ,A= 4 ,得b= sinA =2sin 8 ,c= sinA = π 1 5π π π 2sin8 ,所以△ABC的面积S= 2 bcsinA= 2sin 8 sin8 = 2cos 8 π 1 sin8=2.

易错矫正(十五) [试题]

忽视三角形中的边角条件致错

(2011· 安徽)在△ABC中,a,b,c分别为内角

A,B,C所对的边,a= 3,b= 2,1+2cos(B+C)=0,求 边BC上的高.

1 π 错解:由1+2cos(B+C)=0,知cosA= 2 ,∴A= 3 ,根 a b bsinA 2 π 3π 据正弦定理sinA=sinB得:sinB= a = 2 ,∴B=4或 4 . 以下解答过程略. 错因:忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增 根.

正解:∵在△ABC中,cos(B+C)=-cosA, π ∴1+2cos(B+C)=1-2cosA=0,∴A= . 3 a b bsinA 在△ABC中,根据正弦定理 = ,∴sinB= sinA sinB a 2 =2. π 5 ∵a>b,∴B=4,∴C=π-(A+B)=12π. ∴sinC=sin(B+A)

=sinBcosA+cosBsinA 2 1 2 3 = 2 ×2+ 2 × 2 6+ 2 = . 4 6+ 2 3+1 ∴BC边上的高为bsinC= 2× 4 = 2 .

点评:考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍 不注意,会出现“会而不对,对而不全”的情况,其主要原 因就是忽视三角形中的边角条件.解三角函数的求值问题 时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑三角形中的边角条 件.


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