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2012年北京市海淀区高三毕业班二模数学(理)试题及答案免费下载


海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学(理科)
2012.05 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)若 sin ? cos ? < 0 ,则角 ? 是 (A)第一或第二象限角 (C)第三或第四象限角 (B)第二或第三象限角 (D)第二或第四象限角

>
(2)已知命题 p : ?x0 ? R , 2 x0 ? 1 .则 ?p 是 (A) ?x0 ?R , 2 x0 ? 1 (C) ?x0 ? R , 2 x0 ? 1 (B) ?x0 ?R , 2 x0 ? 1 (D) ?x0 ? R , 2 x0 ? 1

?x ? 1 ? t (3)直线 ? ( t 为参数)的倾斜角的大小为 ?y ?1? t
(A) ?

? 4

(B)

? 4

(C)

? 2

(D)

3? 4

ì ? ? ? x? ? (4)若整数 x , y 满足 ? x + í ? ? ? ? y? ? ? ?
(A) 1

y y 3 , 2

1, 1, 则 2x + y 的最大值是

(B) 5
2 2

(C) 2

(D) 3

(5)已知点 F1 , F2 是椭圆 x + 2 y = 2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么

???? ???? ? PF1 + PF2 的最小值是
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2 2

(6)为了得到函数 y = log2

x - 1 的图象,可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点的

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 (B)纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
(A)纵坐标缩短到原来的 (C)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度
第 1 页 共 12 页

(D)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 (7)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的 四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (A)

20 3

(B)

4 3

主视图

(C) 6

(D) 4

(8)点 P( x, y ) 是曲线 C : y =

1 ( x > 0) 上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的 x

俯视图

切线与 x 轴、 y 轴分别交于 A, B 两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:①

PA = PB ;② ?OAB 的周长有最小值 4 + 2 2 ;③曲线 C 上存在两点 M , N ,使得
?OMN 为等腰直角三角形.其中真命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. (9)在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面积大于等于 是_________. (10)已知 ( x ? 1)10 ? a1 ? a2 x ? a3 x 2 ? ?? a11x10 . 若数列 a1 , a2 , a3 ,?, ak (1 #k 是一个单调递增数列,则 k 的最大值是 (11)在 ?ABC 中,若 ? A . .

1 的概率 4

11, k

Z)

120 , c = 5 , ?ABC 的面积为 5 3 ,则 a =

(12)如图, ? O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 P ,

CP =

7 , PD = 5, AP = 1 ,则 ?DCB =______. 5
A C P

D

O

B

(13)某同学为研究函数 f ( x) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x

1) 的性质,构造了如图

所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是边 BC 上的一个动点, CP = x , 点 设 则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些信息,推知函数 f ( x )
D C P F

的图象的对称轴是

;函数 g ( x ) = 4 f ( x ) - 9 的零点

A

B

E

第 2 页 共 12 页

的个数是

.

(14) 曲线 C 是平面内到定点 A(1, 0) 的距离与到定直线 x = - 1的距离之和为 3 的动点 P 的 轨迹. 则曲线 C 与 y 轴交点的坐标是 的最小值 d (a ) = . ;又已知点 B(a,1) ( a 为常数) ,那么 PB + PA

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知公差不为0的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 = a4 + 6 ,且 a1 , a4 , a13 成等 比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和公式. Sn

(16)(本小题满分 14 分) 如图所示, PA ^ 平面 ABC ,点 C 在以 AB 为直径 的⊙O 上, ? CBA 30 , PA = AB = 2 ,点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在 ? 上,且 OM ∥ AC . AB (Ⅰ)求证:平面 MOE ∥平面 PAC; (Ⅱ)求证:平面 PAC ^ 平面 PCB ; (Ⅲ)设二面角 M ? BP ? C 的大小为 ? ,求 cos ? 的值. (17)(本小题满分 13 分)
C A M B O P

E

某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务,现有 A,B 两个项目可供选择: (1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 P 11 a 12 0.4 17 b

且 X1 的数学期望 E(X1)=12; (2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关, B 项目产品价格 根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整, 两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格 调整的概率分别为 p(0< p <1)和 1?p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数 X(次) 与 X2 的关系如下表所示: X(次) X2(万元) (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 X2 的分布列;
第 3 页 共 12 页

0 4.12

1 11.76

2 20.40

(Ⅲ)若 E(X1)< E(X2),则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围. (18)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) , 且点 ( ?1, ) 在椭圆 C 上. 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使 得 QA ? QB ? ?

??? ??? ? ?

7 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 16
1 2 x ? x(a ? 0) . 2

(19)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? a ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 ?1 ? a ? 2(ln 2 ?1) ,求证:函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a ? 1 ? x0 ? a ? 2 ; (Ⅲ)当 a ? ?

4 时,记函数 f ( x ) 的零点为 x0 ,若对任意 x1, x2 ? [0, x0 ] 且 x2 ? x1 ? 1, 都有 5

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m 成立,求实数 m 的最大值.
(本题可参考数据: ln 2 ? 0.7, ln

9 9 ? 0.8, ln ? 0.59 ) 4 5

(20)(本小题满分 13 分) 将 一 个 正 整 数 n 表 示 为 a1 + a2 + ?+ a p ( p

N*) 的 形 式 , 其 中 ai ? N * ,

i = 1, 2,?, p , a1 ? a2 ? ? ? a p , 且 记所有这样的表示法的种数为 f (n)(如 4=4, 4=1+3,
4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故 f (4) ? 5 ). (Ⅰ)写出 f (3), f (5) 的值,并说明理由; (Ⅱ)对任意正整数 n ,比较 f (n ? 1) 与 [ f (n) ? f (n ? 2)] 的大小,并给出证明; (Ⅲ)当正整数 n ? 6 时,求证: f (n) ? 4n ? 13 .

1 2

第 4 页 共 12 页

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学(理科) 2012.05
(6) A (7) A (8) C

参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) D (2) A (3) D (4) B (5) C

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)

1 2

(10)6

(11) 61

(12) 45°

(13) x =

1 ;2 2

ì a 2 - 2a + 2, a ? 1.4或a 1, ? ? ? (14) (0, ± 3) ; ? a + 4, - 1.4 < a ? 1, í ? ? 2 - a, - 1 < a < 1. ? ? ? ?

注: (13)(14)题第一空3分;第二空2分. 、 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an }的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 , 所以 3a1 +

3创2 d = a1 + 3d + 6 . 2



??????????????3 分

因为 a1 , a4 , a13 成等比数列, 所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d )2 . 由①,②可得:a1 = 3, d = 2 . 所以 an = 2n + 1 . (Ⅱ)由 an = 2n + 1 可知: S n = ② ??????????????5 分 ??????????????6 分 ??????????????7 分

(3 + 2n + 1) n = n 2 + 2n . 2
??????????????9 分

所以

1 1 1 1 1 = = ( ). Sn n(n + 2) 2 n n + 2

??????????????11 分

第 5 页 共 12 页

所以

1 1 1 1 1 + + + ?+ + S1 S2 S3 Sn- 1 Sn

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( - + - + - + ?+ + ) 2 1 3 2 4 3 5 n- 1 n + 1 n n + 2

1 1 1 1 1 3n2 + 5n . = ( + )= 2 1 2 n+ 1 n+ 2 4(n + 1)(n + 2)
所以数列 {

3n2 + 5n 1 . } 的前 n 项和为 Sn 4(n + 1)(n + 2)
??????????????13 分

(16)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE ∥ PA . ??????????????1 分 因为 PA ? 平面 PAC , OE ? 平面 PAC , 所以 OE ∥平面 PAC. 因为 OM ∥ AC , 因为 AC ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC , 所以 OM ∥平面 PAC. ??????????????3 分 ??????????????2 分

因为 OE ? 平面 MOE , OM ? 平面 MOE , OE ? OM = O ,
所以 平面 MOE ∥平面 PAC. ???????????????5 分

(Ⅱ)证明:因为 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以 ? ACB

90 ,即 BC ? AC .
P

z

因为 PA ^ 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所 以 ?????

PA ? BC .
?????????7 分

E C D A x M B O y

因为 AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC ,

PA ? AC = A ,
所以 BC ^ 平面 PAC . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以 平面 PAC ^ 平面 PCB .
第 6 页 共 12 页

??????????????9 分

(Ⅲ)解:如图,以 C 为原点, CA 所在的直线为 x 轴, CB 所在的直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系 C ? xyz . 因为 ? CBA

30 , PA = AB = 2 ,

所以 CB = 2cos30? 延长 MO 交 CB 于点 D . 因为 OM ∥ AC ,

3 , AC = 1.

所以 MD ^ CB, MD = 1 +

1 3 1 3 . = , CD = CB = 2 2 2 2 3 3 , 0) . 2 2

所以 P(1, 0, 2) , C (0,0,0) , B(0, 3,0) , M ( ,

所以 CP = (1,0, 2) , CB = (0, 3,0) . 设平面 PCB 的法向量 m = ( x, y, z ) .

??? ?

??? ?

??? ? ì m ?CP ? 因为 ? ??? ? í ? m ?CB ? ?
? 所以 ? í

0, 0.
0, 0,
即? í

ì ( x, y, z ) ?(1, 0, 2) ? ( x, y, z ) ?(0, 3, 0) ? ?

ì x + 2 z = 0, ? ? 3 y = 0. ? ?

令 z = 1 ,则 x = - 2, y = 0 . 所以 m = (- 2,0,1) . ??????????????12 分

同理可求平面 PMB 的一个法向量 n ? 1, 3,1 . ??????????????13 分 所以 cos m, n ? 所以 cos ? =

?

?

m?n 1 ?? . m?n 5
???????????????14 分

1 . 5

(17)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得:

?a ? 0.4 ? b ? 1, ? ?11a ? 12 ? 0.4 ? 17b ? 12.
解得:a = 0.5, b = 0.1. (Ⅱ)X2 的可能取值为 4.12,11.76, 20.40 .
第 7 页 共 12 页

??????????????3 分

P ? X 2 ? 4.12? ? (1? p) ?1? (1? p)? ? p(1? p) , P ? X 2 ? 11.76? ? p ?1 ? (1 ? p)? ? (1 ? p)(1 ? p) ? p2 ? (1 ? p)2 ,

P ? X 2 ? 20.40? ? p(1? p) .
所以 X2 的分布列为: X2 P (Ⅲ)由(Ⅱ)可得: E ? X 4.12 p (1?p) 11.76
2 2

20.40

p +(1?p) p (1?p) ??????????????9 分

2

? ? 4.12 p(1 ? p) ? 11.76 ? p 2 ? (1 ? p)2 ? ? 20.40 p(1 ? p ) ? ?
? ? p2 ? p ? 11.76
. ??????????????11 分

因为 E(X1)< E(X2), 所以 12 < - p2 + p + 11.76 . 所以 0.4 < p < 0.6 . 当选择投资 B 项目时, p 的取值范围是

?0.4,0.6? .
??????????????13 分

(18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意知: c = 1 . 根据椭圆的定义得: 2a =

(- 1- 1)2 + (

2 2 2 ,即 a = ) + 2 2

2.

??????????????3 分
2 所以 b = 2 - 1 = 1 .

所以 椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
??? ??? ? ?

??????????????4 分

(Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 Q(m,0) ,使得 QA ? QB ? ? 当直线 l 的斜率为 0 时, A( 2,0), B( ? 2,0) . 则 ( 2 - m, 0) ?( 解得 m =

7 恒成立. 16

2 - m, 0) = -

7 . 16
??????????????6 分

5 . 4

当直线 l 的斜率不存在时, A(1,

2 2 ), B(1, ? ). 2 2

第 8 页 共 12 页

5 2 7 ,所以 m ? ,)? 4 2 16 ??? ??? ? ? 5 7 下面证明 m = 时, QA ? QB ? ? 恒成立. 4 16
由于 (1 +

5 2 , ) ?(1 4 2

5 . 4

??????????????8 分

??? ??? ? ? 7 显然 直线 l 的斜率为 0 时, QA ? QB ? ? . 16
当直线 l 的斜率不为 0 时, 设直线 l 的方程为:x = ty + 1 ,A(x1, y1 ), B (x2 , y2 ).

ì x2 ? ? + y 2 = 1, 由? 2 可得: (t 2 + 2) y 2 + 2ty - 1 = 0 . í ? ? x = ty + 1 ? ?
显然 ? > 0 .

ì 2t ? ? y1 + y2 = - 2 , ? ? t +2 ? í ? ?yy =- 1 . ? 1 2 ? t2 + 2 ? ?
因为 x1 = ty1 + 1, x2 = ty2 + 1 , 所以 ( x1 -

??????????????10 分

5 , y1 ) ?( x2 4

5 1 1 , y2 ) = (ty1 - )(ty2 - ) + y1 y2 4 4 4 1 1 = (t 2 + 1) y1 y2 - t ( y1 + y2 ) + 4 16

= - (t 2 + 1)

1 1 2t 1 + t 2 + t + 2 4 t + 2 16
2

=
5 4

- 2t 2 - 2 + t 2 1 7 . + =2 2(t + 2) 16 16
??? ??? ? ? 7 恒成立. 16

综上所述:在 x 轴上存在点 Q ( , 0) ,使得 QA ? QB ? ?

??????????????13 分 (19)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 ( a , ?? ) .

a ? x 2 ? (a ? 1) x f '( x) ? ? x ?1 ? . x?a x?a
令 f '( x) ? 0 , x ? 0 或 x ? a +1 .

??????????????1 分

当 ?1 ? a ? 0 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x) 随 x 的变化情况如下表:
第 9 页 共 12 页

x

( a ,0)
?

0
0 极小值

(0, a ? 1)
?

a ?1
0 极大值

(a ? 1, ??)
?

f ( x)

f '( x)

?

?

?
).

所以, 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a + 1) , 单调递减区间是 ( a, 0) 和 (a + 1, +

??????????????3 分 当 a = - 1 时, f '( x) ?

? x2 ? 0 . 所以,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (- 1, + x ?1

).

??????????????4 分 当 a ? ?1 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(a, a ? 1)
?

a ?1
0 极小值

(a ? 1,0)
?

0 0 极大值

(0, ??)
?

f ( x)

f '( x)

?

?

?
).

所以, 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (a + 1, 0) , 单调递减区间是 (a, a + 1) 和 (0, +

??????????????5 分 (Ⅱ)证明:当 ?1 ? a ? 2(ln 2 ? 1) ? 0 时,由(Ⅰ)知, f ( x ) 的极小值为 f (0) ,极大值 为 f (a ? 1) . 因为 f (0) ? a ln( ?a ) ? 0 ,f ( a ? 1) ? ? 在 (a + 1, +

1 1 (a ? 1) 2 ? ( a ? 1) ? (1 ? a 2 ) ? 0 , f ( x ) 且 2 2

) 上是减函数,
??????????????7 分

所以 f ( x ) 至多有一个零点. 又因为 f (a ? 2) ? a ln 2 ?

1 2 1 a ? a ? ? a[a ? 2(ln 2 ? 1)] ? 0 , 2 2

所以 函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a ? 1 ? x0 ? a ? 2 . ??????????????9 分

4 (Ⅲ)解:因为 ?1 ? ? ? 2(ln 2 ? 1) , 5
所以 对 任 意 x1, x2 ? [0, x0 ] 且 x2 ? x1 ? 1, 由 ( Ⅱ ) 可 知 : x1 ?[0, a ? 1) ,

第 10 页 共 12 页

x2 ? (a ? 1, x0 ] ,且 x2 ? 1 .

??????????????10 分

因为 函数 f ( x ) 在 [0, a + 1) 上是增函数,在 (a + 1, + 所以 f ( x1 ) ? f (0) , f ( x2 ) ? f (1) . 所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) ? f (0) 当a ? ?

) 上是减函数,

??????????????11 分

f (1) .

4 a 1 4 9 1 时, f (0) ? f (1) ? a ln( ) ? = ln ? >0. 5 a ?1 2 5 4 2

所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) ? f (0) 所以

f (1) > 0 .

??????????????13 分

4 9 1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 的最小值为 f (0) ? f (1) ? ln ? . 5 4 2 4 9 1 所以 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m 恒成立的 m 的最大值为 ln ? . 5 4 2
??????????????14 分

(20)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以 f (3) ? 3 . 因为 5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以 f (5) ? 7 . (Ⅱ)结论是 f (n ? 1) ? ??????????????3 分

1 [ f (n) ? f (n ? 2)] . 2

证明如下:由结论知,只需证 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 2) ? f (n ? 1). 因为 n ? 1 ? 2 , n ? 1 的一个表示法中 a1 = 1 的 a1 去掉, 把 就可得到一个 n 的表示法; 反之,在 n 的一个表示法前面添加一个“1+” ,就得到一个 n + 1 的表示法,即 n ? 1 的表示 法中 a1 = 1 的表示法种数等于 n 的表示法种数, 所 以 f (n ? 1) ? f (n) 表 示 的 是 n ? 1 的 表 示 法 中 a1 ? 1 的 表 示 法 数 ,

f (n ? 2) ? f (n ? 1) 是 n + 2 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数.
同样,把一个 a1 ? 1 的 n ? 1 的表示法中的 a p 加上 1, 就可得到一个 a1 ? 1 的 n + 2 的表示法,这样就构造了从 a1 ? 1 的 n ? 1 的表示法到 a1 ? 1 的 n ? 2 的表示法的一个对应. 所以有 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 2) ? f (n ? 1).??????????????9 分
第 11 页 共 12 页

(Ⅲ)由第(Ⅱ)问可知: 当正整数 m ? 6 时, f (m) - f (m - 1) ? f (m 1) - f (m - 2) 吵 ? 又 f (6) ? 11, f (5) ? 7, 所以 f (m) - f (m - 1)

f (6) - f (5) .

4. *

对于*式,分别取 m 为 6,7, ?, n ,将所得等式相加得 f (n) ? f (5) ? 4(n ? 5) . 即 f (n) ? 4n ? 13 . ??????????????13 分

第 12 页 共 12 页


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