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2009年全国高中数学联赛试题及答案


全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中 所规定的教学要求和内容, 但在方法的要求上有所提高。 主要考查学生对基础知识和基本技 能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括 4 道大题,其中一道平面几何题. 一 试 一、填空(每小题 7 分,共 56 分) x ?99? f ? f ? x ?? 1. 若函数 f ? x ? ? 且 f (n) ? x ? ? f ? ?? ?? ?f ? ? ,则 f ?1? ? 2 ??? ???? ? 1? x
n



2. 已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x ? 2 y ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上, B , C 为 圆 M 上 两 点 , 在 ?ABC 中 , ?BAC ? 45? , AB 过 圆 心 M , 则 点 A 横 坐 标 范 围 为 . ?y≥0 ? 3. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由 ?y≤2 ? x ?
2 2

不 等 式 t ≤ x ≤ t ? 1 所 确 定 , t 的 取 值 范 围 是 0 ≤ t ≤1 , 则 M 和 N 的 公 共 面 积 是 函 数 . f ?t ? ? 4. 使不等式

1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

. x2 y 2 5. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 上任意两点 P ,Q ,若 OP ?OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最 a b 小值为 . 6. 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 . 7. 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的 数是 (可以用指数表示) ∶ 00 ~ 9 ∶ 00 , 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随 8. 某车站每天 8 机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8 ∶ 10 8 ∶30 8 ∶50 到站时刻 9∶ 10 9∶30 9∶50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分). 二、解答题 x2 y 2 1. (14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆 ? ? 1 交于不同两 16 12 x2 y 2 点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 4 12 ???? ??? ? AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

a 的值为

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2. (15 分) 已知 p , 方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? ,? , 数列 ?an ? q ? q ? 0? 是实数, 满足 a1 ? p , a2 ? p2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 , 4, ?? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示);

1 (Ⅱ)若 p ? 1 , q ? ,求 ?an ? 的前 n 项和. 4

3. (15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.

加试 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分) ? 、? AC 的 9. 如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC 中点.过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ),记 ?AQC , △QCB 的内 ⑵在弧 ? 心分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

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10. 求证不等式: 1 ? n k ? ?1 ? ? ? 2 ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… ? 2 ? k ?1 k ? 1 ?

l 11. 设 k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与 互素.

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