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高三数学第二轮复习教案


高三数学第二轮复习教案 第2讲
一、考试内容
数列;等差数列及其通项公式,等差数列前 n 项和公式;等比数列及其通项公式,等比 数列前 n 项和公式。

数列问题的题型与方法

二、考试要求
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项。 2.

理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答 简单的问题。 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决 简单的问题。

三、复习目标
1. 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前 n 项的和; 3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实 践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方 法分析问题与解决问题的能力. 5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通 各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用 函数的思想、 方程的思想研究数列问题的自觉性、 培养学生主动探索的精神和科学理性的思 维方法.

四、双基透视
1. 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法:
①若 ②若 (3)中项公式法:验证 3. 在等差数列 = +(n-1)d= +(n-k)d ,则 ,则

?an ? 为等差数列;
都成立。

?an ? 为等比数列。

?an ? 中,有关 S

n

的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当

>0,d<0 时,满足

的项数 m 使得

取最大值.

(2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

取最小值。

4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

五、注意事项

1.证明数列 ?an ? 是等差或等比数列常用定义,即通过证明 an?1 ? an ? an ? an?1 或

an?1 a ? n 而得。 an a n?1
2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活 地运用性质,可使运算简便。 3.对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 4.注意一些特殊数列的求和方法。 5.注意 sn 与 an 之间关系的转化。如:

an =

s1 , s n ? s n ?1 ,

n ?1 n?2



an = a1 ? ? (ak ? ak ?1 ) .
k ?2

n

6.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极 限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. 7.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的 本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 8.通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解 综合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力. 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地 位。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多 为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的 区分度。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式 的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探 索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主 观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、 待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数 列模型,将现实问题转化为数学问题来解决。

六、范例分析
例 1.已知数列{a n }是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 S n .

(2)过点 Q 1 (1,a 1 ),Q 2 (2,a 2 )作直线 12,设 l 1 与 l 2 的夹角为θ , 证明:(1)因为等差数列{a n }的公差 d≠0,所以

Kp 1 p k 是常数(k=2,3,?,n).

(2)直线 l 2 的方程为 y-a 1 =d(x-1),直线 l 2 的斜率为 d.

例 2.已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?

⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 -S n?1 作切入点探索解题的途径.

an , (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n

分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有 S n?1 =4a n +2,可由 S n? 2 解: (1)由 S n?1 =4a n ?2 , n? 2 =4a n?1 +2, S 两式相减, S n? 2 -S n?1 =4(a n?1 -a n ), a n? 2 =4a n?1 得 即 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键,注意加强恒等 变形能力的训练) a n? 2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n 已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3 由① 和② 得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2 ① ②
n?1



当 n≥2 时,S n =4a n?1 +2=2

n?1

(3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适合上式.
n?1

综上可知,所求的求和公式为 S n =2

(3n-4)+2.

说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列 通项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n?1 ? 4an ? 2 得出递推公式。 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后 面求解的过程中适时应用. 例 3.已知数列{a n }是首项 a1>0,q>-1 且 q≠0 的等比数列,设数列{b n }的通项 b n =a n?1 -ka n? 2 (n∈N),数列{a n }、{b n }的前 n 项和分别为 S n ,T n .如果 T n >kS n 对一切自然 数 n 都成立,求实数 k 的取值范围. 分析:由探寻 T n 和 S n 的关系入手谋求解题思路。

解:因为{a n }是首项 a 1 >0,公比 q>-1 且 q≠0 的等比数列,故 a n?1 =a n ·q, 所以 a n? 2 =a n ·q .
2 2 2 2

b n =a n?1 -ka n? 2 =a n (q-k·q ).
2

T n =b 1 +b 2 +?+b n =(a 1 +a 2 +?+a n )(q-k·q )=S n (q-kq ). 依题意,由 T n >kS n ,得 S n (q-kq )>kS n , 当 q>0 时,由 a1>0,知 a n >0,所以 S n >0;
n

①对一切自然数 n 都成立.

当-1<q<0 时,因为 a1>0,1-q>0,1-q >0,所以 S n = 综合上面两种情况,当 q>-1 且 q≠0 时,S n >0 总成立. 由① 式可得 q-kq >k
2

②,

例 4.(2001 年全国理)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以 此发展旅游产业. 根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 .本年度 5

当地旅游业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收 入每年会比上年增加

1 。(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入 4

为 bn 万元. 写出 an,bn 的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

解析:第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800×(1-

)万元??,

第 n 年投入 800×(1-



n-1

万元

所以总投入 an=800+800(1-

)+??+800×(1-



n-1

=4000[1-(

)]

n

同理:第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400×(1+

)万元,??,

第 n 年收入 400×(1+



n-1

万元

bn=400+400×(1+

)+??+400×(1+



n-1

=1600×[(

) -1]

n

(2)∴bn-an>0,1600[(

) -1]-4000×[1-(

n

) ]>0

n

化简得,5×(

) +2×(

n

) -7>0 ?

n

设 x=(

) ,5x -7x+2>0 ? ∴x<

n

2

,x>1(舍)?

即(

)<

n

,n≥5.?

说明:本题主要考查建立函数关系式,数列求和,不等式等基础知识,考查综合运用数学知 识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关:(1)事理关:阅读理解,知 道命题所表达的内容;(2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言,用数 学关系式表述事件;(3)数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解 答这一数学模型,得出符合实际意义的解答。 例 5.设实数 a ? 0 ,数列 ?an ? 是首项为 a ,公比为 ? a 的等比数列,记

bn ? an 1g | an | (n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
求证:当 a ? ?1 时,对任意自然数 n 都有 S n = 解: an ? a1q n?1 ? a(?a) n?1 ? (?1) n?1 a n 。

a lg a (1 ? a)
2

?1 ? (?1)

n?1

(1 ? n ? na)a n

?

?bn ? an lg | an |? (?1) n?1 a n lg | (?1) n?1 a n |? (?1) n?1 nan lg | a | ? S n ? a lg | a | ?2a 2 lg | a | ?3a 3 lg | a | ?? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 lg | a | ?(?1) n?1 nan lg | a |

? [a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 ? (?1) n?1 nan ] lg | a | 2 3 n ?2 n?1 n?1 n 记 S ? a ? 2a ? 3a ? ? ? (?1) (n ? 1)a ? (?1) na ① 2 3 n?3 n?1 n?2 n n?1 n?1 ② as ? a ? 2a ? ? ? (?1) (n ? 2)a ? (?1) (n ? 1)a ? (?1) na 2 3 n?2 n?1 n ?2 n n?1 n?1 ①+②得 (1 ? a)s ? a ? a ? a ? ? ? (?1) a ? (?1) a ? (?1) na ③

? a ? ?1,?(1 ? a)S ?

a ? (?1)n?1 an?1 ? (?1)n?1 n ? an?1 1 ? (1 ? a) n ?1 n ?1 a ? (?1) a ? (1 ? a ) ? (?1) n ?1 ? n ? a n ?1 ?S ? (1 ? a ) 2
a ? (1 ? n ? na) ? (?1) n ?1 a n ?1 a[1 ? (1 ? n ? na)(?1) n ?1 a n ] ? (1 ? a ) 2 (1 ? a ) 2 a lg | a | ? Sn ? [1 ? (?1) n ?1 (1 ? n ? na)a n ] 2 (1 ? a ) ?S ?
说明:本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项,确定 Cn ? an ? bn ,{an } 是等差数列, {bn } 等比数列。

解法一:设等差数列{a n }的首项 a 1 =a,公差为 d,则其通项为

根据等比数列的定义知 S 5 ≠0,由此可得

一步加工,有下面的解法) 解法二:

依题意,得

例 7.设二次方程 an x - an +1x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 an 表示 a n?1 ;

2

例 8. 在直角坐标平面上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )?, Pn ( xn , yn )?, 对一切正整数 n , 1 点 Pn 位于函数 y ? 3 x ? 数列 ?xn ? 。 ⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 k n ,求:

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,? 1 为公差的等差 4 2

1 1 1 。 ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n ⑶设 S ? ?x | x ? 2xn , n ? N , n ? 1? T ? ?y | y ? 4 yn , n ? 1? ,等差数列 ?an ? 的任一项 , an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125,求 ?an ? 的通项公式。 5 3 解: (1) x n ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2 13 5 3 5 ? yn ? 3 ? xn ? ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4 (2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为: 2n ? 3 2 12 n ? 5 y ? a( x ? ) ? , 2 4 2 2 把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x ? (2n ? 3) x ? n ? 1 。

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ??? 7 9 2n ? 1 2n ? 3 k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7 1 1 1 1 1 )? ? = ( ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6 (3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N , n ? 1} , T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1} ? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 . 设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265 ?125 ,由此得 , )

k n ? y ' | x?0 ? 2n ? 3 ,?

248 ? d ? ?12, 又 ? an ? T ? d ? ?12m(m ? N * ), 9 ? d ? ?24,? an ? 7 ? 24n(n ? N * ). ?
说明:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大(1)(2)两问运用几何知识算出 kn , 、
解决(3)的关键在于算出 S ? T 及求数列 ?an ? 的公差。


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