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高等数学上册复习7定积分的应用


定积分的应用
一、基本内容 1.平面图形的面积:

1?由y ? f ( x) ? 0, x ? a, x ? b, (a ? b) 与 x 轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 s ? ? f ( x)dx
a
? 所围成的图形的面积 s?? 2由y1 ? f ( x), y2 ? g ( x),( f ? g) 与x ? a

, x ? b

b

b

a

?
d

( ) ? g ?) d x f x ( x

3?由x1 ? ? ( y), x2 ? ? ( y),(? ? ? ) 与y ? c, y ? d 所围成的图形的面积s ? ? ?? ( y) ? ? ( y)?dy c
4?.求平面图形面积的步骤:
(1)求出曲线的交点,画出草图; (2)确定积分变量,由交点确定积分上下限; (3)应用公式写出积分式,并进行计算。 2.旋转体的体积
1?曲线y ? f ( x) ? 0, 与x ? a, x ? b 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 Vx ? ?

?
c

b

a

f 2 ( x)dx

2?曲线x ? ? ( y) ? 0, 与y ? c, y ? d 及 y 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 Vy ? ? ? ? 2 ( y)dy
d

(一)计算平面图形的面积 1.求曲线 y ? 2 ? x2 和直线 y ? 2 x ? 2 所围成图形的面积. 2.求由抛物线 y ? 1 ? x2 及其在点(1,0)处的切线和 y 轴所围成的平面图形的面积. 3.求曲线 y=ex, y=e-x 与直线 x=1 所围成的平面图形面积。 4.求由曲线 y ? x3 与 y ?

x 所围成的平面图形的面积。

5.求抛物线 y 2 ? 2 x 与其在点 ? 1 ,1? 处的法线所围成图形的面积。 2 (二)计算旋转体的体积 1.由曲线 xy ? 1 与直线 y ? 2, x ? 3 围成的平面图形,求: (1)此平面图形的面积; (2)此 平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积。 3.设曲线 y ? (1)求过曲线上 (2, 2) 点的切线方程; (2)求此切线与曲线 y ? 2 x 及 2x ,

y 轴所围成图形的面积; (3)求该图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积。
4.(1)求直线 y=2x y=x x=2 x=4 所围成的平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 2 (2) (I)求直线 x=0 x=2 y=0 与抛物线 y=-x +1 所围成的平面图形的面积 S (II)求上述平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 。


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