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1 高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法


高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法和延伸
有关高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法和延伸,基本的知识点及简单的例 题,希望对高中生们有帮助。 1 对数的概念 如果 a(a>0,且 a≠1)的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: logaN=b,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 由定义知: ①负

数和零没有对数; ②a>0 且 a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地, 以 10 为底的对数叫常用对数, 记作 log10N,简记为 lgN; 以无理数 e(e=2.718 28…) 为底的对数叫做自然对数,记作 logeN,简记为 lnN. 2 对数式与指数式的互化 式子名称 abN 指数式 ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式 logaN=b(底数)(对数)(真数) 3 对数的运算性质 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaM/N=logaM-logaN. (3)logaM^n=nlogaM (n∈R). 问:①公式中为什么要加条件 a>0,a≠1,M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子 ab=NlogaN=b 名称 a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质 am· an=am+n am÷ an= (am)n= (a>0 且 a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中,为什么要规定 a>0,,且 a≠1?

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理由如下: ①若 a<0,则 N 的某些值不存在,例如 log②若 a=0,则 N≠0 时 b 不存在;N=0 时 b 不惟一,可以为任何正数 ③若 a=1 时,则 N≠1 时 b 不存在;N=1 时 b 也不惟一,可以为任何正数 为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于 1 的正数 解题方法技巧 1 (1)将下列指数式写成对数式: ①54=625;②2-6=164;③3x=27;④ (2)将下列对数式写成指数式: ①log1216=-4;②log2128=7; ③log327=x;④lg0.01=-2; ⑤ln10=2.303;⑥lgπ=k. 解析由对数定义: ③log327=x.④log135.73=m. 解题方法 指数式与对数式的互化, 必须并且只需紧紧抓住对数的定义: ②27=128.③3x=27. ④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π. 2 根据下列条件分别求 x 的值: (1)log8x=-23;(2)log2(log5x)=0; (3)logx27=31+log32;(4)logx(2+3)=-1. 解析(1)对数式化指数式,得:x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=3×3log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1,x=51=5. (3)logx27=3×3log32=3×2=6, ∴x6=27=33=(3)6,故 x=3. (4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3. 解题技巧 ①转化的思想是一个重要的数学思想, 对数式与指数式有着密切的关系, 在解决有关问题时, 经常进行着两种形式的相互转化. ②熟练应用公式:loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知 logax=4,logay=5,求 A=〔x· 3x-1y2〕12 的值. ①12-4=16. aN=b. 解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.

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解析思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式 的运算求值; 思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值 解答解法一∵logax=4,logay=5, ∴x=a4,y=a5, ∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53· a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以 a 为底的对数得 logaA=loga(x512y-13) =512logax-13logay=512×4-13×5=0, ∴A=1. 解题技巧 有时对数运算比指数运算来得方便,因此以指数形式出现的式子,可利用取对数的方法,把 指数运算转化为对数运算.4 设 x,y 均为正数,且 x·y1+lgx=1(x≠110),求 lg(xy)的取值范围. 解析一个等式中含两个变量 x、y,对每一个确定的正数 x 由等式都有惟一的正数 y 与之对 应,故 y 是 x 的函数,从而 lg(xy)也是 x 的函数.因此求 lg(xy)的取值范围实际上是一个求函 数值域的问题,怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答∵x>0,y>0,x· y1+lgx=1, 两边取对数得:lgx+(1+lgx)lgy=0. 即 lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1). 令 lgx=t, 则 lgy=-t1+t(t≠-1). ∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律 对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法; 而变量替换可把 较复杂问题转化为较简单的问题.设 S=t21+t,得关于 t 的方程 t2-St-S=0 有实数解. ∴Δ=S2+4S≥0,解得 S≤-4 或 S≥0, 故 lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞). 5 求值: (1)lg25+lg2· lg50+(lg2)2; (2)2log32-log3329+log38-52log53; (3)设 lga+lgb=2lg(a-2b),求 log2a-log2b 的值; (4)求 7lg20· 12lg0.7 的值. 解析(1)25=52,50=5×10.都化成 lg2 与 lg5 的关系式. (2)转化为 log32 的关系式. (3)所求 log2a-log2b=log2ab 由已知等式给出了 a,b 之间的关系,能否从中求出 ab 的值呢? (4)7lg20· 12lg0.7 是两个指数幂的乘积,且指数含常用对数, 设 x=7lg20· 12lg0.7 能否先求出 lgx,再求 x? 解答(1)原式=lg52+lg2· lg(10×5)+(lg2)2

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=2lg5+lg2· (1+lg5)+(lg2)2 =lg5· (2+lg2)+lg2+(lg2)2 =lg102· (2+lg2)+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知 lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0), ∴ab=(a-2b)2, 即 a2-5ab+4b2=0. ∴ab=1 或 ab=4,这里 a>0,b>0. 若 ab=1,则 a-2b<0, ∴ab=1( 舍去). ∴ab=4, ∴log2a-log2b=log2ab=log24=2. (4)设 x=7lg20· 12lg0.7,则 lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12 =(1+lg2)· lg7+(lg7-1)· (-lg2) =lg7+lg2=14, ∴x=14, 故原式=14. 解题规律 ①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据, 对数的运算法则是等式两边都有意义的恒 等式, 运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变, 为防止增根所以需要检 验,如(3). ②对一个式子先求它的常用对数值,再求原式的值是代数运算中常用的方法,如(4).6 证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0); (2)logab· logbc=logac; (3)logab=1logba(b>0,b≠1); (4)loganbm=mnlogab. 解析(1)设 logaN=b 得 ab=N,两边取以 c 为底的对数求出 b 就可能得证. (2)中 logbc 能否也换成以 a 为底的对数. (3)应用(1)将 logab 换成以 b 为底的对数. (4)应用(1)将 loganbm 换成以 a 为底的对数. 解答(1)设 logaN=b,则 ab=N,两边取以 c 为底的对数得:b· logca=logcN, ∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logaclogab. 所以 logab· logbc=logab· logaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba.

解题规律

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(1)中 logaN=logcNlogca 叫做对数换底公式,(2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对 数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式,既要善于正用,也要善于逆用.(4)由 (1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab. 7 已知 log67=a,3b=4,求 log127. 解析依题意 a,b 是常数,求 log127 就是要用 a,b 表示 log127,又 3b=4 即 log34=b,能否 将 log127 转化为以 6 为底的对数,进而转化为以 3 为底呢? 解答已知 log67=a,log34=b, ∴log127=log67log612=a1+log62. 又 log62=log32log36=log321+log32, 由 log34=b,得 2log32=b. ∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b. ∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧 利用已知条件求对数的值, 一般运用换底公式和对数运算法则, 把对数用已知条件表示出来, 这是常用的方法技巧 已知 x,y,z∈R+,且 3x=4y=6z. (1)求满足 2x=py 的 p 值; (2)求与 p 最接近的整数值; (3)求证:12y=1z-1x. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式,能否引进中间量 m,再用 m 分别表示 x,y,z?又想, 对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答(1)解法一 ∴p=log316. 解法二设 3x=4y=m,取对数得: x· lg3=lgm,ylg4=lgm, ∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由 2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)∵2=log39<log316<log327=3, ∴2<p<3. 又 3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而 2716<169, ∴log32716<log3169,∴p-2>3-p. ∴与 p 最接近的整数是 3. 解题思想 ①提倡一题多解.不同的思路,不同的方法,应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用, 既发散了思维,又提高了分析问题和解决问题的能力,何乐而不为呢?

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②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底 3>1,所以真数大的对 数就大,问题转化为比较两个真数的大小,这里超前应用了对数函数的单调性,以鼓励学生 超前学习,自觉学习的学习积极性.(3)解法一令 3x=4y=6z=m,由于 x,y,z∈R+, ∴k>1,则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以 1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm,12y=12· lg4lgm=lg2lgm, 故 12y=1z-1x. 解法二 3x=4y=6z=m, 则有 3=m1x①,4=m1y②,6=m1z③, ③÷ ①,得 m1z-1x=63=2=m12y. ∴1z-1x=12y. 9 已知正数 a,b 满足 a2+b2=7ab.求证:logma+b3=12(logma+logmb)(m>0 且 m≠1). 解析已知 a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含 a,b 的一次式,想:能否将真数中的一 次式也转化为二次,进而应用 a2+b2=7ab? 解答 logma+b3=logm(a+b3)212=

解题技巧 ①将 a+b3 向二次转化以利于应用 a2+b2=7ab 是技巧之一. ②应用 a2+b2=7ab 将真数的和式转化为 ab 的乘积式,以便于应用对数运算性质是技巧之 二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9. ∵a2+b2=7ab, ∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb), 即 logma+b3=12(logma+logmb). 思维拓展发散 1 数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数 N=a×10n.其中 N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数 N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数 N 的常用对数,就能揭示其中的奥秘. 解析由已知,对 N=a×10n 取常用对数得,lgN=n+lga.真数与对数有何联系? 解答 lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10, ∴lga∈〔0,1). 我们把整数 n 叫做 N 的常用对数的首数,把 lga 叫做 N 的常用对数的尾数,它是正的纯小 数或 0. 小结:①lgN 的首数就是 N 中 10n 的指数,尾数就是 lga,0≤lga<1; ②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同,只是首数不同; ③当 N≥1 时,lgN 的首数 n 比它的整数位数少 1,当 N∈(0,1)时,lgN 的首数 n 是负整数, |n|-1 与 N 的小数点后第一个不是 0 的有效数字前的零的个数相同. 师生互动 什么叫做科学记数法?

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N>0,lgN 的首数和尾数与 a×10n 有什么联系? 有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同?什么不同? 2 若 lgx 的首数比 lg1x 的首数大 9, lgx 的尾数比 lg1x 的尾数小 3,求 lgx,x,lg1x 的值. 解析① 即 lg0.203 4=1+0.308 3,1 是对数的首数,0.308 3 是对数的尾 数,是正的纯小数;②若设 lgx=n+lga,则 lg1x 也可表出. 解答设 lgx=n+lga,依题意 lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4). 又 lg1x=-lgx=-(n+lga), ∴(nn-9=-(n+1) lga+0.380 4=1-lga n=4, lga=0.308 3. ∴lgx=4+0.308 3=4.308 3, ∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104. ∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7. 解题规律 把 lgx 的首数和尾数,lg1x 的首数和尾数都看成未知数,根据题目的等量关系列方程.再由 同一对数的首数等于首数,尾数等于尾数,求出未知数的值,是解决这类问题的常用方法.3 计算: (1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3); (2)2lg(lga100)2+lg(lga). 解析(1)中.2+3 与 2-3 有何关系?2+3+2-3 双重根号,如何化简? (2)中分母已无法化简,分子能化简吗? 解题方法 认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法,不要被表面的繁、难所吓倒. 解答(1)原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2 =-1+12log6(4+22+3· 2-3) =-1+12log66 =-12. (2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2. 4 已知 log2x=log3y=log5z<0,比较 x,3y,5z 的大小. 解析已知是对数等式,要比较大小的是根式,根式能转化成指数幂,所以,对数等式应设法 转化为指数式. 解答设 log2x=log3y=log5z=m<0.则 x=2m,y=3m,z=5m. x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m. -n-lga,其中 n-9 是首数, 是尾数, -n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数 1-lga 是尾数,所以: , 且 lg0.203 4=1.308

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下面只需比较 2 与 33,55 的大小: (2)6=23=8,(33)6=32=9,所以 2<33. 又(2)10=25=32,(55)10=52=25, ∴2>55. ∴55<2<33. 又 m<0, 图 2-7-1 考查指数函数 y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x 在第二象限的图像,如图 2-7-

解题规律 ①转化的思想是一个重要的数学思想, 对数与指数有着密切的关系, 在解决有关问题时要充 分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化. ②比较指数相同,底不同的指数幂(底大于 0)的大小,要应用多个指数函数在同一坐标系中 第一象限(指数大于 0)或第二象限(指数小于 0)的性质进行比较 ①是 y=(55)x,②是 y=(2)x,③是 y=(33)x.指数 m<0 时,图像在第二象限从下到上,底从大到 小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故 3y<x<5z. 潜能挑战测试

1(1)将下列指数式化为对数式: ①73=343;②14-2=16;③e-5=m. (2)将下列对数式化为指数式: ①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p. 2 计算: (1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52. 3(1)已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求 lg45; (2)若 lg3.127=a,求 lg0.031 27. 4 已知 a≠0,则下列各式中与 log2a2 总相等的是() A 若 logx+1(x+1)=1 ,则 x 的取值范围是() A 已知 ab=M(a>0,b>0,M≠1),且 logMb=x,则 logMa 的值为() A 若 log63=0.673 1,log6x=-0.326 9, 则 x 为() A 若 log5〔log3(log2x)〕=0,则 x=. 98log87· log76· log65=. 10 如果方程 lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2· lg3=0 的两根为 x1、x2,那么 x1· x2 的值为. 11 生态学指出:生物系统中,每输入一个营养级的能量,大约只有 10%的能量流到下一个 营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6 这条生物链中 (Hn 表示第 n 个营养级, n=1, 2, 3, 4, 5,6).已知对 H1 输入了 106 千焦的能量,问第几个营养级能获得 100 千焦的能量? 12 已知 x,y,z∈R+且 3x=4y=6z,比较 3x,4y,6z 的大小. 13 已知 a,b 均为不等于 1 的正数,且 axby=aybx=1,求证 x2=y2. 14 已知 2a· 5b=2c· 5d=10,证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).

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15 设集合 M={x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0},若 围. 16 在张江高科技园区的上海超级计算中心内,被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟 384 000 000 000 次.用科学记数法表示这个数为 N=,若已知 lg3.840=0.584 3,则 lgN=. 17 某工厂引进新的生产设备,预计产品的生产成本比上一年降低 10%,试问经过几年,生 产成本降低为原来的 40%?(lg2=0.3, lg3=0.48) 18 某厂为适应改革开放,完善管理机制,满足市场需求,某种产品每季度平均比上一季度 增长 10.4%,那么经过 y 季度增长到原来的 x 倍,则函数 y=f(x)的解析式 f(x)=. 名师助你成长 1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5. (2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5. 2.(1)48 点拨:先应用积的乘方,再用对数恒等式. (2)98 点拨:应用商的乘方和对数恒等式. (3)144 点拨:应用对数运算性质和积的乘方. 3.(1)0.826 6 点拨:lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2). (2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a 4.C 点拨:a≠0,a 可能是负数,应用对数运算性质要注意对数都有意义. 5.B 点拨:底 x+1>0 且 x+1≠1;真数 x+1>0. 6.A 点拨:对 ab=M 取以 M 为底的对数. 7.C 点拨:注意 0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9, 所以 log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12. 8.x=8 点拨:由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23. 9.5 点拨:log87· log76· log65=log85, 8log85=5. 10.16 点拨:关于 lgx 的一元二次方程的两根是 lgx1,lgx2. 由 lgx1=-lg2,lgx2=-lg3,得 x1=12,x2=13. 11.设第 n 个营养级能获得 100 千焦的能量, 依题意:106· 10100n-1=100, 化简得:107-n=102,利用同底幂相等,得 7-n=2, 或者两边取常用对数也得 7-n=2. ∴n=5,即第 5 个营养级能获能量 100 千焦. 设 3x=4y=6z=k,因为 x,y,z∈R+, 所以 k>1.取以 k 为底的对数,得: x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6. ∴3x=3logk3=113logk3=1logk33, 同理得:4y=1logk44,6z=1logk66. 而 33=1281,44=1264,66=1236, ∴logk33>logk44>logk66. 又 k>1,33>44>66>1, ∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z. , {x|x<0},求实数 a 的取值范

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13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0, 即 xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※) 两式相加,得 x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0. 即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或 x+y=0. 当 lga+lgb=0 时,代入 xlga+ylgb=0,得: (x-y)lga=0, a 是不为 1 的正数 lga≠0,∴x-y=0. ∴x+y=0 或 x-y=0,∴x2=y2. 14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以 2 为底的对数,得:a-1=(1-b)log25. ∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得 log25=c-11-d(d≠1). 即 b≠1,d≠1 时,a-11-b=c-11-d. ∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b), ∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 当 b=1,c=1 时显然成立. 15.设 lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则 ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0). ∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0. ①当 a=0 时,解集{x|x<-1} {x|x<0}; 当 a≠0 时 且 {x|x<0}. ∴方程 ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根,设为 x1,x2 且 x1<x2,则 ②当 a>0 时,M={x|x<x1,或 x>x2},显然不是{x|x<0}的子集; ③当 a<0 时,M={x|x1<x<x2}只要: a<0, Δ=4(a+1)2+8a>0, x1+x2=2(a+1)a<0, x1· x2=-2a>0. 解得 3-2<a<0,综上所求,a 的取值范围是:3-2<a≤0. 16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3. 17.设经过 x 年,成本降为原来的 40%.则 (1-10%)x=40%,两边取常用对数,得: x· lg(1-10%)=lg40% , 即 x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10. 所以经过 10 年成本降低为原来的 40%. 18.f(x)=log1.104x〔或 f(x)=lgxlg1.104〕. 点拨:设原来一个季度产品为 a,则 a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.


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