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抽象函数的解析式例题讲解


已知 f(x)对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+2y(x+y)且 f(1)=1 求 f(x)的解

解法一: 令 x=1,y=-1,代入:

f(0)=f(1)=1; 令 y=1,代入原式: f(x+1)=f(x)+2(x+1)(需要注意的是 x=0 时,这个式子不成立) 移项后: f(x+1)-f(x)=2x+2 这个显然

是个递推式,下面用 n 代替 x 进行演绎: 显然 f(2)-f(1)=2*1+2 f(3)-f(2)=2*2+2 ………………… f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+2 以上等式分别相加起来 f(n)-f(1)=2*[(n-1)+(n-2)+……+1]+2*(n-1) 将 f(1)=1 代入,得:

f(n)=n^2+n-1 将 n 换成 x,则得到分段函数:

f(x)=x^2+x-1(x>0) f(0)=1(x=0) 解法二: 令 x=1, f(y+1)=f(1)+2y(y+1)=2y^2+2y+1 令 x=y+1,y=x-1 f(x)=2(x-1)^2+2(x-1)+1 即 f(x)=2x^2-2x+1


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