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高一数学(必修1)专题复习四 函数与方程


高一数学(必修 1)专题复习四

函数与方程
一.基础知识复习
1.函数的零点:方程 f ( x) ? 0 的根也称作函数 y ? f (x) 的零点. (1) 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有 零点. (2) 零点存在性定理: 如果函数 y ? f

(x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内有零点.即存在 c ? (a, b) , 使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根. ① 定理中函数 y ? f (x) 不一定有唯一的零点, 当函数 f (x) 在 (a, b) 上是单调函数时, 有唯一的零点. ② 如果函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内有零点,不一定有 f (a) f (b) ? 0 . 2.二分法:对于在区间 [ a , b ] 上连续且满足 f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ,通过不 断地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得 到零点近似值的方法叫做二分法. 3.二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的零点:
2

(1)当 ? ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有两不等实根,二次函数 f (x) 的图象与 x 轴有两个交 点,即有两个零点. (2)当 ? ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有两相等实根,二次函数 f (x) 的图象与 x 轴有一个交 点,即有一个零点. (3)当 ? ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 无实根,二次函数 f (x) 的图象与 x 轴无交点,即无零 点. 4.二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的实根分布及条件.
2

二.训练题目
一.选择题 1.函数 f ( x) ? ln x ? A. (1,2) 2.方程 2 ?
x

2 的零点所在的大致区间是( ) x B. (2,3) C. (3,4)

D. (e,??)

1 的解 x 0 所在的区间是( ) x A. (0.1,0.2) B. (0.3,0.4) C. (0.5,0.7) D. (0.9,1) ? 4x ? 4 , x ? 1 3. 函数 f ? x ? ? ? 2 的图象和函数 g ?x ? ? log 2 x 的图象的交点个数是 ( ) ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
A.4
2 2 4.关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

?

?

B.3
2

C.2

D.1

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不 同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不 同的实根.

其中假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2 ? x ? bx ? c, x?0 5.设函数 f ( x ) ? ? ,且 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的方 2, x?0 ? 程 f ( x) ? x 解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在 [?2,2] 的图象如下图所示 y y 给出下列四个命题: 2 (1)方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根; 2 y ? f (x) (2)方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根; (3)方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根; 2 ? (4)方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 其中正确的命题个数是( ) A.4 个 B.3 个

1

?1 O ?1 C. 2 个? 2

1

2

?2 x
D.1 个

y ? g (x)

O

2

x

x 7.设函数 f ( x) ? ? ( x ? R) ,区间 M ? [a, b] (a ? b) ,集合 1? | x | N ? { y | y ? f ( x), x ? M } ,则使 M ? N 成立的实数对 (a, b) 有( )
A.0 个 B.1 个
?1

?2

C.2 个

D.无数个

8. 函数 y ? f (x) 的反函数 y ? f 根是 x ? ( ) A.4 B.3

( x) 的图象与 y 轴交于点 P(0,2) , 则方程 f ( x) ? 0 的
C.2 D.1

9.设 f ( x) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时 f ( x) 是单调函数,则满足 f ( x) ? f ? 的所有 x 之和为( A. ?3 ) B. 3 C. ?8 D. 8

? x?3? ? ? x?4?

a 10.设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c .则( 2
2

?1? ?2?

b

?1? ?2?

c



A. a ? b ? c

B. c ? b ? a
2

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

11.已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? mx ,若对于任一实数 x , f ( x) 与 ) g ( x) 至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( A. (0, 2) B. (0,8) C. (2,8) D. (??,0) ? 1 ,x ? 1 ? 2 12. 设定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? x ? 1 , 若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 ?1, x ?1 ? 2 2 2 有 3 个不同的整数解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 等于( ) A.5 B.

2b 2 ? 2 b2

C.13

D.

2c 2 ? 2 c2

二.填空题 1.已知 y ? f (x) 是偶函数,且其图象 C 与 x 轴有 4 个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实 根之和为 . 2.设 f ( x) ? ? 围是_

?21? x ? a , x ? 0 ? f ( x ? 1) , x ? 0
2

,若 f ( x) ? x 有且只有两个实数根,则实数 a 的取值范

__.
2

3.已知关于 x 的方程 x ? (2m ? 8) x ? m ? 16 ? 0 的两个实根 x1 , x 2 满足 x1 ? 则实数 m 的取值范围_______________. 4.二次函数 y ? ax ? bx ? c 中, ac ? 0 ,则函数的零点个数为
2
2

3 ? x2 , 2



5.若方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根,则实数 a 的取值范围_______________. 6. 关于 x 的方程 | x ? 4 x ? 3 | ?a ? x 恰有三个不同的实根, 则实数 a 的取值范围_____.
2

7.已知 x1 是方程 x ? lg x ? 27 的解, x 2 是方程 x ? 10 ? 27 的解,则 x1 ? x 2 ? 三.解答题 1.确定下列方程的解的个数
x

(1) lg x ? 2 x ? 6 (3) 3
x ?1

(2) x ? 3x ? 1 ? 0
3 x

? ln x ? 0

(4) e ? x ? 8x
2

思考:方程 a ? log a x (a ? 0 且 a ? 1) 的解的个数.
x

2.如果二次函数 f ( x) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右 侧,试求 m 的取值范围.
2

3.已知 a 是实数,函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上 有零点,求 a 的取值范围.
2

4 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满 足 条 件 : f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 且 方 程
2

f ( x)( ? 2 x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m, n (m ? n) ,使 f (x) 定义域和值域分别为 [m, n] 和 [4m,4n] ,如果存在,求出 m, n 的值;如果不存在,说明理由.


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