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2014年中山市一模数学(文科数学)


中山市高三级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试 数学试卷(文科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答 题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上

。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? z2 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限 )

2.设全集 U 是实数集 R, M ? ?x ?2 ? x ? 2? , , N ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 M ? N ? ( A. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} B. {x | ?2 ? x ? 2} D. {x | x ? 2} )

?

?

1? , b ? ? x, ? 2 ? ,若 a ∥ b ,则 a + b 等于( 3.已知平面向量 a ? ? 2 ,
A. ? ?2, ?1? B. ? 2,1? C. ? 3, ?1?

D. ? ?3,1?

4.已知数列 {an } 为等差数列,若 a2 ? 3 , a1 ? a6 ? 12 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.36 B.42 C.45 D.63

5.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若 B 样本数据恰 好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A , B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 B.平均数
?



C.中位数
?

D.标准差

6.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m, ?ACB ? 45 , ?CAB ? 105 后, 就可以计算出 A、B 两点的距离为( A. )

25 2 m 2

B. 25 2m
高三数学(文科) 第 1 页(共 4 页)

C. 50 2m

D. 50 3m

7.如图,定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如右图所示,则

5? ?1? ) ? ln e ? lg 100 ? ? ? 的值为( 式子 ( 2 tan 4 ?3?
A.11 C.8 B.13 D.4 )

?1



8.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱 的三视图如下图所示,则该棱柱的体积为(

A. 12 3

B. 36 3

C. 27 3

D.6

9.已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,且 x ? [ ?1,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 , 则当 x ? (0 , 10 ] 时, y ? f ( x) 与 g ( x) ? log 4 x 的图象的交点个数为( A.11 B.10 C .9 D.8 )

10.对 ?a 、 b ? R ,运算“ ? ”、“ ? ”定义为: a ? b = ? 则下列各式其中不恒成立的是( ⑴ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑶ [a ? b] ?[a ? b] ? a ? b A.⑴、⑶ C.⑴、⑵、⑶ 11. cos2 15? ? sin2 15? ? 12.已知函数 f ( x) ? ? )

? a, (a ? b) ? a, (a ? b) ,a ?b = ? , ?b.( a ? b) ?b.( a ? b)

⑵ a ?b ? a ?b ? a ? b ⑷ [a ? b] ? [a ? b] ? a ? b B.⑵、⑷ D.⑴、⑵、⑶、⑷

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 ) .

?log 3 x, x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0

.

高三数学(文科) 第 2 页(共 4 页)

? 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 13.若变量 x, y 满足线性约束条件 ? x ? 4 y ? 8 ? 0 ,则 z ? 2x ? y 的最大值为________. ?x ?1 ? 0 ?
14 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ?

?ax 2 ? 2 x ? 1, ( ? 2? x ? 0) ?ax ? 3, ( x ? 0)

有 3 个 零点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

是 . 三、解答题( 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 15. (本题满分 12 分) 设平面向量 a ? (cos x, sin x) , b ? (

?

? ? 3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 。 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 6 3 3

16. (本题满分 12 分) 某学校餐厅新推出 A,B,C,D 四款套餐,某一 天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对 新推出的四款套餐的评价,对每位同学都进行了问卷 调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计,统计结果如下面表格所示: 满意 A 套餐 B 套餐 C 套餐 D 套餐 50% 80% 50% 40% 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25% 20% 0 40%


70

60
50
40

30
20

10
0

A

B

C

D

种类

(Ⅰ)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的调查问卷被选中的概率;

(Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出 2 人进行面 谈,求这两 人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率.

高三数学(文科) 第 3 页(共 4 页)

17. (本题满分 14 分) 如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱 的截面交下底面于 BC ,四边形ABCD是正方形,EO⊥AB. (Ⅰ)求证 BC ? BE ; (Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积.

18. (本小题满分 14 分) 数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ?

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

(Ⅰ)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ; 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx ,.
x

(Ⅰ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 求证: ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F (n) ?

n ln(en ?1 ? 2)(n ? N ? ) 2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ? x , g ( x) ? ? x ? ln x ,h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,其中 ? ? R ,
2

且? ? 0. (Ⅰ)当 ? ? ?1 时,求函数 g ( x) 的最大值; (Ⅱ)求函数 h( x ) 的单调区间;
f ( x ), x ? 0, (III)设函数 ? ( x) ? ? 若对任意给定的非零实数 x ,存在非零实数 t ( t ? x ) , ? ? g ( x), x ? 0.

使得 ? '( x) ? ? '(t ) 成立,求实数 ? 的取值范围.

高三数学(文科) 第 4 页(共 4 页)

中山市高三级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DAACD CBBCB 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 11.

3 ; 2

12.

1 ; 4

13. 5 ;

14. ( ,1)

3 4

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 设平面向量 a ? (cos x, sin x) , b ? (

?

? ? 3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 。 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 6 3 3
3 1 3 1 , ) ?1 ? cos x ? sin x ? 1 ………(2 分) 2 2 2 2

15.解: 依题意 f ( x) ? (cos x, sin x) ? (

? sin( x ? ) ? 1 ………………………………………………(4 分) 3
(Ⅰ) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2 ? ;………………………………………………(5 分) 令?

?

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

解得 ? ? 2k? ,

5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) .……………………(8 分) 6 6 ? 9 ? 4 (Ⅱ)由 f (? ) ? sin(? ? ) ?1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 因为 ? ? ? (10 分) , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? ,……………………… 6 3 2 3 3 5
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [?

5? ? (7 分) ? 2k? ? x ? ? 2k? ……………… 6 6

高三数学(文科)答案

第 1 页(共 7 页)

sin(2? +

2? ? ? ? 4 3 24 ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ?? 3 3 3 3 5 5 25
……………………………………………………………………(12 分)

16. (本题满分 12 分) 某学校餐厅新推出 A,B,C,D 四款套餐,某一 天四款套餐销售情况的条形图如下 . 为了了解同学对 新推出的四款套餐的评价,对每位同学都进行了问卷 调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份 进行统计,统计结果如下面表格所示: 满意 A 套餐 B 套餐 C 套餐 D 套餐 50% 80% 50% 40% 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25% 20% 0 40%


70

60
50
40

30
20

10
0

A

B

C

D

种类

(Ⅰ)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的调查问卷被选中的概率; (Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出 2 人进行面 谈,求这两 人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率. 解: (Ⅰ)由条形图可得,选择 A,B,C,D 四款套餐的学生共有 200 人, 其中选 A 款套餐的学生为 40 人, 由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了 20 ? 设事件 M =“同学甲被选中进行问卷调查”, 则 P( M ) ?

40 ? 4 份. 200

…………….(2 分)

4 ? 0.1 . 40

……………………………………………………….(5 分) …………….(6 分)

答:若甲选择的是 A 款套餐,甲被选中调查的概率是 0.1 . 其中不满意的人数分别为 1,1,0,2 个 .

(II)由图表可知,选 A,B,C,D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4,5,6,5. ………………………….(7 分) 记对 A 款套餐不满意的学生是 a;对 B 款套餐不满意的学生是 b; 对 D 款套餐不满意的学生是 c,d. ………………………………………………….(8 分) 设事件 N=“从填写不满意的学生中选出 2 人,至少有一人选择的是 D 款套餐” 从填写不满意的学生中选出 2 人,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件, 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件, 则 P( N ) ? ………………………(10 分)

5 . 6

………………………………………………………(12 分)
高三数学(文科)答案 第 2 页(共 7 页)

17. (本题满分 14 分) 如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱 的截面交下底面于 BC , 四边形ABCD是正方形. (Ⅰ)求证 BC ? BE ; (Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积.

(Ⅰ)?AE 是圆柱的母线, ? AE ? 下底面,又 BC ? 下底面,? AE ? BC …………………………….3 分 又?截面 ABCD 是正方形,所以 BC ⊥ AB ,又 AB ? AE ? A

? BC ⊥面 ABE ,又 BE ? 面 ABE ,? BC ? BE

……………………………(7 分) (Ⅱ)因为母线 AE 垂直于底面,所以 AE 是三棱锥 A ? BCE 的高………………(8 分) , 由(Ⅰ)知 BC ⊥面 ABE , BC ? 面 ABCD ,?面 ABCD ⊥面 ABE , 又?面 ABCD ? 面 ABE ? AB , EO ? 面 ABE , EO ? AB ? EO ? 面 ABCD ,即 EO 就是四棱锥 E ? ABCD 的高…………………(10 分) 设正方形 ABCD 的边长为 x , 则 AB ? BC ? x , BE ? 又? BC ? BE ,?
2

AB 2 ? AE 2 ? x 2 ? 4

EC 为直径,即 EC ? 2 7
2 2

在 Rt? BEC 中, EC ? BE ? BC ,

即 (2 7) 2 ? x 2 ? x 2 ? 4 ? x ? 4

? S ABCD ? 4 ? 4 ? 16 ,
EO ?

……………………………………………………………(12 分)

AE ? BE 2 ? 42 ? 4 ? ? 3 AB 4
1 3 1 3 16 3 . 3

?VE ? ABCD ? ? OE ? S ABCD ? ? 3 ?16 ?
18.(本小题满分 14 分) 数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ?

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) . 2 2

(I)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;

高三数学(文科)答案

第 3 页(共 7 页)

(Ⅲ)若 cn ? ?

n 2014 ck 2 ? ck ? 1 ?1? P ? , .求不超过 P 的最大整数的值。 ? ? ? an ck 2 ? ck k ?1 ?2?

18. 【解析】(1) 因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? , ………………………………(2 分) ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,…………………(4 分)

1 2

3 2

1 2

1 3 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ? n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,
所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2

……………………(6 分)
n

1 1 ?1? 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .………(7 分) 2 2 ?2?
(2)由 (1)得 nbn ? 所以 ① Tn ?

n . 2n

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得:Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2

……………(9 分) …………… (12 分)

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 . Tn ? 1 2n 2n 1? 2
19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx ,.
x

n

………………(14 分)

(I)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (II)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 求证: ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F (n) ?

n ln(en ?1 ? 2)(n ? N ? ) 2
第 4 页(共 7 页)

高三数学(文科)答案

19. 解:(Ⅰ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.………(1 分) 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增. ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: ………………………(4 分) 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. (3 分)

x
f ?( x) f ( x)

(0, ln k )
?
单调递减

ln k

(ln k, ? ?)

0
极小值

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 , ?1 ? k ? e . 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅱ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e
x ?x

……………………(7 分)

? 0,

? ln F ( x1 ) ? ln F ( x2 ) ? ln[(e x1 ? e? x1 )(e x2 ? e ? x2 )]


(e x1 ? e? x1 )(e x2 ? e? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,
………………………………………………………………… (10 分)

? ln F (1) ? ln F (n) ? ln(en?1 ? 2) ,

l nF ( 2?) ?? l nF (n ? )
由此得:

lF n n? ( ln F (? 1)

? 1)
n ?1

n ?1

ln? (e 2).

2)
…………………………………………… (12 分)

ln? (e

2[ F (1) ? F (2) ? ? ? F (n)] ? [ F (1) ? F (n)] ? [ F (2) ? F (n ?1)] ? ? ? [ F (n) ? F (1)] ? n ln(e n?1 ? 2)
高三数学(文科)答案 第 5 页(共 7 页)

故 ln F (1) ? ln F (2) ? ? ? ln F (n) ?

n ln(e n ?1 ? 2),n ? N? 成立. …………………(14 分) 2

20.已知函数 f ( x) ? ? x ? ? x , g ( x) ? ? x ? ln x , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,其中 ? ? R ,
2

且? ? 0. ⑴当 ? ? ?1 时,求函数 g ( x) 的最大值; ⑵求函数 h( x ) 的单调区间;

f ( x), x ? 0, ⑶设函数 ? ( x) ? ? 若对任意给定的非零实数 x ,存在非零实数 t ( t ? x ) ,使得 ? ? g ( x), x ? 0.

? '( x) ? ? '(t ) 成立,求实数 ? 的取值范围.
解:⑴当 ? ? ?1 时, g ( x) ? ln x ? x,( x ? 0) ∴ g ?( x) ? 1 ? 1 ? 1 ? x , ( x ? 0)
x x

令 g ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 , ∴ g ( x) ? ln x ? x 在 (0, 1) 上单调递增,在 (1, +?) 上单调递减 ∴ g ( x)max ? g (1) ? ?1 ……………………… (4 分)

2 2 ⑵ h( x) ? ? x ? 2? x ? ln x , h '( x) ? 2? x ? 2? ? 1 ? 2? x ? 2? x ? 1 , (x ?0)

x

x

∴当 ? ? 0 时, h '( x) ? 0 ,∴函数 h( x ) 的增区间为 (0, ??) ,
2? ( x ? ?? ? ? 2 ? 2? ?? ? ? 2 ? 2? )( x ? ) 2? 2? , x
? 2 ? 2?
2?

当 ? ? 0 时, h '( x) ? 当 x ? ?? ?
? 2 ? 2?
2?

时, h '( x) ? 0 ,函数 h( x ) 是减函数;当 0 ? x ? ?? ?

时, h '( x) ? 0 ,函

数 h( x ) 是增函数。 综上得,当 ? ? 0 时, h( x ) 的增区间为 (0, ??) ;
2 2 当 ? ? 0 时, h( x ) 的增区间为 (0, ?? ? ? ? 2? ) ,减区间为 ( ?? ? ? ? 2? , ??) ………(10 分)

2?

2?

⑶当 x ? 0 , ? '( x) ? ? ? 1 在 (0, ??) 上是减函数,此时 ? '( x) 的取值集合 A ? (? , ??) ; x 当 x ? 0 时, ? '( x) ? 2? x ? ? , 若 ? ? 0 时, ? '( x) 在 (??,0) 上是增函数,此时 ? '( x) 的取值集合 B ? (??, ? ) ;
高三数学(文科)答案 第 6 页(共 7 页)

若 ? ? 0 时, ? '( x) 在 (??,0) 上是减函数,此时 ? '( x) 的取值集合 B ? (? , ??) 。 对任意给定的非零实数 x , ①当 x ? 0 时,∵ ? '( x) 在 (0, ??) 上是减函数,则在 (0, ??) 上不存在实数 t ( t ? x ) ,使 得 ? '( x) ? ? '(t ) , 则 t ? ( ? ?, 0 ), 要 在 (??,0) 上 存 在 非 零 实 数 t ( t ? x ) ,使得

? '( x) ? ? '(t ) 成立,必定有 A ? B ,∴ ? ? 0 ; ②当 x ? 0 时,? '( x) ? 2? x ? ? 在 (??,0) 时是单调函数,则 t ? (0, ??) ,要在 (0, ??) 上 存在非零实数 t ( t ? x ) ,使得 ? '( x) ? ? '(t ) 成立,必定有 B ? A ,∴ ? ? 0 。 综上得,实数 ? 的取值范围为 (??,0) 。 ……………(14 分)

高三数学(文科)答案

第 7 页(共 7 页)


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