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正切函数的定义、图象和性质


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课题: 正切函数的定义、图像及性质 一、 教学目标: a) 知识与技能 (1)了解任意角的正切函数概念; (2)理解正切函数中的自变量取值范围; (3)掌握 正切线的画法; (4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像; (5)熟练根据正切函 数的图像推导出正切函数的性质; (6)能熟练掌握正切函数的图像与性质; (7)掌握利 用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 b) 过程与方法 类比正、余弦函数的概念,引入正切函数的概念;在此基础上,比较三个三角函数之间 的关系;让学生通过类比,联系正弦函数图像的作法,通过单位圆中的有向线段得到正 切函数的图像; 能学以致用, 结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。 c) 情感态度与价值观 使同学们对正切函数的概念有一定的体会; 会用联系的观点看问题, 建立数形结合的思 想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探 索成功的喜悦感, 培养学生的自信心; 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的 钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教学用具 我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从 而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比 较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导 公式;通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像观察总结出正切函数的性质。 教学用具:投影机、三角板 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 常见的三角函数还有正切函数,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函数,并 借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角坐 标系内学习任意角的正切函数,请同学们先自主学习课本 P40。 【探究新知】 1. 正切函数的定义 在直角坐标系中,如果角α 满足:α ∈R,α ≠ 位圆交于点 P(a,b) ,唯一确定比值
b a

?
2

+kπ (k∈Z),那么,角α 的终边与单
b a

.根据函数定义,比值
?

是角α 的函数,我们把它叫

作角α 的正切函数,记作 y=tanα ,其中α ∈R,α ≠ 比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tanα =

+kπ ,k∈Z. (α ∈R,α ≠
?
2

2 sin ? cos ?

+kπ ,k∈Z).

由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,我们统称为 三角函数。 下面,我们给出正切函数值的一种几何表示. y 如右图,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1 ,0) ,任意角α
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30?

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的终边与单位圆交于点 P,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂线,与角 的终边或终边的延长线相交于 T 点。从图中可以看出: 当角α 位于第一和第三象限时,T 点位于 x 轴的上方; 当角α 位于第二和第四象限时,T 点位于 x 轴的下方。 分析可以得知,不论角α 的终边在第几象限,都可以构造两 个相似三角形,使得角α 的正切值与有向线段 AT 的值相等。因此, 我们称有向线段 AT 为角α 的正切线。 2.正切函数的图象 ? (1)首先考虑定义域: x ? k ? ? ? k ? z ?
2

P

(2)为了研究方便,再考虑一下它的周期:
? tan ? x ? ? ? ?

? cos ? x ? ? ?

sin ? x ? ?

?

? ? ? ? tan x ? x ? R , 且 x ? k ? ? , k ? z ? ? cos x 2 ? ?
? sin x

∴ y ? tan x ? x ? R , 且 x ? k ? ?
?

?

?

? , k ? z ? 的周期为 T ? ? (最小正周期) 2 ?

(3)因此我们可选择 ? ?
?

?

? ? ?
, 2

? 的区间作出它的图象。 2?

y

?

?
2

O

?
2

x

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x 且x ?
?
2 ? k ? ? k ? z ? 的图像,称“正切曲线”

x?R,

y

?

3 2

?

??

?

?
2

0

?
2

?

3 2

? x

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从上图可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x= 曲线组成的,这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。 3.正切函数 y=tanx 的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域: ? x | x ?
? ?

?
2

+kπ (k∈Z)隔开的无穷多支

?

? ? k? , k ? z ? , 2 ?

(2)值域:R 观察:当 x 从小于 k ? ? 当 x 从大于 (3)周期性: T ? ? (4)奇偶性: tan ? ? x ? ? ? tan x 奇函数。 (5)单调性:在开区间 ? ?
? ?

?
2

?k ? z ? , x ? ? k ? ? ?
?
2

? 2

?? ? 时, tan x ?

?
2

? k ? ?k ? z ? , x ? ? ?

? k ? 时, tan x ? ?? ?? 。

?
2

? k? ,

?

? ? k ? ? k ? z 内,函数单调递增。 2 ?

二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

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