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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(4)函数及其表示


课时作业(四) [第 4 讲 函数及其表示]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.下列各组函数中表示相同函数的是( 5 A.y= x5与 y= x2 B.y=lnex 与 y=elnx ?x-1??x+3? C.y= 与 y=x+3 x-1 1 D.y=x0 与 y= 0 x

>)

1? ? 2.已知 f:x→sinx 是集合 A(A?[0,2π])到集合 B=?0,2?的一个映射,则集合 A 中的元
? ?

素最多有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 x2 ?1?+f(3)+f?1?+f(4)+f?1?=( 3.已知 f(x)= ) 2,那么 f(1)+f(2)+f ?2? ?3? ?4? 1+x 7 9 A.3 B. C.4 D. 2 2 4.[2011· 惠州三调] 某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组实验数 据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( ) 1?x A.y=2x-2 B.y=? ?2? 1 C.y=log2x D.y= (x2-1) 2 能力提升 1 5.[2011· 广州调研] 函数 y= log ?3x-2?的定义域是( ) 2 2 ? A.[1,+∞) B.? ?3,+∞? 2 ? ?2 ? C.? ?3,1? D.?3,1? 2 6.[2011· 石门一中模拟] 函数 f(x)= x 的值域是( ) 2 -2 A.(-∞,-1) B.(-1,0)∪(0,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 2 ? ?x +2x-1,x≥0, 7 . [2011· 莆田模拟 ] 已知函数 f(x) = ? 2 则对任意 x1 , x2 ∈ R ,若 ?x -2x-1,x<0, ? 0<|x1|<|x2|,下列不等式恒成立的是( ) A.f(x1)-f(x2)>0 B.f(x1)-f(x2)<0 C.f(x1)+f(x2)<0 D.f(x1)+f(x2)>0 8.[2011· 郑州一中模拟] 定义在实数集上的函数 f(x),如果存在函数 g(x)=Ax+B(A, B 为常数), 使得 f(x)≥g(x)对于一切实数 x 都成立, 那么称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数. 给

出如下命题: ①对给定的函数 f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个; ②定义域和值域都是 R 的函数 f(x)不存在承托函数; ③g(x)=2x 为函数 f(x)=ex 的一个承托函数; 1 ④g(x)= x 为函数 f(x)=x2 的一个承托函数. 2 其中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.图 K4-1 中的图象所表示的函数的解析式为( )

图 K4-1 3 A.y= |x-1|(0≤x≤2) 2 3 3 B.y= - |x-1|(0≤x≤2) 2 2 3 C.y= -|x-1|(0≤x≤2) 2 D.y=1-|x-1|(0≤x≤2) 2 ? 10.已知 f? ?x+1?=lgx,则 f(x)=________. ?-log3?x+1??x>6?, ? 8 11.[2012· 荆州中学质检] 设 f(x)=? x-6 满足 f(n)=- , 9 ?3 -1?x≤6?, ? 则 f(n+4)=________. 12.[2011· 长春二模] 设 f(x)的定义域为 D,若 f(x)满足下面两个条件,则称 f(x)为闭函 数. ①f(x)在 D 内是单调函数; ②存在[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]. 如果 f(x)= 2x+1+k 为闭函数,那么 k 的取值范围是________. 13.已知函数 f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次项系数大于零,若 f[g(x)]=4x2-20x+ 25,则函数 g(x)=________. 14.(10 分)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且 f(x)最小值是-1,函数 g(x)与 f(x) 的图象关于原点对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)若 h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围.

15.(13 分)解答下列问题: (1)若 f(x+1)=2x2+1,求 f(x); (2)若 2f(x)-f(-x)=x+1,求 f(x); x (3)若函数 f(x)= ,f(2)=1,且方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x). ax+b

难点突破 16.(12 分)设 f(x)= ax2+bx,则是否存在实数 a,使得至少有一个正实数 b,使函数 f(x)的定义域和值域相同?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

课时作业(四) 【基础热身】 1.D [解析] 对于 A,两函数的对应法则不同; 对于 B,两函数的定义域不同; 对于 C,两函数的定义域不同; 对于 D,两函数的定义域都为{x|x∈R,x≠0},对应法则都可化为 y=1(x≠0). 2.B [解析] 当 sinx=0 时,x=0,π,2π; 1 π 5π 当 sinx= 时,x= , . 2 6 6 所以,集合 A 中的元素最多有 5 个. x2 ?1?= 1 2, 3.B [解析] 由 f(x)= 2可得 f ?x? 1+x 1+x 1 1 ? 所以 f(x)+f? ?x?=1,又∵f(1)=2, 1? f(2)+f? ?2?=1, 1? ?1? f(3)+f? ?3?=1,f(4)+f?4?=1, 1? ?1? ?1? 7 ∴f(1)+f(2)+f? ?2?+f(3)+f?3?+f(4)+f?4?=2. 1?x 4.D [解析] 直线是均匀的,故选项 A 不是;指数函数 y=? ?2? 是单调递减的,也不 符合要求;对数函数 y=log2x 的增长是缓慢的,也不符合要求;将表中数据代入选项 D 中, 基本符合要求. 【能力提升】 1 1 5.D [解析] 由题知 log (3x-2)≥0=log 1,又知对数函数的真数大于零,所以 0<3x 2 2 2 -2≤1,解得 <x≤1. 3 1 - 6.D [解析] =2x 1-1>-1,结合反比例函数的图象可知 f(x)∈(-∞,-1)∪(0, f?x? +∞),故选 D. 2 ? ?x +2x-1,x≥0, ? 7.B [解析] f(x)= 2 为偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增,所以 ?x -2x-1,x<0, ? f(x1)-f(x2)<0. 8.C [解析] ①正确,②错误;③正确;④错误. 9.B [解析] 从图象上看出 x=0 时 y=0,代入各个选项就可以排除 A、C,x=1 时 y 3 = ,代入选项,D 就可以排除. 2 2 2 2 10.lg (x>1) [解析] 令 +1=t(t>1),则 x= , x x-1 t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1 8 11.-2 [解析] 由于 x>6 时函数的值域为(-∞,-log37),- 不在(-∞,-log37)内, 9 8 - 所以 n≤6,由 3n 6-1=- ,解得 n=4,所以 f(n+4)=f(8)=-2. 9 1 1 - ,+∞?上的增函数,又 f(x)在[a,b] 12.-1<k≤- [解析] f(x)= 2x+1+k 为? ? 2 ? 2
? ?f?a?=a, 1 - ,+∞?上有两个不等实根,即 2x+1= 上的值域为[a,b],∴? 即 f(x)=x 在? 2 ? ? ?f?b?=b, ?

1 ? x-k 在? ?-2,+∞?上有两个不等实根. 1 ? 方法一: 问题可化为 y= 2x+1和 y=x-k 的图象在? 对 ?-2,+∞?上有两个不同交点. 1 1 1 于临界直线 m,应有-k≥ ,即 k≤- .对于临界直线 n,y′=( 2x+1)′= ,令 2 2 2x+1 1 =1,得切点 P 横坐标为 0,∴P(0,1). 2x+1 ∴直线 n:y=x+1,令 x=0,得 y=1, 1 ∴-k<1,即 k>-1.综上,-1<k≤- . 2

方法二:化简方程 2x+1=x-k,得 x2-(2k+2)x+k2-1=0. - ?≥0, g? ? ? ? 2? 1 -1,则由根的分布可得? k+1>- , 2 ? ?Δ>0, 1

令 g(x) = x2 - (2k + 2)x + k2



?k+ ? ≥0, ? ?? 2? ?k>-3 , 2 ? ?k>-1,
2

1

1 1 解得 k>-1.又 2x+1=x-k,∴x≥k,∴k≤- .综上,-1<k≤- . 2 2 13.2x-5 [解析] 由 g(x)为一次函数,设 g(x)=ax+b(a>0). 因为 f[g(x)]=4x2-20x+25, 所以(ax+b)2=4x2-20x+25, 即 a2x2+2abx+b2=4x2-20x+25,解得 a=2,b=-5, 故 g(x)=2x-5. 14.[解答] (1)依题意,设 f(x)=ax(x+2)=ax2+2ax(a>0). f(x)图象的对称轴是 x=-1, ∴f(-1)=-1,即 a-2a=-1,得 a=1. ∴f(x)=x2+2x. 由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称, ∴g(x)=-f(-x)=-x2+2x. (2)由(1)得 h(x)=x2+2x-λ(-x2+2x)=(λ+1)x2+2(1-λ)x. ①当 λ=-1 时,h(x)=4x 满足在区间[-1,1]上是增函数; λ-1 ②当 λ<-1 时,h(x)图象的对称轴是 x= , λ+1 λ-1 则 ≥1,又 λ<-1,解得 λ<-1; λ+1 λ-1 ③当 λ>-1 时,同理则需 ≤-1, λ+1

又 λ>-1,解得-1<λ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(-∞,0]. 15.[解答] (1)令 t=x+1,则 x=t-1, 所以 f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3. 所以 f(x)=2x2-4x+3. (2)因为 2f(x)-f(-x)=x+1, 用-x 去替换等式中的 x, 得 2f(-x)-f(x)=-x+1, ?2f?x?-f?-x?=x+1, ? 即有? ?2f?-x?-f?x?=-x+1, ? x 解方程组消去 f(-x),得 f(x)= +1. 3 2 (3)由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2. 2a+b 1 1-b x 由 f(x)=x 得 =x,变形得 x?ax+b-1?=0,解此方程得:x=0 或 x= . a ? ? ax+b 1-b 又因为方程有唯一解,所以 =0,解得 b=1, a 1 代入 2a+b=2 得 a= , 2 2x 所以所求解析式为 f(x)= . x+2 【难点突破】 16.[解答] 要使解析式 f(x)= ax2+bx有意义, 则 ax2+bx=x(ax+b)≥0. b? 当 a>0 时,函数的定义域为? ?-∞,-a?∪[0,+∞),由于函数的值域为非负数,因此 a>0 不符合题意; 当 a=0 时,f(x)= bx,此时函数的定义域为[0,+∞),函数的值域也为[0,+∞),符 合题意; b b b2 0,- ?,又 f(x)= ax2+bx= a?x+ ?2- , 当 a<0 时,函数的定义域为? a? ? ? 2a? 4a 2 b b b b b b2 - ?2, ∵0<- <- ,∴当 x=- 时,函数 f(x)有最大值 - ,由题意有- =? 2a a 2a 4a 4a ? a? 即 a2=-4a,解得 a=-4. 综上,存在符合题意的实数 a,a 的值为 0 或-4.


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