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【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:导函数(文)(教师版) ]


导函数(文) 考查内容:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算和导数的应用。用导数 求切线方程并解决与切线方程有关的问题、研究函数的零点、判断函 数的单调性与极(最)值、确定参数的取值范围以及证明不等式,同 时涉及到不等式恒成立的问题,考查运算能力及用函数思想分析解决 问题的能力。 1、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1处取得极值。 (1)讨论 f (1) 和 f ( ?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程。
?3a ? 2b ? 3 ? 0, 解: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0.

解得 a ? 1, b ? 0 ,∴ f ( x) ? x 3 ? 3x, f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) 。 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 ,若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 ,故
f ( x) 在 (??, ? 1) 上是增函数, f ( x) 在 (1, ? ?) 上是增函数,

若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1, 1) 上是减函数。 所以, f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 (2)曲线方程为 y ? x 3 ? 3x ,点 A(0, 16) 不在曲线上,设切点为 M ( x0 , y 0 ) ,则
3 2 点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 。因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的方程为

2 y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 ) ,注意到点 A(0, 16) 在切线上,有
3 3 2 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 ,所以,切点为 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) ,化简得 x0

M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 。

b 2、设函数 f ( x) ? ax ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 ?2, f ?2?? 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 x

(1)求 f ( x) 的解析式;

(2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三 角形面积为定值,并求此定值。 解: (1) f ( x ) ? x ?
3 。 x

(Ⅱ) 设 P?x0 , y0 ?为曲线上任一点, 由 y? ? 1 ?

3 知曲线在点 P?x0 , y0 ?处的切线方程 x2

? ? 3? 3? ? 3? 为 y ? y0 ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) ,即 y ? ? x0 ? ? ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) 。 x0 ? ? x0 ? ? x0 ? ?
令x ? 0得 y ? ?

? 6 6? ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 ? 0, ? ?。 x0 x0 ? ?

令 y ? x 得 y ? x ? 2x0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 ?2x0 ,2x0 ? 。

1 6 故点 P?x0 , y0 ?处的切线与直线 x ? 0, y ? x 所围成的三角形面积为 ? ? ? 2 x0 ? 6 。 2 x0
所以曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0, y ? x 所围成的三角形的面积为 定值,此定值为 6 。 3、已知函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值 ?2 。 (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立。 解: (1)由奇函数定义,应有 f (? x) ? ? f ( x), x ? R , 即 ?ax3 ? cx ? d ? ?ax3 ? cx ? d ,? d ? 0. 因此, f ( x) ? ax3 ? cx, f '( x) ? 3ax 2 ? c. 由条件 f (1) ? ?2 为 f ( x) 的极值,必有 f '(1) ? 0, 故 ?
f ( x ) ? x 3 ? 3 x,

? a ? c ? ?2 , ?3a ? c ? 0

解得 a ? 1, c ? ?3.,因此, f '( x) ? 3 x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1), f '( ?1) ? f '(1) ? 0. 当 x ? (??, ?1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (??, ?1) 上是增函数;

当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 ( ?1,1) 上是减函数; 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在单调区间 (1, ??) 上是增函数; 所以, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f (?1) ? 2. (2)由(1)知, f ( x) ? x3 ? 3x( x ?[?1,1]) 是减函数,且 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最 大值为 M ? f (?1) ? 2, f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最小值 m ? f (1) ? ?2. 所以,对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ? 2 ? (?2) ? 4.。 4、已知函数 f ( x) ?
2ax ? a2 ? 1 (x ? ? R ) ,其中 a ? R 。 x2 ? 1

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 解: (1) 6 x ? 25 y ? 32 ? 0. (2) f '( x) ?
?2( x ? a )( ax ? 1) 2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ? . 2 2 ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1)

1? ? 1 ? 当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 ? ? ?? , ? ? , ? a, ?? ? 内为减函数,在区间 ? ? , a ? 内为增函数; ? a?
? a ? ? 函数 f ( x) 在 x1 ? ? 处取得极小值 f ? ?? ?, 且 a ? a?

1

1

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 ? a? ;

函数 f ( x) 在 x2 ? a 处取得极大值 f ( a ), 且 f ( a ) ? 1 。
1? 1 ? ? 当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 ? ??, a ? , ? ? ? , ?? ? 内为减函数,在区间 ? a, ? ? 内为增函数;

? a

?

?

a?

函数 f ( x) 在 x1 ? a 处取得极大值 f ( a ), 且 f ( a ) ? 1 ;
? 函数 f ( x) 在 x2 ? ? 处取得极小值 f ? ?? ?, 且 a a ? ?

1

1

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 。 ? a?

5、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2ax2 ? 3x, x ? R 。 (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围。

解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 3x ,故 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ,因为当 x ? ?1或 x ? 1时,
f ?( x) ? 0 ;

当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (??, ? 1? 和 ?1,?? ) 上单调递增,在 ( ?1,1) 上单 调递减。 (2)由题意可知 x 3 ? 2ax 2 ? 3x ? ax 在 (0,??) 上恒成立,即 x 2 ? 2ax ? (3 ? a) ? 0 在
(0,??) 上恒成立。令 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? (3 ? a) ,

1 因为 ? ? (?2a) 2 ? 4(a ? 3) ? 4(a ? ) 2 ? 11 ? 0 , 2

?a ? 0 ?a ? 0 故 x 2 ? 2ax ? (3 ? a) ? 0 在 (0,??) 上恒成立等价于 ? ,即 ? , ? g ( 0) ? 0 ?? a ? 3 ? 0

得 a ? ?3 。
1 6、设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

(1)求函数 f ( x) 的极大值; (2)若 x ??1? a,1 ? a ? 时,恒有 ?a ? f ?( x) ? a 成立(其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函 数) ,试确定实数 a 的取值范围。 解: (1)∵ f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ,且 0 ? a ? 1 , 当 f ?( x) ? 0 时,得 a ? x ? 3a ;当 f ?( x) ? 0 时,得 x ? a或x ? 3a ; ∴ f ( x) 的单调递增区间为 (a,3a) , f ( x) 的单调递减区间为 (??, a ) 和 (3a,?? ) , 故当 x ? 3a 时, f ( x) 有极大值,其极大值为 f ? 3a ? ? 1; (2)∵ f ? ? x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ? ? x ? 2a ? ? a 2 ,
2

1 当 0 ? a ? 时, 1 ? a ? 2a ,∴ f ?(x) 在区间 ?1 ? a,1 ? a? 内是单调递减, 3
? x) ∴ ? f( ?max ? f ? ?1-a ? ? ?8a2 ? 6a ?1, ? x) ? f( ?min ? f ? ?1+a ? ? 2a ?1,

??8a 2 ? 6a ? 1 ? a, ? ∵ ?a ? f ( x) ? a ,∴ ? 此时, a ?? ; ?2a ? 1 ? ?a. ,

1 当 ? a ? 1 时, ? f( ? x) ?max ? f ? ? 2a? ?a2 , 3
? ?0 ? a ? 1, ? a 2 ? a, ? ? 1 ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ?2a ? 1 ? ?a, 即? ?a ? , 3 ??8a 2 ? 6a ? 1 ? ?a. ? ? ? 7 ? 17 7 ? 17 ?a? . ? 16 ? 16

? 1 7 ? 17 ? 1 7 ? 17 此时, ? a ? ,综上可知,实数 a 的取值范围为 ? , ? 3 16 16 ? ?3
7、已知函数 f ( x) ?



ln x 。 x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)设 a ? 0, 求函数 f ( x ) 在 ? 2a, 4a ? 上的最小值。 解: (1)定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 ? ln x 1 ? ln x ,令 f ?( x) ? ? 0 ,则 x ? e , 2 x x2

当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

f ( x) 的单调增区间为 (0, e) ;单调减区间为 (e, ??) 。

(2)由(1)知 f ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减,所以, 当 4a ? e 时,即 a ?

e 时, f ( x) 在 ? 2a, 4a? 上单调递增,∴ f ( x)min ? f (2a); 4

当 2a ? e 时, f ( x) 在 ? 2a, 4a? 上单调递减,∴ f ( x)min ? f (4a) 当 2a ? e ? 4a 时,即

e e ? a ? 时, f ( x) 在 ? 2a, e ? 上单调递增, f ( x) 在 ? e, 4a ? 上单 4 2

调递减,∴ f ( x)min ? min ? f (2a), f (4a)?. 下面比较 f (2a), f (4a) 的大小,∵f (2a) ? f (4a) ?

ln a , 4a

ln 2a ln 4a e e ; 若 1 ? a ? , f ( x) min ? f (4a) ? ; ? a ? 1 , f ( x) min ? f (2a) ? 2a 4a 4 2 ln 2a ln 4a 综上,当 0 ? a ? 1 时, f ( x) min ? f (2a) ? ;当 a ? 1 时, f ( x) min ? f (4a) ? 。 2a 4a

∴ 若

8、设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 。 (1)若当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ? 1 。 当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 ( ??, 0) 单调减少,在 (0, ?? ) 单调增加。 (2) f '( x) ? e x ? 1 ? 2ax ,由(1)知 e x ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立,
1 0 ) 0 ? , 故 f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x , 从而当 1? 2a ? 0 , 即 a ? 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) , 而 f( 2 1 ) ,可得 e? x ? 1 ? x( x ? 0) ,从而当 a ? 于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;由 e x ? 1? x(x ? 0 2

时, f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) , 故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 ;

1 综上, a 的取值范围为 (??, ] 。 2 a 9、已知函数 f ? x ? ? x ? ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R 。 x
(1)若曲线 y ? f ?x ? 在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析 式; (2)讨论函数 f ?x ? 的单调性;
?1 ? ?1 ? (3)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范 ?4 ? ?2 ?

围。 解: (1) f ?( x) ? 1 ?

a , x2

由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 ,

由切点 P(2,f (2)) 在直线 y ? 3 x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,

8 解得 b ? 9 ,所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? ? 9 。 x a (2) f ?( x) ? 1 ? 2 , x
当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0( x ? 0) ,这时 f ( x) 在 ?? ?,0? , ?0,??? 内是增函数; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a ; 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

所以 f ( x) 在 (??,? a ] , [ a ,??) 内是增函数,在 (? a, 0) , (0,a ) 内是减函数。
?1 ? (3)解:由(2)知, f ( x) 在 ? ,1? 上的最大值为 ?4 ?

?1? f ? ? 与 f (1) 中的较大者, ?4?

?1 ? ?1 ? 2? ,不等式 f ( x) ≤10 在 ? ,1? 上恒成立, 对于任意的 a ? ? , ?2 ? ?4 ?
? ? ?1? ? 4a, ?b ≤ f ? ? ≤ 10, 当且仅当 ? 即 4 ? ? ?4? 39
? f (1) ≤ 10, ?

? ?b ≤ 9 ? a

7 ?1 ? 2 ? 成立,从而得 b ≤ 7 ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] 。 对任意的 a ? ? , 4 4 ?2 ?
x? R ,其中 a, b ? R 。 10、设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b( x? R) ,

(1)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;
, 2? ,不等式 f ( x) ? 1 在 ? ?11 (3)若对于任意的 a ? ? ?2, ? 上恒成立,求 b 的取值范围。

解: (1) f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x2 ? 3ax ? 4) ; 当a ? ?

10 时, f ?( x) ? x(4 x2 ?10x ? 4) ? 2x(2x ?1)( x ? 2) 。 3

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?

1 , x3 ? 2 。 2

当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

? 1? ?1 ? ? ∞) 内是增函数,在 ( ?∞, 0) , ? , 所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2, 2 ? 内是减函数。 ? 2? ?2 ?
(2) f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根; 为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,
2

即有 ? ? 9a 2 ? 64 ≤ 0 ; 解此不等式,得 ? ≤ a ≤ ,这时, f (0) ? b 是唯一极值,因此满足条件的 a 的
? 8 8? 取值范围是 ? ? , ? 。 ? 3 3?
8 3 8 3

(3)由条件 a ? ? ?2, 2? 可知 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。
, 因此函数 f ( x) 在 ? ?11 ? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者。 , 为使对任意的 a ? ? ?2, 2? ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ? ?11 ? 上恒成立,

当且仅当 ?

, ?b ≤ ?2 ? a, ? f (1) ≤ 1 即? 在 a ? ? ?2, 2? 上恒成立; ? f ( ?1) ≤ 1, ?b ≤ ?2 ? a

所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??,4] 。 11、设函数 f ( x) ? ax ? 2 , g ( x) ? a2 x2 ? ln x ? 2 ,其中 a ? R, x ? 0 。 (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程; (2)是否存在负数 a ,使 f ( x) ? g ( x) 对一切正数 x 都成立?若存在,求出 a 的取 值范围;若不存在,请说明理由。

解: (1)由题意可知:当 a ? 2 时, g ( x) ? 4 x2 ? ln x ? 2 ,则 g ?( x) ? 8x ? 曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线斜率 k ? g ?(1) ? 7 ,又 g (1) ? 6

1 x

曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线的方程为 y ? 6 ? 7( x ? 1) ,即 y ? 7 x ? 1。 (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? ln x ? a 2 x 2

( x ? 0)

假设存在负数 a ,使得 f ( x) ? g ( x) 对一切正数 x 都成立。 即:当 x ? 0 时, h( x) 的最大值小于等于零。
h?( x) ? a ? 1 ? 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 2a 2 x ? ( x ? 0) x x

令 h?( x) ? 0 可得: x2 ? ? 当0? x ? ? 当x??

1 1 , x1 ? (舍) 2a a

1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单增; 2a

1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单减。 2a 1 所以 h( x) 在 x ? ? 处有极大值,也是最大值。 2a
? h( x)max

1 ?3 1 ? h(? ) ? 0 解得: a ? ? e 4 2 2a ,

1 ?3 所以负数 a 存在,它的取值范围为: a ? ? e 4 2 。

12、设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x ? R ) ,其中 a ? R 。 (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值; (3)当 a ? 3 时,证明存在 k ?? ?1 , 0? ,使得不等式 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立。 解: (1) 5 x ? y ? 8 ? 0 。 (2) f ( x) ? ? x( x ? a)2 ? ? x3 ? 2ax2 ? a2 x , f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) 。

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或 x ? a ,由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论: 3

若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

因此,函数 f ( x) 在 x ?

a 处取得极小值 3

?a? f ? ? ,且 ?3?

4 ?a? f ? ? ? ? a3 ; 27 ?3?

函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 ; 若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

因此,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 ; 函数 f ( x) 在 x ?

a 处取得极大值 3

?a? f ? ? ,且 ?3?

4 ?a? f ? ? ? ? a3 ; 27 ?3?

(3)证明:由 a ? 3 ,得

a ?1, 3

当 k ???1 , 0? 时, k ? cos x ≤ 1 , k 2 ? cos 2 x ≤1 , 由(2)知, f ( x) 在 ? ?∞, 1? 上是减函数; 要使
f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) , x ? R ,

只要 k ? cos x ≤ k 2 ? cos2 x( x ? R) ,即 cos2 x ? cos x ≤ k 2 ? k ( x ? R) ①

1? 1 ? 设 g ( x) ? cos x ? cos x ? ? cos x ? ? ? ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2; 2? 4 ?
2

2

要使① 式恒成立,必须 k 2 ? k ? 2 ,即 k ? (??,?1] ? [2,??) 。

0? 上存在 k ? ?1 , 所以, 在区间 ? ?1, 使得 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒
成立。

3 13、已知函数 f ? x ? ? ax3 ? x2 ? 1 , x ? R ,其中 a ? 0 。 2
(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程;
? 1 1? (2)若在区间 ? ? , ? 上, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ? 2 2?

3 解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x3 ? x2 ? 1, f ? 2? ? 3 。 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3x , f ? ? 2 ? ? 6 。 2
所以曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程为 y ? 3 ? 6 ? x ? 2? ,即 y ? 6 x ? 9 。 (2) f ? ? x ? ? 3ax2 ? 3x ? 3x ? ax ? 1? 。令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ?
? 1 1? 针对区间 ? ? , ? ,需分两种情况讨论: ? 2 2?

1 。 a

① 若 0 ? a ? 2 ,则

1 1 ? 。当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表: a 2

? 1 1? 所以 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最小值在区间的端点得到。 ? 2 2?

? ? 1? ?5 ? a ? 0, ? f ? ? 2 ? ? 0, ? ? ? ? ? 8 ? 1 1? 因此在区间 ? ? , ? 上, f ? x ? ? 0 恒成立,等价于 ? 即? ? 2 2? ? f ? 1 ? ? 0, ? 5 ? a ? 0, ? ? ? ? ? 8 ? ?2?

解得 ?5 ? a ? 5 ,又因为 0 ? a ? 2 ,所以 0 ? a ? 2 。 ② 若 a ? 2 ,则 0 ?

1 1 ? 。 a 2

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

1 ? 1 1? 所以 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最小值在区间的端点或 x ? 处得到。 a ? 2 2?
? ? 1? ? 5?a ? 0, ? f ? ? 2 ? ? 0, ? ? ? ? ? 8 ? 1 1? 因此在区间 ? ? , ? 上, f ? x ? ? 0 恒成立,等价于 ? 即? ? 2 2? ? f ? 1 ? ? 0, ?1 ? 1 ? 0, ? ? ? ? ? 2a 2 ? ?a?

解得

2 2 ? a ? 5或a ? ? ,又因为 a ? 2 ,所以 2 ? a ? 5 。 2 2

综上, a 的取值范围为 0 ? a ? 5 。
1 14、设函数 f ? x ? ? ? x3 ? x 2 ? ? m 2 ? 1? x ? x ? R ? ,其中 m ? 0 。 3

(1)当 m ? 1时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线的斜率;1 (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值; (3)已知函数 f ? x ? 有三个互不相同的零点 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意的

x ?? x1, x2 ? , f ? x ? ? f ?1? 恒成立,求 m 的取值范围。
1 解: (1)当 m ? 1 时, f ? x ? ? ? x3 ? x 2 , f ? ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ,故 f ? ?1? ? 1 。 3

所以,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线的斜率为 1 。 (2) f ? ? x ? ? ?x2 ? 2x ? m2 ?1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 ? m或x ? 1 ? m 。 因为 m ? 0 ,所以, 1 ? m ? 1 ? m 。当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

所以 f ? x ? 在区间 ? ??,1 ? m? , ?1 ? m, ?? ? 内是减函数,在 ?1 ? m,1 ? m? 内是增函数;
2 1 函数 f ? x ? 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f ?1 ? m ? ? ? m3 ? m 2 ? ; 3 3 2 3 1 函数 f ? x ? 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f ?1 ? m ? ? m ? m2 ? 。 3 3

1 ? 1 ? (3)由题设, f ? x ? ? x ? ? x 2 ? x ? m2 ? 1? ? ? x ? x ? x1 ?? x ? x2 ? , 3 ? 3 ?
1 所以,方程 ? x 2 ? x ? m 2 ? 1 ? 0 ,有两个相异实根 x1 , x2 ,故 x1 ? x2 ? 3 , 3 4 1 ? ? 1 ? ? m 2 ? 1? ? 0 ,由 m ? 0 解得 m ? 。 3 2 3 因为 x1 ? x2 ,所以 2 x2 ? x1 ? x2 ? 3 ,故 x2 ? ? 1 。 2 1 如果 x1 ? 1 ? x2 ,则 f ?1? ? ? ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ? 0 ,而 f ? x1 ? ? 0 ,不合题意; 3

如果 1 ? x1 ? x2 ,对任意的 x ?? x1 , x2 ? ,有 x ? 0, x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0 ,
1 则 f ? x ? ? ? x ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? 0 ,又 f ? x1 ? ? 0 , 3

所以, f ? x ? 在 ? x1 , x2 ? 上的最小值为 0 ,于是对任意的 x ?? x1 , x2 ? , f ? x ? ? f ?1? 恒
1 3 3 ?m? 成立的充要条件是 f ? x ?min ? f ?1? ,即 f ?1? ? m 2 ? ? 0 ,解得 ? 。 3 3 3

?1 3? 1 注意到 m ? ,于是 m 的取值范围是 ? ?2, 3 ? ?。 2 ? ?

15、已知函数 f ( x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t 2 x ? t ?1, x ? R ,其中 t ? R 。 (1)当 t ? 1时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)证明:对任意 t ? (0,??) , f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点。

补充 1: 关于函数图象的切线问题的处理方法。 《审题要津与解法研究》 第 410 页 题 目 12,第 407 页 题目 9。 补充 2: 《审题要津与解法研究》经典例题解析。 附:解决不等式证明问题的思路:通过构造函数,以导数为工具,证明不等式或 比较大小。 证明不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上成立,等价于函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区 间 D 上的最小值等于零;而证明不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上成立,等价于函数

f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上的最小值大于零,因此不等式的证明问题可以转化为用导
数求函数的极值或最值问题。


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