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巴蜀中学高2017届15-16学年(上)半期试题——数学理


重庆巴蜀中学高 2017 级高二(上)半期数学(理科)试题
一、选择题(12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.一个正方体的体积是 8 ,则这个正方体的内切球的表面积是( A. 8? C. 4? B. 6? D. ? )

2.实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 A.焦距相等 C.虚半轴长相等
2 2

>x2 y2 x2 y2 ? ? 1 的( ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
D.离心率相等

)

B.实半轴长相等

3.椭圆

x y ? 2 ? 1 (0 ? b ? a) 的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等,则该椭圆的 2 a b
) D. )

离心率为( A.

1 3 3 B. C. 2 2 3 4.若 P 是两条异面直线 l 、 m 外的任意一点,则(
A.过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都相交

2 2

D.过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都异面 5. 已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为 1 ,则该几何体的体积为(

)

A. 24 ?

3? 2

B. 24 ?

?
3

C. 24 ? ?
2

D. 24 ?

?
2

6 . 已 知 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F 的 直 线 交 该 抛 物 线 于 A 、 B 两 点 , | AF |? 2 , 则

| BF |? (
A. 1

) B. 2 C. 3 D. 4

7.如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形, PA ? 平面 ABC , PA ? 2 AB ,则下
高二数学(理科)试题 第 1 页(共 4 页)

列结论正确的是(

)

A. PB ? AD

B.平面 PAB ? 平面 PBC D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 ?

C.直线 BC / / 平面 PAE 条件. A.充分不必要 C.充要条件

8.已知直线 l , m , n ,平面 ? , m ? ? , n ? ? ,则“ l ? ? ”是“ l ? m 且 l ? n ”的________ B.必要不充分 D.既不充分也不必条件

9. a 、 b 、 c 为三条不重合的直线, ? 、 ? 、 ? 为三个不重合平面,现给出四个命题

a / /? ? ? / /c ? ? ? a / /b ② ? ? ? / /? b / /? ? ? / /c? ? / /? ? ? / /c? ③ ? ? ? / /? ④ ? ? ? / /a ? / /? ? a / /c ?
① 其中正确的命题是( A.①② C.③
2 2

) B.③④ D.②③

10. P 是椭圆

x y ? ? 1 上一点, F1 、 F2 分别是左右焦点,若 PF1 ? 3 PF2 ,则过点 P 的 4 2
)

椭圆的切线的斜率是( A. ? 2 11.已知 B. ?

2 3

C. ?

2 4

D. ?

2 2

1 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) ,当 mn 取得最小值时,直线 y ? ? 2x ? 2 与曲线 m n
) C. 3 D. 4 )

x| x| y| y| ? ? 1 的交点个数为( m n
A. 1 12.已知函数 f ( x) ? A. e ? B. 2

ln x k ? x ? ? 2e 有且只有一个零点,则 k 的值为( 2 x x
2 B. e ?

1 e2

1 e

2 C. e ?

1 e2

D. e ?

1 e

二、填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
高二数学(理科)试题 第 2 页(共 4 页)

13.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E 为 C1 D 1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余 弦值为________. 14.设双曲线 C 经过点 (1,3) ,且与

y2 ? x 2 ? 1具有相同渐近线,则 C 的方程为________. 3
??? ? ??? ?

15.圆锥的轴截面是正三角形,则它的侧面展开扇形圆心角为 ________弧度. 16.抛物线 y ? 4 x ,直线 l 过焦点 F ,与其交于 A , B 两点,且 BA ? 4 BF ,则 ?AOB ( O 为
2

坐标原点)面积为

.

三、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.设函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ?( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为1 , 4 . 3

(1)当 a ? 3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在 (??, ??) 内无极值点,求 a 的取值范围.

18.已知正方形 ABCD , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 2 , E 是 AB 中点. (1)求证: AE ? 平面 PBC ; (2)求点 E 到平面 PAC 的距离.

P

E
A B
2 2

D

C

19.已知椭圆 C :

x y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其中左焦点 (?2, 0) . 2 a b 2 (1)求椭圆 C 的方程;
(2)若直线 y ? x ? m 与椭圆 C 交于不同的两点 A , B ,求线段 AB 的最大值.

高二数学(理科)试题

第 3 页(共 4 页)

20.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , P 是 AD 1 中点, Q 是 BD 中点, E 是 DD 1 中点. (1)求证: PQ / / 平面D1DCC1 ; (2)求异面直线 CE 和 DP 所成角的余弦值.

D1

C1 B1
E

A1
P
D

C
Q
B

A

21. 已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F , 抛物线上一点 A 的横坐标为 x1 ( x1 ? 0) , 过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D ,交 y 轴于点 Q ,当 | FD |? 2 时, ?AFD ? 60? . (1)求证: FD 垂直平分 AQ ,并求出抛物线 C 的方程; ( 2 )若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上 , 过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点

P , AB 交 y 轴于点 (0, m) ,若 ?APB 为锐角,求 m 的取值范围.

22.已知函数 f ( x) ?

a 2 a x ? ln x ? x ? 1 , g ( x) ? ae x ? ? ax ? 2a ? 1 ,其中 a ? R . 2 x

(1)若 a ? 0 ,试讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 a ? 0 , ?x ? (0, ??) ,恒有 g ( x) ? f ?( x) ( f ?( x ) 为 f ( x ) 的导函数),求 a 的最 小值.

高二数学(理科)试题

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